Διανυσματική προβολή

Προβολή του a στο b (a₁), και απόρριψη του a από το b (a₂).

Η διανυσματική προβολή (επίσης γνωστή ως διανυσματική συνιστώσα ή διανυσματική ανάλυση) ενός διανύσματος a πάνω (ή επί) σε ένα μη μηδενικό διάνυσμα b είναι η ορθογώνια προβολή του a πάνω σε μια ευθεία παράλληλη προς το b. Η προβολή του a πάνω στο b γράφεται συχνά ως $\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$ ή a_∥b.

Η διανυσματική συνιστώσα ή η διανυσματική ανάλυση του a κάθετα στο b, που μερικές φορές ονομάζεται επίσης διανυσματική απόρριψη του a από το b (συμβολίζεται ως $\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$ ή a_⊥b), είναι η ορθογώνια προβολή του a στο επίπεδο (ή, γενικά, στο υπερεπίπεδο) που είναι ορθογώνιο στο b. Εφόσον και τα δύο $\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$ και $\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$ είναι διανύσματα και το άθροισμά τους είναι ίσο με a, η απόρριψη του a από το b δίνεται από:

$\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\mathbf {a} -\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .$

Για απλοποίηση της σημειογραφίας, αυτό το άρθρο ορίζει $\mathbf {a} _{1}:=\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$ και $\mathbf {a} _{2}:=\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .$ Έτσι, το διάνυσμα $\mathbf {a} _{1}$ είναι παράλληλο προς το $\mathbf {b} ,$ το διάνυσμα $\mathbf {a} _{2}$ είναι ορθογώνιο προς το $\mathbf {b} ,$ και $\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}.$

Η προβολή του a στο b μπορεί να αναλυθεί σε μια κατεύθυνση και ένα κλιμακωτό μέγεθος γράφοντάς την ως $\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}}$ όπου $a_{1}$ είναι ένα κλιμάκιο, που ονομάζεται κλιμακωτή προβολή του a στο b, και b̂ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του b. Η κλιμακωτή προβολή ορίζεται ως.

$a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}}$

Όταν 90° < θ ≤ 180°, a₁ έχει αντίθετη κατεύθυνση σε σχέση με b.

όπου ο τελεστής ⋅ υποδηλώνει ένα τετραγωνικό γινόμενο, ‖a‖ είναι το μήκος του a, και θ είναι η γωνία μεταξύ των a και b.

Η κλιμακωτή προβολή είναι ίση σε απόλυτη τιμή με το μήκος της διανυσματικής προβολής, με ένα μείον πρόσημο εάν η κατεύθυνση της προβολής είναι αντίθετη από τη διεύθυνση του b, δηλαδή εάν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες.

Η διανυσματική προβολή μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το τετραγωνικό γινόμενο του $\mathbf {a}$ and $\mathbf {b}$ as: ως εξής:

$\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.$

Σημειογραφία

Αυτό το άρθρο χρησιμοποιεί τη σύμβαση ότι τα διανύσματα συμβολίζονται με έντονη γραμματοσειρά (π.χ. a₁), ενώ τα κλιμάκια γράφονται με κανονική γραμματοσειρά (π.χ. a₁).

Το τετραγωνικό γινόμενο των διανυσμάτων a και b γράφεται ως $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$, η νόρμα του a γράφεται ‖a‖, η γωνία μεταξύ των a και b συμβολίζεται με θ.

Ορισμοί με βάση τη γωνία θ

Κλιμακωτή προβολή

Η κλιμακωτή προβολή του a στο b είναι ένα κλιμακωτό ίσο με

$a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,$

όπου θ είναι η γωνία μεταξύ a και b.

Μια κλιμακωτή προβολή μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως συντελεστής κλίμακας για τον υπολογισμό της αντίστοιχης διανυσματικής προβολής.

Διανυσματική προβολή

Η διανυσματική προβολή του a στο b είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μέγεθος είναι η κλιμακωτή προβολή του a στο 'b με την ίδια κατεύθυνση με το b. Δηλαδή, ορίζεται ως

$\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}}$

όπου $a_{1}$ είναι η αντίστοιχη κλιμακωτή προβολή, όπως ορίζεται παραπάνω, και $\mathbf {\hat {b}}$ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με την ίδια κατεύθυνση με το b:

$\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}$

Απόρριψη διανύσματος

Εξ ορισμού, η διανυσματική απόρριψη του a στο 'b είναι:

$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}$

Ως εκ τούτου,

$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}}$

Ορισμοί ως προς a και b

Όταν το θ δεν είναι γνωστό, το συνημίτονο του θ μπορεί να υπολογιστεί ως προς τα a και b, από την ακόλουθη ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου a ⋅ b

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta$

Κλιμακωτή προβολή

Με την προαναφερθείσα ιδιότητα του τετραγωνικού γινομένου, ο ορισμός της κλιμακωτής προβολής γίνεται:

$a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$

Σε δύο διαστάσεις, αυτό μετατρέπεται σε

$a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$

Διανυσματική προβολή

Ομοίως, ο ορισμός της διανυσματικής προβολής του a στο b γίνεται:

$\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},$

το αποτέλεσμα είναι ισοδύναμο με

$\mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,$

ή

$\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.$

Απόρριψη κλιμάκων

Στις δύο διαστάσεις, η απόρριψη του κλιμακωτού είναι ισοδύναμη με την προβολή του a στο $\mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}$, που είναι$\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}$ με περιστροφή 90° προς τα αριστερά. Ως εκ τούτου,

$a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$

Ένα τέτοιο εσωτερικό γινόμενο ονομάζεται "perp dot product".

