Σωματίδιο σε δακτύλιο

Στη κβαντική μηχανική, το πρόβλημα του σωματιδίου σε δακτύλιο αποτελεί ένα ακριβώς επιλύσιμο πρόβλημα. Από φυσική σκοπιά, το πρόβλημα αναφέρεται σε ένα σωματίδιο το οποίο είναι αναγκασμένο να κινείται στην περιφέρεια ενός δακτυλίου πεπερασμένης ακτίνας. Στο πρόβλημα αναδεικνύονται ορισμένες από τις σημαντικότερες πτυχές της κβαντικής θεωρίας, όπως είναι το φαινόμενο της κβάντωσης ενέργειας και στροφορμής.

Μαθηματική περιγραφή

Στις παρακάτω θεματικές ενότητες αναφέρονται τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται στα πλαίσια της κβαντικής μηχανικής για την περιγραφή ενός σωματιδίου μάζας m το οποίο είναι αναγκασμένο να κινείται στην περιφέρεια ενός δακτυλίου ακτίνας a. .

Συμμετρία

Επειδή το πρόβλημα έχει κυκλική συμμετρία, η ανάλυση του προβλήματος γίνεται συνήθως στο πολικό σύστημα συντεταγμένων. Με την επιλογή των αξόνων έτσι ώστε η αρχή να συμπίπτει με κέντρο του δακτυλίου, η θέση του σωματιδίου καθορίζεται αποκλειστικά από την πολική γωνία θ. Επιπροσθέτως, η ακτινική του συνιστώσα ισούται πάντοτε με την ακτίνα a του δακτυλίου.

Η χωρική κυματοσυνάρτηση που περιγράφει το σωματίδιο βάσει των παραπάνω μαθηματικών συμβάσεων είναι μία συνάρτηση της γωνίας θ, ήτοι ψ=ψ(θ).

Δυναμικό

Σε πολικές συντεταγμένες, το δυναμικό περιγράφεται με βάση τη συνάρτηση:

$V(r)=\delta (r-a)={\begin{cases}{\begin{aligned}0,&\ r=a\\+\infty ,&\ r\neq a\end{aligned}}\end{cases}}$

όπου δ(r-a) η συνάρτηση δ του Ντιράκ. Η φυσική σημασία του παραπάνω δυναμικού είναι ότι το σωματίδιο είναι αναγκασμένο να κινείται μόνο στην περιφέρεια του δακτυλίου.

Χαμιλτονιανή

Ένα ελεύθερο σωματίδιο μάζας m που κινείται στην περιφέρεια ενός δακτυλίου r=a περιγράφεται από την εξής Χαμιλτονιανή:

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}{\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}$

Εξίσωση Σρέντιγκερ

Με την παραπάνω έκφραση της Χαμιλτονιανής, η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Σρέντιγκερ παίρνει την εξής μορφή:

${\hat {H}}\psi (\theta )=E\psi (\theta )\ {\xrightarrow {\ }}\ \psi ''+\left({\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}\right)\psi =0\ ,$

όπου ο τόνος αναφέρεται σε παραγώγιση ως προς τη γωνιακή μεταβλητή θ.

Συνοριακές συνθήκες και γενική λύση

Θέτοντας 2ma²E/ħ²=n², η γενική λύση της εξίσωσης Σρέντιγκερ είναι της μορφής

$\psi (\theta )\sim e^{in\theta }\ \ \$

Η παραπάνω λύση ικανοποιεί την περιοδική συνοριακή συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί η κυματοσυνάρτηση:

$\psi (\theta =0)=\psi (\theta =2\pi )\ ,\ \$

υπό την προϋπόθεση ότι η μεταβλητή n παίρνει τις τιμές n=0,±1,±2,κοκ. Η γενική λύση της εξίσωσης Σρέντιγκερ είναι λοιπόν:

Η φυσική σημασία των δύο προσήμων που μπορεί να πάρει η μεταβλητή n είναι έχει να κάνει με το γεγονός ότι το σωματίδιο μπορεί να κινείται αριστερόστροφα ή δεξιόστροφα στον δακτύλιο. Η τιμή n=0 αντιστοιχεί σε σωματίδιο που δεν περιστρέφεται.

