Απειρόβαθο πηγάδι

Στην κβαντική μηχανική, το απειρόβαθο πηγάδι (επίσης γνωστό ως σωματίδιο σε μονοδιάστατο κουτί ή σωματίδιο σε σωληνάκι) αποτελεί ένα παράδειγμα ακριβώς επιλύσιμου προβλήματος. Παρά την ευκολία του προβλήματος (από μαθηματικής σκοπιάς), αναδεικνύει πολλές σημαντικές πτυχές της κβαντικής θεωρίας.

Μαθηματική περιγραφή

Σε μία διάσταση, το πρόβλημα ορίζεται μονοσήμαντα από τη γνώση του δυναμικού μέσα στο οποίο κινείται το σωματίδιο και τις συνοριακές συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί η κυματοσυνάρτησή του. Με τη σειρά τους, οι συνοριακές συνθήκες επιβάλλονται από τη φυσική του προβλήματος. Στις παρακάτω θεματικές ενότητες παρουσιάζεται μία σύντομη μαθηματική περιγραφή των βασικότερων χαρακτηριστικών του προβλήματος του απειρόβαθου πηγαδιού.

Δυναμικό

Το δυναμικό V(x) του απειρόβαθου πηγαδιού.

Το δυναμικό του προβλήματος του απειρόβαθου πηγαδιού περιγράφεται από τη συνάρτηση:

$V(x)={\begin{cases}{\begin{aligned}0,&\ 0\leq x\leq L\\+\infty ,&\ x<0\ \kappa \alpha \iota \ x>L\end{aligned}}\end{cases}}$

όπου L η διάσταση στην οποία είναι εγκλωβισμένο το σωματίδιο. Ο όρος «απειρόβαθο πηγάδι» προκύπτει ακριβώς από τη μορφή του δυναμικού.

Εξίσωση Σρέντιγκερ

Η γνώση του δυναμικού συνεπάγεται σε γνώση της Χαμιλτονιανής. Συγκεκριμένα, η Χαμιλτονιανή του σωματιδίου στο απειρόβαθο πηγάδι αντιστοιχεί στη Χαμιλτονιανή του ελεύθερου σωματίου.

Στον χώρο των θέσεων, η εξίσωση Σρέντιγκερ για το διάστημα 0≤x≤L παίρνει τη μορφή:

$\psi ''+\left({\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\right)\psi =0$

όπου m η μάζα του σωματιδίου.

Γενική λύση

Θέτοντας k²=2mE/ħ² (πράγμα που επιτρέπεται αφού οι ποσότητες Ε, m και ħ είναι θετικές), η εξίσωση Σρέντιγκερ καταλήγει στην απλούστερη μορφή:

$\psi ''+k^{2}\psi =0\ \ \$

Η γενική λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης είναι ένας γραμμικός συνδυασμός εκθετικών της μορφής e^±ikx, ήτοι

$\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\ ,\ \ \ \$

όπου Α και Β δύο (εν γένει) μιγαδικές σταθερές που προσδιορίζονται από τις συνοριακές συνθήκες και τις φυσικές απαιτήσεις που πρέπει να ικανοποιεί η χωρική κυματοσυνάρτηση ώστε να περιγράφει ένα πραγματικό σωματίδιο.

Συνοριακές συνθήκες

Το πρόβλημα του απειρόβαθου πηγαδιού περιγράφει ένα ελεύθερο σωμάτιο που είναι περιορισμένο να κινείται σε ένα πολύ λεπτό μονοδιάστατο «σωληνάκι» πεπερασμένου μήκους L. Η μαθηματική απαίτηση που πρέπει να ικανοποιεί η χωρική κυματοσυνάρτηση ψ(x) του σωματιδίου είναι:

$\psi (x=0)=\psi (x=L)=0\ \ \$

Η φυσική σημασία της παραπάνω μαθηματικής συνθήκης είναι ότι το σωματίδιο έχει μηδενική πιθανότητα να βρεθεί στα άκρα του σωλήνα, με αποτέλεσμα να είναι αναγκασμένο να εκτελεί μονοδιάστατη κίνηση στην περιοχή 0≤x≤L.