Απόρριψη διανύσματος

Εξ ορισμού,

$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}$

Ως εκ τούτου,

$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.$

Χρησιμοποιώντας την κλιμακωτή απόρριψη και το εσωτερικό γινόμενο perp αυτό δίνει

$\mathbf {a} _{2}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}\mathbf {b} ^{\perp }$

Ιδιότητες

Αν 0° ≤ θ ≤ 90°, καθώς στην περίπτωση αυτή, η κλιμακωτή προβολή του a στο b συμπίπτει με το μήκος της διανυσματικής προβολής.

Κλιμακωτή προβολή

Η κλιμακωτή προβολή a στο b είναι ένα κλιμακωτό που έχει αρνητικό πρόσημο αν η 90 μοίρες < θ ≤ 180 μοίρες. Συμπίπτει με το μήκος ‖c‖ της διανυσματικής προβολής αν η γωνία είναι μικρότερη από 90°. Πιο συγκεκριμένα:

• a₁ = ‖a₁‖ if 0° ≤ θ ≤ 90°,
• a₁ = −‖a₁‖ if 90° < θ ≤ 180°.

Διανυσματική προβολή

Η διανυσματική προβολή του 'a στο 'b είναι ένα διάνυσμα 'a'₁ το οποίο είναι είτε μηδενικό είτε παράλληλο προς το 'b. Πιο συγκεκριμένα:

• a₁ = 0 if θ = 90°,
• a₁ and b έχουν την ίδια κατεύθυνση εάν 0° ≤ θ < 90°,
• a₁ and b έχουν αντίθετες κατευθύνσεις εάν 90° < θ ≤ 180°.

Διανυσματική απόρριψη

Η διανυσματική απόρριψη του 'a στο 'b είναι ένα διάνυσμα 'a'₂ το οποίο είναι είτε μηδενικό είτε ορθογώνιο προς το 'b. Πιο συγκεκριμένα:

• a₂ = 0 if θ = 0° ή θ = 180°,
• a₂ είναι ορθογώνια προς b αν 0 < θ < 180°,

Αναπαράσταση πίνακα

Η ορθογώνια προβολή μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν πίνακα προβολής. Για την προβολή ενός διανύσματος στο μοναδιαίο διάνυσμα a = (a_x, a_y, a_z), θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον πίνακα προβολής:

$P_{\mathbf {a} }=\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}$

Χρήσεις

Η διανυσματική προβολή είναι μια σημαντική πράξη στην ορθοκανονικοποίηση Γκραμ-Σμιντ των βάσεων διανυσματικών χώρων. Χρησιμοποιείται επίσης στο θεώρημα του διαχωριστικού άξονα για να διαπιστωθεί αν δύο κυρτά σχήματα τέμνονται.

Γενικεύσεις

Εφόσον οι έννοιες του μήκους διανύσματος και της γωνίας μεταξύ διανυσμάτων μπορούν να γενικευτούν σε οποιοδήποτε χώρο εσωτερικού γινομένου n-διαστάσεων, αυτό ισχύει επίσης για τις έννοιες της ορθογώνιας προβολής ενός διανύσματος, της προβολής ενός διανύσματος σε ένα άλλο και της απόρριψης ενός διανύσματος από ένα άλλο.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, το εσωτερικό γινόμενο συμπίπτει με το γινόμενο τελείας. Όταν δεν συμπίπτουν, το εσωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται αντί για το γινόμενο τελείας στους επίσημους ορισμούς της προβολής και της απόρριψης. Για έναν τρισδιάστατο χώρο εσωτερικού γινομένου, οι έννοιες της προβολής ενός διανύσματος σε ένα άλλο και της απόρριψης ενός διανύσματος από ένα άλλο μπορούν να γενικευτούν στις έννοιες της προβολής ενός διανύσματος σε ένα επίπεδο και της απόρριψης ενός διανύσματος από ένα επίπεδο. Η απόρριψη ενός διανύσματος από ένα επίπεδο είναι η ορθογώνια προβολή του σε μια ευθεία που είναι ορθογώνια στο επίπεδο αυτό. Και τα δύο είναι διανύσματα. Το πρώτο είναι παράλληλο προς το επίπεδο, το δεύτερο είναι ορθογώνιο.

Για ένα δεδομένο διάνυσμα και επίπεδο, το άθροισμα της προβολής και της απόρριψης είναι ίσο με το αρχικό διάνυσμα. Ομοίως, για χώρους εσωτερικού γινομένου με περισσότερες από τρεις διαστάσεις, οι έννοιες της προβολής σε ένα διάνυσμα και της απόρριψης από ένα διάνυσμα μπορούν να γενικευτούν στις έννοιες της προβολής σε ένα υπερεπίπεδο και της απόρριψης από ένα υπερεπίπεδο. Στη γεωμετρική άλγεβρα, μπορούν να γενικευτούν περαιτέρω στις έννοιες της προβολής και της απόρριψης ενός γενικού πολυδιανύσματος πάνω/από οποιοδήποτε αντιστρέψιμο k-blade.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Ορίζουσα
• Υπερβολική γεωμετρία
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
• Vector Calculus
• Progress in Biological Cybernetics Research
• Linear Algebra and Analytic Geometry

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd έκδοση), New York, NY: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 
• Apostol, Tom (1967). Calculus. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1. 
• Apostol, Tom (1969). Calculus. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley. ISBN 978-0-471-00007-5. 
• Heinbockel, J. H. (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing, ISBN 1-55369-133-4, http://www.math.odu.edu/~jhh/counter2.html .
• Itô, Kiyosi (1993), Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2nd έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59020-4 .