Ιδιοσυναρτήσεις

Οι ιδιοσυναρτήσεις του προβλήματος δίνονται από τον τύπο:

$\psi _{n}(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi a}}}\ e^{in\theta },\ \ \ n=0,\pm 1,\pm 2,...$

Οι ιδιοσυναρτήσεις αυτές είναι ορθοκανονικές, δηλαδή ικανοποιούν τη γενική σχέση ορθοκανονικότητας:

$\int _{0}^{2\pi }\psi _{n}^{*}(\theta )\psi _{m}(\theta )ad\theta =\delta _{nm}$

όπου δ_nm το σύμβολο του Κρόνεκερ.

Ιδιοτιμές ενέργειας

Οι ιδιοτιμές της ενέργειας του σωματιδίου δίνονται από τον τύπο:

$E_{n}=\left({\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}\right)n^{2},\ \ \ n=0,\pm 1,\pm 2,...$

Ο παραπάνω τύπος καθορίζει το ενεργειακό φάσμα του προβλήματος, το οποίο είναι κβαντισμένο και παρουσιάζει διπλό εκφυλισμό για μη μηδενικές τιμές του κβαντικού αριθμού n. Οι ενεργειακές στάθμες δεν ισαπέχουν μεταξύ τους, αλλά αντιθέτως η απόστασή τους αυξάνεται σταδιακά όσο μεγαλώνει η τιμή του ακεραίου n.

Ιδιοτιμές στροφορμής

Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα φαινόμενα όσον αφορά το πρόβλημα του σωματιδίου σε δακτύλιο είναι το γεγονός ότι η στροφορμή του σωματιδίου, όπως και ενέργειά του, είναι μία κβαντισμένη ποσότητα.

Για ένα σωματίδιο που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, η στροφορμή (l) συνδέεται με την ενέργεια (E) μέσω του τύπου:

$E={\frac {{\boldsymbol {\ell }}^{2}}{2ma^{2}}}$

Η λύση ως προς τη στροφορμή με αντικατάσταση του τύπου των ενεργειακών ιδιοτιμών καθορίζουν τις ιδιοτιμές της στροφορμής:

$\ell _{n}=\hbar n,\ \ \ n=0,\pm 1,\pm 2,...$

Όπως ακριβώς και στο μοντέλο του Μπορ, η στροφορμή ενός σωματιδίου που εκτελεί κυκλική τροχιά μπορεί να πάρει μόνο τιμές που είναι ακέραια πολλαπλάσια της [ανηγμένης] σταθεράς του Πλανκ.

Η ίδια σχέση μπορεί επίσης να εξαχθεί υπολογίζοντας τη μέση τιμή του τελεστή της στροφορμής.

Απροσδιοριστίες θέσης-ορμής

Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας θέσης-ορμής, το γινόμενο των απροσδιοριστιών της θέσης και της ορμής κανονικών συντεταγμένων πρέπει να είναι πάντοτε μεγαλύτερη ή ίση από το γινόμενο ħ/2.

Ο τελεστής της ορμής για σωματίδιο που κινείται σε σταθερή τροχιά r=a είναι:

${\hat {p}}=-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}=-{\frac {i\hbar }{a}}{\frac {d}{d\theta }}$

Βάσει του παραπάνω τελεστή και των γνωστών ιδιοσυναρτήσεων του προβλήματος, είναι δυνατόν να δειχθεί ότι η απροσδιοριστία της ορμής ισούται με μηδέν:

$(\Delta p)^{2}=\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}=0$

Το παραπάνω αποτέλεσμα δεν αποτελεί παραβίαση της αρχής της απροσδιοριστίας, καθώς η αντίστοιχη απροσδιοριστία της θέσης είναι άπειρη.

Βιβλιογραφία

• Τραχανάς Στέφανος (2009), Κβαντομηχανική Ι, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
• Τραχανάς Στέφανος (2009), Κβαντομηχανική ΙΙ, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.