Στην γραμμική άλγεβρα , μία γραμμική απεικόνιση (ή γραμμικός μετασχηματισμός ) μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων
V
{\displaystyle V}
και
W
{\displaystyle W}
επί του σώματος
F
{\displaystyle F}
είναι μία συνάρτηση
T
:
V
→
W
{\displaystyle T:V\to W}
η οποία ικανοποιεί
T
(
u
+
v
)
=
T
(
u
)
+
T
(
v
)
{\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)}
, για κάθε
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
, και
T
(
α
u
)
=
α
T
(
u
)
{\displaystyle T(\alpha u)=\alpha T(u)}
, για κάθε
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
και
α
∈
F
{\displaystyle \alpha \in F}
.
Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας και είναι ισοδύναμες με την σχέση
T
(
α
u
+
β
v
)
=
α
T
(
u
)
+
β
T
(
v
)
{\displaystyle T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)}
, για κάθε
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
και
α
,
β
∈
F
{\displaystyle \alpha ,\beta \in F}
.
Αν οι διανυσματικοί χώροι
V
{\displaystyle V}
και
W
{\displaystyle W}
ταυτίζονται, τότε η γραμμική απεικόνιση ονομάζεται γραμμικός τελεστής ή αλλιώς ενδομορφισμός .
Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν για όποια απεικόνιση
T
:
U
→
W
{\displaystyle T:U\to W}
:
T
(
0
U
)
=
0
W
{\displaystyle T(0_{U})=0_{W}}
.
Απόδειξη
Θεωρούμε ένα διάνυσμα
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
. Τότε,
T
(
0
U
)
=
T
(
u
+
(
−
u
)
)
=
T
(
u
+
(
−
1
F
)
u
)
=
T
(
u
)
+
(
−
1
F
)
T
(
u
)
=
0
W
.
{\displaystyle T(0_{U})=T(u+(-u))=T(u+(-1_{F})u)=T(u)+(-1_{F})T(u)=0_{W}.}
Για οποιαδήποτε
n
{\displaystyle n}
διανύσματα
u
1
,
u
2
,
…
,
u
n
∈
V
{\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\in V}
και σταθερές
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
∈
F
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F}
, ισχύει ότι
T
(
α
1
u
1
+
…
+
α
n
u
n
)
=
α
1
T
(
u
1
)
+
…
+
α
n
T
(
u
n
)
{\displaystyle T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{n}u_{n})=\alpha _{1}T(u_{1})+\ldots +\alpha _{n}T(u_{n})}
.
Απόδειξη
Η απόδειξη είναι με την χρήση επαγωγής.
Βασική περίπτωση: Για
n
=
2
{\displaystyle n=2}
η σχέση ισχύει από τον ισοδύναμο ορισμό των σχέσεων γραμμικότητας.
Επαγωγική περίπτωση: Έστω ότι ισχύει για
n
=
k
{\displaystyle n=k}
, δηλαδή
T
(
α
1
u
1
+
…
+
α
k
u
k
)
=
α
1
T
(
u
1
)
+
…
+
α
k
T
(
u
k
)
{\displaystyle T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k}u_{k})=\alpha _{1}T(u_{1})+\ldots +\alpha _{k}T(u_{k})}
.
τότε για
n
=
k
+
1
{\displaystyle n=k+1}
έχουμε ότι
T
(
α
1
u
1
+
…
+
α
k
+
1
u
k
+
1
)
=
T
(
(
α
1
u
1
+
…
+
α
k
u
k
)
+
α
k
+
1
u
k
+
1
)
=
T
(
α
1
u
1
+
…
+
α
k
u
k
)
+
α
k
+
1
u
k
+
1
=
T
(
α
1
u
1
)
+
…
+
T
(
α
k
u
k
)
+
T
(
α
k
+
1
u
k
+
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k+1}u_{k+1})&=T((\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k}u_{k})+\alpha _{k+1}u_{k+1})\\&=T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k}u_{k})+\alpha _{k+1}u_{k+1}\\&=T(\alpha _{1}u_{1})+\ldots +T(\alpha _{k}u_{k})+T(\alpha _{k+1}u_{k+1}).\end{aligned}}}
.
Η συνάρτηση
T
(
u
)
=
c
⋅
u
{\displaystyle T(u)=c\cdot u}
για
u
∈
F
{\displaystyle u\in F}
είναι γραμμική.
