Αριθμητική παράσταση

Στα μαθηματικά, αριθμητική παράσταση είναι μια ακολουθία από τα ψηφία $0\ldots 9$ και σύμβολα τα σύμβολα για την πρόσθεση ($+$), αφαίρεση ($-$), πολλαπλασιασμό ($\times$), διαίρεση ($/$), ύψωση σε δύναμη (${\hat {\ }}$) και παρενθέσεις ($($, $)$), που ικανοποιεί κάποιους κανόνες ώστε να θεωρείται έγκυρη. Για παράδειγμα, η ακολουθία

$8-(3+4)\times 10^{3}$

είναι μία έγκυρη ακολουθία, ενώ η ακολουθία

$8-3+)\times \times 10$

δεν είναι έγκυρη.

Αυστηρά, οι έγκυρες αριθμητικές παραστάσεις ορίζονται ως μία γλώσσα χωρίς συμφραζόμενα.

Για τις έγκυρες αριθμητικές παραστάσεις ορίζεται η τιμή της παράστασης ακολουθώντας μία αυστηρά ορισμένη ακολουθία εκτέλεσης πράξεων. Η συμβατική σειρά εκτέλεσης είναι η εξής: πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις, έπειτα τους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις και τέλος κάνουμε προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν όμως υπάρχουν παρενθέσεις τότε προηγούνται οι πράξεις μέσα σ' αυτές με την παραπάνω σειρά.

Παράδειγμα Υπολογισμού Τιμής

Θα υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης:

$2\times (17-4^{2})-3\times 5^{2}+(3\times 2+4)\times (4-6)^{3}:(5-2\times 7+8)$.

Βήμα 1ο: Εκτελούμε τις πράξεις μέσα σε κάθε παρένθεση χωριστά:

1. $17-4^{2}=17-16=1$
2. $3\times 2+4=6+4=10$
3. $4-6=-2$
4. $5-2\times 7+8=5-14+8=5+8-14=13-14=-1$

και αντικαθιστούμε με τα ενδιάμεσα αποτελέσματα:

$2\times 1-3\times 5^{2}+10\times (-2)^{3}/(-1)$

Βήμα 2ο: Υπολογίζουμε τις δυνάμεις:

1. $5^{2}=5\times 5=25$
2. $(-2)^{3}=-8$

και αντικαθιστούμε με τα ενδιάμεσα αποτελέσματα:

$2\times 1-3\times 25+10\times (-8)/(-1)$

Βήμα 3ο: Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις:

1. $2\times 1=2$
2. $3\times 25=75$
3. $10\times (-8):(-1)=(-80):(-1)=80$

και αντικαθιστούμε με τα ενδιάμεσα αποτελέσματα:

$2-75+80$

Βήμα 4ο: Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις με τη σειρά που γράφονται:

$2-75+80=-73+80=7$.

Εμομένως, το 7 είναι η τιμή της παραπάνω αριθμητικής παράστασης.

Παρατηρήστε ότι κατά την αντικατάσταση, όταν ένα ενδιάμεσο αποτέλεσμα έχει πρόσημο (ή είναι κλάσμα) γράφεται σε παρένθεση. Οι παρενθέσεις αυτές απαλείφονται οριστικά ακριβώς πριν από την εκτέλεση των προσθέσεων, την στιγμή δηλαδή που η αριθμητική παράσταση είναι ένα αλγεβρικό άθροισμα.

Ορισμός ως γλώσσα χωρίς συμφραζόμενα

Οι έγκυρες αριθμητικές παραστάσεις μπορούν να οριστούν ως την εξής γλώσσα χωρίς συμφραζόμενα με μη-τερματικά σύμβολα ($S$, ${\mathit {Op}}$, $Z$, $D$):

${\begin{aligned}S&\to S\ {\mathit {Op}}\ S\ |\ (S)\\{\mathit {Op}}&\to +\ |\ -\ |\ \times \ |\ :\\S&\to DZ\ |\ -DZ\ |\ 0\\D&\to 1\ |\ 2\ |\ 3\ |\ 4\ |\ 5\ |\ 6\ |\ 7\ |\ 8\ |\ 9\\Z&\to 0\ |\ D\ |\ \epsilon \end{aligned}}$