Ιδιοσυναρτήσεις

Οι κυματοσυναρτήσεις n=1,2,3,4.

Οι [χωρικές] ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής του σωματιδίου σε σωληνάκι, δεδομένων των προαναφερθέντων συνοριακών συνθηκών, δίνονται από τον παρακάτω τύπο:

$\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\ \sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)},\ \ \ n=1,2,3...$

όπου L το μήκος του σωλήνα και 0≤x≤L η μεταβλητή που περιγράφει τη θέση του σωματιδίου. Οι παραπάνω ιδιοσυναρτήσεις είναι ορθοκανονικές, δηλαδή ικανοποιούν τη σχέση

$\int _{-\infty }^{+\infty }\psi _{n}^{*}(x)\psi _{m}(x)dx=\delta _{nm}\ ,$

όπου δ το σύμβολο του Κρόνεκερ.

Ιδιοτιμές

Οι ενέργειες των κυματοσυναρτήσεων n=1,2,3,4,5. Παρατηρείστε ότι οι ενεργειακές στάθμες δεν ισαπέχουν μεταξύ τους.

Οι ιδιοτιμές της ενέργειας του σωματιδίου αποδεικνύεται ότι δίνονται από τον τύπο:

$E_{n}=\left({\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\right)n^{2},\ \ \ n=1,2,3,...$

όπου m η μάζα του σωματιδίου. Το ενεργειακό φάσμα του προβλήματος λοιπόν είναι διακριτό (ή αλλιώς κβαντισμένο), φαινόμενο πολύ συνηθισμένο σε κβαντομηχανικά προβλήματα. Όπως ορίζει η αρχή της αντιστοιχίας, η θεμελιώδης στάθμη στο κλασικό όριο ħ→0 αναπαράγει τα αποτελέσματα της κλασικής μηχανικής. Συγκεκριμένα, στην κλασική μηχανική η ελάχιστη ενέργεια ενός σωματιδίου που κινείται σε ένα μονοδιάστατο σωληνάκι αντιστοιχεί στην κατάσταση απόλυτης ηρεμίας (μηδενική ταχύτητα). Το γεγονός ότι στην κβαντομηχανική ακόμα και η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας αντιστοιχεί σε μη μηδενική ταχύτητα (η λεγόμενη ενέργεια μηδενικού σημείου) είναι ένα ακόμα σημαντικό φαινόμενο που συναντάται συχνά στην κβαντική θεωρία.

Απροσδιοριστίες θέσης και ορμής

Γνωρίζοντας την ακριβή μορφή των ιδιοσυναρτήσεων του προβλήματος, είναι δυνατόν να υπολογισθούν οι απροσδιοριστίες θέσης και ορμής για οποιαδήποτε κατάσταση n στην οποία βρίσκεται το σωματίδιο. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι

${\begin{aligned}(\Delta x)_{n}&={\frac {L}{\sqrt {2}}}{\sqrt {{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{\pi ^{2}n^{2}}}}}\\(\Delta p)_{n}&={\frac {\hbar \pi n}{L}}\end{aligned}}$

Επίσης, το γινόμενο

$(\Delta x)_{n}(\Delta p)_{n}={\frac {\hbar \pi n}{\sqrt {2}}}{\sqrt {{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{\pi ^{2}n^{2}}}}}$

είναι πάντοτε μεγαλύτερο από $\hbar /2$, σε πλήρη συμφωνία με την αρχή της απροσδιοριστίας θέσης-ορμής.

Χρονική εξέλιξη

Η χρονικά εξαρτημένη κυματοσυνάρτηση για n=3. Παρατηρείστε ότι είναι όπως ακριβώς η στατική, αλλά απλά περιστρέφεται.