Η μηδενική συνάρτηση
T
(
u
)
=
0
W
{\displaystyle T(u)=0_{W}}
είναι γραμμική.
Για κάθε πίνακα
A
∈
R
n
×
n
{\displaystyle A\in R^{n\times n}}
η συνάρτηση
T
(
u
)
=
A
u
{\displaystyle T(u)=Au}
είναι γραμμική (για
U
=
W
=
R
n
{\displaystyle U=W=\mathbb {R} ^{n}}
).
Στον διανυσματικό χώρο των ολοκληρώσιμων πραγματικών συναρτήσεων, η συνάρτηση
T
(
f
)
=
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle T(f)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt}
είναι γραμμική.
Στον διανυσματικό χώρο των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων
C
(
R
)
{\displaystyle C(\mathbb {R} )}
η συνάρτηση
T
(
f
)
=
d
d
t
f
(
t
)
{\displaystyle T(f)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}f(t)}
είναι γραμμική.
Σε κάθε διανυσματικό χώρο
U
{\displaystyle U}
πεπερασμένης διάστασης έχουμε ότι κάθε απεικόνιση αντιστοιχεί σε έναν πίνακα .
Έστω
b
1
,
…
,
b
n
{\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}
μία βάση του διανυσματικού χώρου
U
{\displaystyle U}
. Τότε κάθε διάνυσμα
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
μπορεί να γραφτεί ως
u
=
u
1
b
1
+
…
+
u
n
b
n
{\displaystyle u=u_{1}b_{1}+\ldots +u_{n}b_{n}}
,
για κάποια
b
1
,
…
,
b
n
∈
F
{\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in F}
. Επομένως για έναν μετασχηματισμό
T
:
U
→
W
{\displaystyle T:U\to W}
έχουμε από τις παραπάνω ιδιότητες ότι
T
(
u
)
=
T
(
u
1
b
1
+
…
+
u
n
b
n
)
=
u
1
T
(
b
1
)
+
…
+
u
n
T
(
b
n
)
{\displaystyle T(u)=T(u_{1}b_{1}+\ldots +u_{n}b_{n})=u_{1}T(b_{1})+\ldots +u_{n}T(b_{n})}
.
Αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο πινάκων
[
↑
↑
T
(
b
1
)
⋯
T
(
b
n
)
↓
↓
]
⋅
u
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\Big \uparrow }&&{\Big \uparrow }\\T(b_{1})&\cdots &T(b_{n})\\{\Big \downarrow }&&{\Big \downarrow }\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {u} .}
Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα
T
(
b
1
)
,
…
,
T
(
b
n
)
∈
W
{\displaystyle T(b_{1}),\ldots ,T(b_{n})\in W}
δεν εξαρτώνται από το
u
{\displaystyle u}
, επομένως ο πίνακας περιγράφει τον μετασχηματισμό
T
{\displaystyle T}
. Αυτό μας δίνει και έναν τρόπο να υπολογίζουμε τον πίνακα που αντιστοιχεί στον γραμμικό μετασχηματισμό, υπολογίζοντας απλά τον μεταχηματισμό για τα διανύσματα μία βάσης του
U
{\displaystyle U}
.
Περιστροφή του
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
κατά γωνία
θ
{\displaystyle \theta }
.
Περιστροφή του
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
κατά γωνία
θ
{\displaystyle \theta }
.
Για να υπολογίσουμε τον πίνακα περιστροφής κατά γωνία
θ
{\displaystyle \theta }
από την αρχή των αξόνων, θα υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό της βάσης
{
(
1
0
)
,
(
0
1
)
}
.
{\displaystyle \left\lbrace {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\rbrace .}
Με την βοήθεια των σχημάτων έχουμε ότι
T
(
0
)
↦
(
cos
θ
,
sin
θ
)
,
T
(
1
)
↦
(
−
sin
θ
,
cos
θ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}T(0)&\mapsto (\cos \theta ,\sin \theta ),\\T(1)&\mapsto (-\sin \theta ,\cos \theta ).\\\end{aligned}}}
Επομένως, ο πίνακας περιστροφής δίνεται από
R
(
θ
)
=
[
↑
↑
T
(
e
1
)
T
(
e
2
)
↓
↓
]
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
.
{\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}{\Big \uparrow }&{\Big \uparrow }\\T(e_{1})&T(e_{2})\\{\Big \downarrow }&{\Big \downarrow }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}