Ανισότητα Γιανγκ για το γινόμενο

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Γιανγκ (αναφέρεται και ως ανισότητα Young) λέει ότι για οποιουσδήποτε δύο μη-αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b$ και κάθε $p,q>1$ τέτοιους ώστε ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$, ισχύει ότι

${\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}\geq ab.$

Αυτή η μορφή είναι χρήσιμη για την απόδειξη της ανισότητας Χέλντερ. Στην εργασία του Γιανγκ το 1912, εμφανίστηκε με την μορφή

$a^{p+1}+pb^{1+1/p}\geq (p+1)ab,$

για οποιοδήποτε $p\geq 1$, ως γενίκευση της κλασσικής ανισότητας

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab,$

την οποία λαμβάνουμε για $p=1$.

Αποδείξεις

Με την ανισότητα Γένσεν  

Αφού η λογαριθμική συνάρτηση $\ln(x)$ είναι κυρτή για $x>0$, για $x_{1}=a^{p}$, $x_{2}=b^{q}$ και $t={\tfrac {1}{p}}$, έχουμε από την ανισότητα Γένσεν ότι

$\ln \left(t\cdot x_{1}+(1-t)\cdot x_{2}\right)\geq t\cdot \ln(x_{1})+(1-t)\cdot \ln(x_{2}),$

ή ισοδύναμα, καθώς ${\tfrac {1}{q}}=1-{\tfrac {1}{p}}$

$\ln \left({\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\cdot \ln(a^{p})+{\frac {1}{q}}\cdot \ln(b^{q})=\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab).$

Καθώς η $\ln(x)$ είναι γνησίως αύξουσα έχουμε ότι

${\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}\geq ab.$

Με ανισότητα ΑΜ-ΓΜ (για p, q ρητούς)  

Έστω ότι $p,q$ ρητοί τότε για κάποιος θετικούς ακεραίους $m_{1},m_{2},n_{1},n_{2}$ έχουμε ότι $p={\tfrac {m_{1}}{n_{1}}}$ και $q={\tfrac {m_{2}}{n_{2}}}$. Τότε,

${\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}={\frac {n_{1}m_{2}a^{p}+n_{2}m_{1}b^{q}}{m_{1}m_{2}}}={\frac {n_{1}m_{2}a^{p}+n_{2}m_{1}b^{q}}{n_{1}m_{2}+n_{2}m_{1}}},$

καθώς ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$. Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για συνολικά $n_{1}m_{2}+n_{2}m_{1}=m_{1}m_{2}$ πραγματικούς αριθμούς: $n_{1}m_{2}$ αριθμούς $a^{p}$ και $n_{2}m_{1}$ αριθμούς $b^{q}$:

${\frac {n_{1}m_{2}a^{p}+n_{2}m_{1}b^{q}}{n_{1}m_{2}+n_{2}m_{1}}}\geq \left((a^{p})^{n_{1}m_{2}}(b^{q})^{n_{2}m_{1}}\right)^{1/(m_{1}m_{2})}=(a^{p})^{\tfrac {n_{1}}{m_{1}}}(b^{q})^{\tfrac {n_{2}}{m_{2}}}=ab.$

Συνδυάζοντας τα παραπάνω δύο βήματα, λαμβάνουμε την ανισότητα Γιανγκ.

Με ανισότητα Μπερνούλλι  

Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής επέκταση της ανισότητας Μπερνούλλι: Για κάθε πραγματικό αριθμό $x\geq -1$ και $r\geq 1$, ισχύει ότι

$(1+x)^{r}\geq 1+rx.$

Για να αποδείξουμε την ανισότητα Γιανγκ, θεωρούμε $x={\frac {a^{p}}{b^{q}}}-1\geq -1$ και $r=p>1$, επομένως

$\left(1+{\frac {{\frac {a^{p}}{b^{q}}}-1}{p}}\right)^{p}\geq 1+p\cdot {\frac {{\frac {a^{p}}{b^{q}}}-1}{p}}={\frac {a^{p}}{b^{q}}}.$

Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε ότι

$1+{\frac {{\frac {a^{p}}{b^{q}}}-1}{p}}\geq {\frac {a}{b^{q/p}}}.$

και αναπτύσσοντας και τα δύο μέλη

${\frac {a^{p}}{p}}+\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\cdot {\frac {b^{q}}{q}}\geq ab^{q(1-/p)}.$

Χρησιμοποιώντας ότι ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$, λαμβάνουμε την ανισότητα Γιανγκ.

Με ολοκληρώματα  

Οπτικοποίηση της ανισότητας για τα ολοκληρώματα. Οι επιφάνειες των δύο ολοκληρωμάτων καλύπτουν το ορθογώνιο διαστάσεων $a\times b$ με κάτω αριστερή κορυφή την αρχή των αξόνων.

Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής ανισότητα για ολοκληρώματα: Για οποιοδήποτε συνεχή γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f:[0,\infty )\to [0,\infty )$ και οποιαδήποτε $a,b>0$ έχουμε ότι

$\int _{0}^{a}f(x)\,dx+\int _{0}^{b}f^{-1}(x)\,dx\geq ab.$

(1)

Έστω ότι $f(x)=x^{p-1}$ (που είναι γνησίως αύξουσα για $p>1$). Τότε, $f^{-1}(x)=x^{1/(p-1)}$ και επειδή

${\frac {1}{p-1}}={\frac {1}{{\frac {1}{1-{\frac {1}{q}}}}-1}}=q-1,$

έχουμε ότι $f^{-1}(x)=x^{q-1}$. Επομένως,

$\int _{0}^{a}x^{p-1}\,dx+\int _{0}^{b}f^{-1}(x)\,dx=\left.{\frac {x^{p}}{p}}\right|_{0}^{a}+\left.{\frac {x^{q}}{q}}\right|_{0}^{b}={\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.$

Από την (1), λαμβάνουμε ότι την ανισότητα Γιανγκ.

Γενικεύσεις

Ανισότητα με ολοκληρώματα

Για οποιοδήποτε συνεχή γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f:[0,\infty )\to [0,\infty$ και οποιαδήποτε $a,b>0$ έχουμε ότι

$\int _{0}^{a}f(x)\,dx+\int _{0}^{b}f^{-1}(x)\,dx\geq ab.$

Ανισότητα Χέλντερ

Η ανισότητα Χέλντερ δίνει ότι για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a_{1},\ldots ,a_{n}$, $b_{1},\ldots ,b_{n}$ και $p,q>1$ τέτοιος ώστε ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$, ισχύει ότι

$\sum _{i=1}^{n}|a_{i}b_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{1/p}\right)^{p}\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{1/q}\right)^{q}.$

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Χέλντερ