Γνωρίζοντας τις χωρικές κυματοσυναρτήσεις ψ(x), ο υπολογισμός της χρονικής εξέλιξης μίας οποιασδήποτε ιδιοσυνάρτησης ψ_n του προβλήματος ανάγεται στον πολλαπλασιασμό κάθε ιδιοσυνάρτησης με την χρονική συνάρτηση

$T_{n}(t)=e^{-iE_{n}t/\hbar }$

όπου E_n είναι η n-οστή ιδιοτιμή της ενέργειας του σωματιδίου και t ο χρόνος. Συνεπώς, η n-οστή ιδιοκατάσταση του συστήματος εξελίσσεται χρονικά βάσει της παρακάτω συνάρτησης:

$\Psi _{n}(x,t)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\ \sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left({\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}\right)t}$

Γενική κατάσταση συστήματος

Επειδή οι λύσεις της εξίσωσης Σρέντιγκερ για το σωματίδιο σε μονοδιάστατο σωληνάκι είναι άπειρες, η γενική κατάσταση, Ψ(x,t), του σωματιδίου πρέπει να είναι ένας γραμμικός συνδυασμός όλων των δυνατών ιδιοκαταστάσεων. Στη γενικότερη περίπτωση λοιπόν, το σωματίδιο βρίσκεται μία άπειρη επαλληλία καταστάσεων που περιγράφεται μαθηματικά από την παρακάτω συνάρτηση:

$\Psi (x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\Psi _{n}(x,t)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left({\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}\right)t}$

όπου c_n σταθερές που υπολογίζονται αν γνωρίζουμε σε ποια κατάσταση βρισκόταν το σωματίδιο μία δεδομένη χρονική στιγμή. Αν t=0 η χρονική στιγμή εκείνη και Ψ(x,t=0)=φ₀(x) η αντίστοιχη κατάσταση στην οποία βρισκόταν το σωματίδιο, τότε οι σταθερές c_n δίνονται από τον τύπο:

$c_{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\int _{0}^{L}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\phi _{0}(x)dx$

Απόδειξη του παραπάνω τύπου

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, το σωματίδιο θα βρίσκεται εν γένει σε μία γενική κατάσταση που περιγράφεται από την συνάρτηση

$\Psi (x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\Psi _{n}(x,t)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left({\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}\right)t}$

Για t=0, έχουμε ότι

${\begin{aligned}\Psi (x,0)&={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left({\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}\right)\cdot 0}\\\phi _{0}&={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\end{aligned}}$

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης με sin(mπx/L) (όπου m θετικός ακέραιος) και ολοκληρώνοντας από 0 έως L, βρίσκουμε ότι:

$\int _{0}^{L}\sin \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)\phi _{0}(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\int _{0}^{L}\sin \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)dx$

Όμως,

$\int _{0}^{L}\sin \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)dx={\frac {L}{2}}\delta _{mn}$

Επίσης,

$\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\delta _{mn}=c_{m}$

Άρα προκύπτει ότι,

$\int _{0}^{L}\sin \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)\phi _{0}(x)dx={\frac {L}{2}}c_{m}$

$c_{m}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}\sin \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)\phi _{0}(x)dx$

Ο δείκτης m όμως είναι βωβός, συνεπώς μπορούμε να θέσουμε m=n.

Βιβλιογραφία

• Τραχανάς Στέφανος (2009), Κβαντομηχανική Ι, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
• Bransden, B. H.· Joachain, C. J. (2000). Quantum mechanics (2nd έκδοση). Essex: Pearson Education. ISBN 978-0-582-35691-7. 
• Davies, John H. (2006). The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction (6th reprint έκδοση). Cambridge University Press. 
• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd έκδοση). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-111892-8. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Configuration integral (statistical mechanics), 2008. this wiki site is down; see this article in the web archive on 2012 April 28.