Κανονικός τοπικός δακτύλιος

Στην αντιμεταθετική άλγεβρα, ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος είναι ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος που έχει την ιδιότητα ότι ο ελάχιστος αριθμός γεννητόρων του μέγιστου ιδεώδους του είναι ίσος με τη διάσταση Κρουλ^[1]. Σε σύμβολα, έστω A ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος με μέγιστο ιδεώδες m, και έστω ότι a₁, ..., a_n είναι ένα ελάχιστο σύνολο γεννητόρων του m. Τότε από το θεώρημα του κύριου ιδεώδους του Κρουλ n ≥ dim A, και ο A ορίζεται κανονικός αν n = dim A.

Η ονομασία κανονικός δικαιολογείται από τη γεωμετρική έννοια. Ένα σημείο x σε μια αλγεβρική ποικιλία X είναι μη-σιγγλικό αν και μόνο αν ο τοπικός δακτύλιος ${\mathcal {O}}_{X,x}$ των γερμάτων στο x είναι κανονικός. (Βλέπε επίσης: κανονικό σχήμα.) Οι κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι δεν σχετίζονται με τους κανονικούς δακτυλίους φον Νιούμαν[α].

Για τους Ναιτεριανούς τοπικούς δακτυλίους, υπάρχει η ακόλουθη αλυσίδα εγκλεισμάτων:

   Καθολικά Αλυσοειδής δακτύλιος ⊃ δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ ⊃ δακτύλιοι Γκόρενσταϊν ⊃ πλήρεις δακτύλιοι διατομής ⊃ κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι

Χαρακτηριστικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχουν διάφοροι χρήσιμοι ορισμοί ενός κανονικού τοπικού δακτυλίου, ένας από τους οποίους αναφέρεται παραπάνω. Συγκεκριμένα, αν $A$ είναι ένας Ναιτρεριανός τοπικός δακτύλιος με μέγιστο ιδεώδες ${\mathfrak {m}}$ , τότε οι ακόλουθοι είναι ισοδύναμοι ορισμοί:

Έστω ${\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ όπου $n$ επιλέγεται όσο το δυνατόν μικρότερο. Τότε η $A$ είναι κανονική αν

\dim A=n\,

,

όπου η διάσταση είναι η διάσταση Κρουλ. Το ελάχιστο σύνολο γεννητόρων των

a_{1},\ldots ,a_{n}

ονομάζεται τότε κανονικό σύστημα παραμέτρων.

Έστω $k=A/{\mathfrak {m}}$ το πεδίο καταλοίπων του $A$ . Τότε το $A$ είναι κανονικό αν

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,

,

όπου η δεύτερη διάσταση είναι η διάσταση Κρουλ.

Έστω ${\mbox{gl dim }}A:=\sup\{\operatorname {pd} M\mid M{\text{ is an }}A{\text{-module}}\}$ είναι η συνολική διάσταση του $A$ (δηλαδή, το υπέρτατο των προβολικών διαστάσεων όλων των $A$ -μονάδων). Τότε η $A$ είναι κανονική αν

{\mbox{gl dim }}A<\infty \,

,

στην περίπτωση που,

{\mbox{gl dim }}A=\dim A

.

Το κριτήριο πολλαπλότητας ένα δηλώνει:^[2] αν η πλήρωση ενός Ναιτεριανού τοπικού δακτυλίου Α είναι μονοσήμαντη (με την έννοια ότι δεν υπάρχει κανένας ενσωματωμένος πρώτος διαιρέτης του μηδενικού ιδεώδους και για κάθε ελάχιστο πρώτο p, $\dim {\widehat {A}}/p=\dim {\widehat {A}}$ ) και αν η πολλαπλότητα του Α είναι ένα, τότε ο Α είναι κανονικός. (Το αντίστροφο ισχύει πάντα: η πολλαπλότητα ενός κανονικού τοπικού δακτυλίου είναι ένα). Αυτό το κριτήριο αντιστοιχεί σε μια γεωμετρική διαίσθηση στην αλγεβρική γεωμετρία ότι ένας τοπικός δακτύλιος μιας τομής είναι κανονικός αν και μόνο αν η τομή είναι εγκάρσια τομή.

