Ίχνος πίνακα

Στην γραμμική άλγεβρα, το ίχνος ενός τετραγωνικού πίνακα είναι το άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του πίνακα. Πιο συγκεκριμένα, για έναν πίνακα $A$ διαστάσεων $n\times n$ το ίχνος του $\operatorname {tr} (A)$ ορίζεται ως

$\operatorname {tr} (A)=A_{11}+A_{22}+\ldots +A_{nn}=\sum _{i=1}^{n}A_{ii}$.

Για παράδειγμα,

$\operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}4&-1\\2&3\end{bmatrix}}\right)=4+3=7\qquad$ και $\qquad \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}7&-1&10\\3&-2&9\\1&11&4\end{bmatrix}}\right)=7+(-2)+4=9$.

Ο συμβολισμός $\operatorname {tr}$ προέρχεται από τα δύο πρώτα γράμματα της αγγλικής λέξης trace, που σημαίνει ίχνος. Στην ελληνική βιβλιογραφία συμβολίζεται και ως ιχν.$(A)$.

Παραδείγματα

• Για γενικούς τετραγωνικούς πίνακες διαστάσεων $n\times n$ για $n=1,2,3$, ισχύει ότι:

$\operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}A_{11}\end{bmatrix}}\right)=A_{11},\qquad \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}\right)=A_{11}+A_{22},\qquad \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}\right)=A_{11}+A_{22}+A_{33}$.

• Για τον ταυτοτικό πίνακα $I_{n}$, ισχύει ότι $\operatorname {tr} (I_{n})=n$. Για παράδειγμα, για $n=1,2,3$:

$\operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\right)=1,\qquad \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)=1+1=2,\qquad \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right)=1+1+1=3$.

• Για τον μηδενικό πίνακα $\mathbf {0} _{n\times n}$, ισχύει ότι $\operatorname {tr} (\mathbf {0} _{n\times n})=0$.
• Για κάθε αντισυμμετρικό πίνακα $A$, $\operatorname {tr} (A)=0$, καθώς τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι $0$. Για παράδειγμα:

$\operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}\right)=0,\qquad \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}0&3\\3&0\end{bmatrix}}\right)=0+0=0,\qquad \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}0&-2&6\\-2&0&8\\6&8&0\end{bmatrix}}\right)=0+0+0=0$.

Ιδιότητες

• Το ίχνος είναι μία γραμμική απεικόνιση καθώς για κάθε πίνακες $A$ και $B$ ίδιων διαστάσεων και κάθε στοιχείο $c$ έχουμε ότι $\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$ και $\operatorname {tr} (cA)=c\cdot \operatorname {tr} (A)$.

Απόδειξη  

Έστω $A$ και $B$ δύο πίνακες διαστάσεων $n\times n$. Για το άθροισμα, ισχύει ότι

${\begin{aligned}\operatorname {tr} (A+B)&=\sum _{i=1}^{n}(A+B)_{ii}\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(A_{ii}+B_{ii}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}A_{ii}+\sum _{i=1}^{n}B_{ii}\\&=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B).\end{aligned}}$

Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό,

$\operatorname {tr} (cA)=\sum _{i=1}^{n}(cA)_{ii}=\sum _{i=1}^{n}c(A)_{ii}=c\cdot \sum _{i=1}^{n}(A)_{ii}=c\cdot \operatorname {tr} (A)$.

• Το ίχνος του γινομένου είναι ανεξάρτητο της σειράς του πολλαπλασιασμού, $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$.

Απόδειξη  

Θεωρούμε τον πίνακα $A$ διαστάσεων $n\times k$ και τον $B$ διαστάσεων $k\times n$. Τότε, έχουμε ότι

${\begin{aligned}\operatorname {tr} (AB)&=\sum _{i=1}^{n}(AB)_{ii}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}A_{ij}B_{ji}\\&=\sum _{j=1}^{k}\sum _{i=1}^{n}A_{ij}B_{ji}\\&=\sum _{j=1}^{k}\sum _{i=1}^{n}B_{ji}A_{ij}\\&=\operatorname {tr} (BA),\end{aligned}}$

όπου μεταθέσαμε τα δύο αθροίσματα. Επομένως, $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$.

• Το ίχνος ενός πίνακα ισούται με το ίχνος του ανάστροφου πίνακα, $\operatorname {tr} (A^{T})=\operatorname {tr} (A)$.

Απόδειξη  

Από τον ορισμό του ίχνους, για έναν πίνακα $A$ διαστάσεων $n\times n$, έχουμε ότι

$\operatorname {tr} (A^{T})=\sum _{i=1}^{n}(A^{T})_{ii}=\sum _{i=1}^{n}A_{ii}=\operatorname {tr} (A)$.

• Για δύο όμοιους πίνακες $A$ και $B$, $\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (B)$.

Απόδειξη  

Θεωρούμε δύο όμοιους πίνακες $A$ και $B$, δηλαδή $A=P^{-1}BP$ για κάποιον αντιστρέψιμο πίνακα $P$. Τότε, από την ιδιότητα του γινομένου,

$\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (P^{-1}BP)=\operatorname {tr} (BP^{-1}P)=\operatorname {tr} (BI)=\operatorname {tr} (B)$.

• Αν $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ είναι οι ιδιοτιμές ενός πίνακα $A$, τότε $\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$.