Αλγεβρικές ταυτότητες

Στα μαθηματικά, η ταυτότητα είναι μία σχέση η οποία είναι ταυτολογικά αληθής. Αυτό σημαίνει ότι για οποιοδήποτε αριθμό ή τιμή θέσουμε στους όρους της ταυτότητας, η απάντηση θα είναι η ίδια δηλαδή τα δύο μέρη της ισότητας θα παραμένουν ίσα. Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μια τυχαίας γωνίας θ προκύπτουν βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες που είναι χρήσιμες στο λογισμό με παραστάσεις που περιέχουν τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Πυθαγόρεια Ταυτότητα

Είναι η πλέον βασική τριγωνομετρική ταυτότητα :

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta \equiv 1\,$

η οποία αληθεύει για κάθε τιμή της γωνίας $\theta$. Η ταυτότητα αυτή είναι μία εκδοχή του Πυθαγορείου θεωρήματος, όταν η γωνία $\theta$ ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο του μοναδιαίου κύκλου και επαληθεύει την εξίσωση : $x^{2}+y^{2}=1$. Αυτή η ταυτότητα επιλύεται αντίστοιχα ως προς ημίτονο ή συνημίτονο :

$\sin \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\quad$ και $\quad \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\,$

Τριγωνομετρικοί αριθμοί

Με χρήση των τριγωνομετρικών αριθμών του ημιτόνου (sine) και του συνημίτονου (cosine) ορίζουμε την εφαπτομένη (tangent) (tan) σε συνάρτηση του ημιτόνου και του συνημίτονου:

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.$

Εύκολα αποδεικνύεται η τριγωνομετρική ταυτότητα:

$\tan \theta \cdot \cot \theta =1$.