Στην περίπτωση των θετικών χαρακτηριστικών, υπάρχει το ακόλουθο σημαντικό αποτέλεσμα που οφείλεται στον Kunz: Ένας τοπικός δακτύλιος Ναιτεριανού $R$ θετικών χαρακτηριστικών p είναι κανονικός εάν και μόνο εάν ο μορφισμός Φρομπένιους $R\to R,r\mapsto r^{p}$ είναι επίπεδος και ο $R$ είναι ελαττωμένος. Κανένα παρόμοιο αποτέλεσμα δεν είναι γνωστό σε χαρακτηριστική μηδέν (δεν είναι σαφές πώς θα πρέπει να αντικατασταθεί ο μορφισμός Φρομπένιους).

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάθε πεδίο είναι ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος. Αυτά έχουν ( Κρουλ ) διάσταση 0. Στην πραγματικότητα, τα πεδία είναι ακριβώς οι κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι διάστασης 0.
Κάθε διακριτός δακτύλιος αποτίμησης είναι ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος διάστασης 1 και οι κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι διάστασης 1 είναι ακριβώς οι διακριτοί δακτύλιοι αποτίμησης. Συγκεκριμένα, αν k είναι ένα πεδίο και X είναι ένα απροσδιόριστο, τότε ο δακτύλιος των τυπικών δυναμοσειρών k[[X]] είναι ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος με διάσταση ( Κρουλ) 1.
Αν p είναι ένας συνηθισμένος πρώτος αριθμός, ο δακτύλιος των p-adic ακεραίων είναι ένα παράδειγμα διακριτού δακτυλίου αποτίμησης, και συνεπώς ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος, ο οποίος δεν περιέχει πεδίο.
Γενικότερα, αν το k είναι ένα πεδίο και τα 'X₁, X₂, ..., Xd είναι απροσδιόριστα, τότε ο δακτύλιος των τυπικών δυναμοσειρών k[[X1, X2, ..., Xd]] είναι ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος με διάσταση (Krull) d.
Αν ο A είναι ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος, τότε προκύπτει ότι ο τυπικός δακτύλιος δυναμοσειρών A[[X]] είναι κανονικός τοπικός.
Αν Z είναι ο δακτύλιος των ακεραίων και X είναι ένας απροσδιόριστος, ο δακτύλιος Z[X]_{(2, X)} (δηλαδή ο δακτύλιος Z[X] που εντοπίζεται στο πρώτο ιδεώδες (2, X) ) είναι ένα παράδειγμα ενός δισδιάστατου κανονικού τοπικού δακτυλίου που δεν περιέχει πεδίο.
Σύμφωνα με το θεώρημα δομής του Ίρβιν Κοέν,, ένας πλήρης κανονικός τοπικός δακτύλιος διάστασης Κρουλ d που περιέχει ένα πεδίο k είναι ένας δακτύλιος δυναμοσειράς σε d μεταβλητές πάνω σε ένα πεδίο επέκτασης του k.

Μη παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο δακτύλιος $A=k[x]/(x^{2})$ δεν είναι ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος αφού είναι πεπερασμένης διάστασης αλλά δεν έχει πεπερασμένη συνολική διάσταση. Για παράδειγμα, υπάρχει μια άπειρη ανάλυση

\cdots {\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}\to k\to 0

Χρησιμοποιώντας έναν άλλο από τους χαρακτηρισμούς, ο $A$ έχει ακριβώς ένα πρώτο ιδεώδες ${\mathfrak {m}}={\frac {(x)}{(x^{2})}}$ , οπότε ο δακτύλιος έχει διάσταση Κρουλ $0$ , αλλά το ${\mathfrak {m}}^{2}$ είναι το μηδενικό ιδεώδες, οπότε το ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ έχει διάσταση $k$ τουλάχιστον $1$ . (Στην πραγματικότητα είναι ίση με $1$ αφού το $x+{\mathfrak {m}}$ είναι μια βάση).

Βασικές ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα Αουσλάντερ -Βουξμπάουμ δηλώνει ότι κάθε κανονικός τοπικός δακτύλιος είναι ένας μοναδικός τομέας παραγοντοποίησης.

Κάθε εντοπισμός, καθώς και η ολοκλήρωση, ενός κανονικού τοπικού δακτυλίου είναι κανονικός.

Αν $(A,{\mathfrak {m}})$ είναι ένας πλήρης κανονικός τοπικός δακτύλιος που περιέχει ένα πεδίο, τότε

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

,

όπου $k=A/{\mathfrak {m}}$ είναι το πεδίο καταλοίπων, και $d=\dim A$ , η διάσταση Κρουλ.

Βλέπε επίσης: Ανισότητα ύψους του Σερ και εικασίες πολλαπλότητας του Σερ.

Προέλευση των βασικών εννοιών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι ορίστηκαν αρχικά από τον Βόλφγκανγκ Κρουλ το 1937^[3], αλλά έγιναν για πρώτη φορά γνωστοί στο έργο του Όσκαρ Ζαρίσκι λίγα χρόνια αργότερα^[4]^[5], ο οποίος έδειξε ότι γεωμετρικά, ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος αντιστοιχεί σε ένα λείο σημείο μιας αλγεβρικής ποικιλίας. Έστω Y μια αλγεβρική ποικιλία που περιέχεται στον αφινικό n-χώρο πάνω από ένα τέλειο πεδίο, και ας υποθέσουμε ότι Y είναι ο τόπος φυγής των πολυωνύμων f₁,...,f_m. Y είναι μη ιδιάζουσα στο P αν η Y ικανοποιεί μια Ιακωβιανή συνθήκη: Αν M = (∂f_i/∂x_j) είναι ο πίνακας των μερικών παραγώγων των εξισώσεων ορισμού της ποικιλίας, τότε ο βαθμός του πίνακα που βρέθηκε με την αξιολόγηση του M στο P είναι 'n − dim Y. Ο Ζαρίσκι απέδειξε ότι η Y είναι μη ιδιάζουσα στο P αν και μόνο αν ο τοπικός δακτύλιος του Y στο P είναι κανονικός. (Ο Ζαρίσκι παρατήρησε ότι αυτό μπορεί να αποτύχει σε μη τέλεια πεδία.) Αυτό σημαίνει ότι η ομαλότητα είναι μια εγγενής ιδιότητα της ποικιλίας, με άλλα λόγια δεν εξαρτάται από το πού ή πώς η ποικιλία ενσωματώνεται στον αφινικό χώρο. Υποδηλώνει επίσης ότι οι κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι θα πρέπει να έχουν καλές ιδιότητες, αλλά πριν από την εισαγωγή τεχνικών από την ομολογική άλγεβρα πολύ λίγα ήταν γνωστά προς αυτή την κατεύθυνση. Μόλις εισήχθησαν τέτοιες τεχνικές στη δεκαετία του 1950, οι Αουσλάντερ και Βουξμπάουμ απέδειξαν ότι κάθε κανονικός τοπικός δακτύλιος είναι ένας μοναδικός τομέας παραγοντοποίησης.

Μια άλλη ιδιότητα που προτείνεται από τη γεωμετρική διαίσθηση είναι ότι ο εντοπισμός ενός κανονικού τοπικού δακτυλίου πρέπει να είναι και πάλι κανονικός. Και πάλι, αυτό παρέμενε άλυτο μέχρι την εισαγωγή των ομολογικών τεχνικών. Ο Ζαν-Πιερ Σερ ήταν αυτός που βρήκε έναν ομολογικό χαρακτηρισμό των κανονικών τοπικών δακτυλίων: Ένας τοπικός δακτύλιος A είναι κανονικός αν και μόνο αν ο A έχει πεπερασμένη συνολική διάσταση, δηλαδή αν κάθε A-μονάδα έχει μια προβολική ανάλυση πεπερασμένου μήκους. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η ιδιότητα να έχει πεπερασμένη παγκόσμια διάσταση διατηρείται υπό εντοπισμό, και κατά συνέπεια ότι οι εντοπισμοί κανονικών τοπικών δακτυλίων σε πρωταρχικά ιδεώδη είναι και πάλι κανονικοί.

Αυτό δικαιολογεί τον ορισμό της κανονικότητας για μη τοπικούς αντιμεταθετικούς δακτυλίους που δίνεται στην επόμενη ενότητα.

Κανονικός δακτύλιος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην αντιμεταθετική άλγεβρα, ένας κανονικός δακτύλιος είναι ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός δακτύλιος, τέτοιος ώστε ο εντοπισμός σε κάθε πρώτο ιδεώδες να είναι ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος: δηλαδή, κάθε τέτοιος εντοπισμός έχει την ιδιότητα ότι ο ελάχιστος αριθμός γεννητριών του μέγιστου ιδεώδους του είναι ίσος με τη διάσταση Κρουλ.

Η προέλευση του όρου κανονικός δακτύλιος έγκειται στο γεγονός ότι μια αφινική ποικιλία είναι μη δακτυλιοειδής (δηλαδή κάθε σημείο είναι κανονικό) αν και μόνο αν ο δακτύλιος των κανονικών συναρτήσεων της είναι κανονικός.

Για κανονικούς δακτυλίους, η διάσταση Κρουλ συμφωνεί με την ολική ομολογική διάσταση.

Ο Ζαν-Πιερ Σερ όρισε έναν κανονικό δακτύλιο ως έναν αντιμεταθετικό νουθεριανό δακτύλιο πεπερασμένης συνολικής ομολογικής διάστασης. Ο ορισμός του είναι ισχυρότερος από τον παραπάνω ορισμό, ο οποίος επιτρέπει κανονικούς δακτυλίους άπειρης διάστασης Κρουλ.

Παραδείγματα κανονικών δακτυλίων είναι τα πεδία (διάστασης μηδέν) και οι τομείς Ντέντεκιντ. Αν ο A είναι κανονικός, τότε είναι και ο A[X], με διάσταση κατά ένα μεγαλύτερο από αυτή του A.

Ειδικότερα, αν το $k$ είναι ένα πεδίο, ο δακτύλιος των ακεραίων αριθμών, ή ένα κύριο ιδεώδες πεδίο, τότε ο πολυωνυμικός δακτύλιος $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ είναι κανονικός. Στην περίπτωση ενός πεδίου, αυτό είναι το θεώρημα συζυγίας του Χίλμπερτ.

Κάθε εντοπισμός ενός κανονικού δακτυλίου είναι επίσης κανονικός.

Ένας κανονικός δακτύλιος είναι μειωμένος^[α] αλλά δεν χρειάζεται να είναι ολοκληρωτική περιοχή. Για παράδειγμα, το γινόμενο δύο κανονικών ολοκληρωτικών περιοχών είναι κανονικό, αλλά όχι ολοκληρωτική περιοχή^[6].

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Michael F. Atiyah, Ian G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading MA 1969, ISBN 0-201-00361-9.
Rainer Brüske, Friedrich Ischebeck, Ferdinand Vogel: Kommutative Algebra. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-14041-0.
Robin Hartshorne: Algebraic Geometry (= Graduate Texts in Mathematics. 52). Springer, New York u. a. 1977, ISBN 3-540-90244-9.
Ernst Kunz: Introduction to commutative algebra and algebraic geometry (= Vieweg-Studium. 46 Aufbaukurs Mathematik.). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6.
Winfried Bruns, Jürgen Herzog: Cohen-Macaulay rings (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 39). Cambridge University Press, 1993.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Regular ring (in commutative algebra)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Commutative Ring Theory
Rings Close to Regular
Modules over Commutative Regular Rings

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Atiyah & Macdonald 1969, Theorem 11.22, σελ. 123.
↑ Herrmann, M., S. Ikeda, and U. Orbanz: Equimultiplicity and Blowing Up. An Algebraic Study with an Appendix by B. Moonen. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1988. Theorem 6.8.
↑ Krull, Wolfgang (1937), «Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III», Math. Z.: 745–766, doi:10.1007/BF01160110
↑ Zariski, Oscar (1940), «Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0», Amer. J. Math. 62: 187–221, doi:10.2307/2371447
↑ Zariski, Oscar (1947), «The concept of a simple point of an abstract algebraic variety», Trans. Amer. Math. Soc. 62: 1–52, doi:10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1
↑ Is a regular ring a domain

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ since a ring is reduced if and only if its localizations at prime ideals are.

Atiyah, Michael F.; Macdonald, Ian G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley
Kunz, Characterizations of regular local rings of characteristic p. Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784.
Tsit-Yuen Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-1-4612-0525-8. Chap.5.G.
Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, (ISBN 3-540-66641-9). Chap.IV.D.
Regular rings at The Stacks Project

[FOOTNOTEAtiyahMacdonald1969Theorem_11.22123-1] Atiyah & Macdonald 1969, Theorem 11.22, σελ. 123.

[2] Herrmann, M., S. Ikeda, and U. Orbanz: Equimultiplicity and Blowing Up. An Algebraic Study with an Appendix by B. Moonen. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1988. Theorem 6.8.

[3] Krull, Wolfgang (1937), «Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III», Math. Z.: 745–766, doi:10.1007/BF01160110

[4] Zariski, Oscar (1940), «Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0», Amer. J. Math. 62: 187–221, doi:10.2307/2371447

[5] Zariski, Oscar (1947), «The concept of a simple point of an abstract algebraic variety», Trans. Amer. Math. Soc. 62: 1–52, doi:10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1

[7] Is a regular ring a domain

[6] since a ring is reduced if and only if its localizations at prime ideals are.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[α]

[6]