Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος είναι η ακολουθία $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots$, στην οποία για οποιοσδήποτε δύο διαδοχικούς όρους της $\alpha _{\nu }$, $\alpha _{\nu +1}$ ισχύει ότι $\alpha _{\nu +1}=\alpha _{\nu }+\omega$, για μία σταθερή ποσότητα $\omega$. Η ποσότητα $\omega$ ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι σταθερός αριθμός, δηλαδή ανεξάρτητος από το $\nu$, τότε αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Έτσι η αριθμητική πρόοδος, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο ισοδύναμους ορισμούς:

• Γενικός τύπος: $\alpha _{\nu }=\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega$, όπου ορίζεται ο $\nu$-οστός όρος συναρτήσει του πρώτου όρου και της διαφοράς.
• Αναδρομικός τύπος: $\alpha _{\nu +1}=\alpha _{\nu }+\omega$ για $\nu \geq 1$, όπου ορίζεται ο $\nu$-οστός όρος συναρτήσει του προηγούμενου όρου και της διαφοράς.

Για παράδειγμα, για $\alpha _{1}=4$ και $\omega =5$, οι όροι της αριθμητικής προόδου είναι

$\alpha _{1}=4,\alpha _{2}=9,\alpha _{3}=14,\alpha _{4}=19,\ldots$

και για $\alpha _{1}=3$ και $\omega =-7$

$\alpha _{1}=3,\alpha _{2}=-4,\alpha _{3}=-11,\alpha _{4}=-18,\ldots$

Η αριθμητική πρόοδος ικανοποιεί την γραμμική αναδρομική σχέση πρώτου βαθμού με σταθερούς συντελεστές και σταθερή οδηγό συνάρτηση.

Παραδείγματα

Παραδείγματα αριθμητικών προόδων με διαφορά $\omega >0$, $\omega =0$ και $\omega <0$.

• Αν $\omega =1$ και $\alpha _{1}=1$ τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών: $\alpha _{1}=1,\alpha _{2}=2,\alpha _{3}=3,\ldots$.
• Αν $\omega =2$ και $\alpha _{1}=2$ τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των άρτιων φυσικών αριθμών: $\alpha _{1}=2,\alpha _{2}=4,\alpha _{3}=6,\ldots$. Αντίστοιχα, για $\omega =-2$ και $\alpha _{1}=-2$, είναι το σύνολο των αρνητικών άρτιων αριθμών: $\alpha _{1}=-2,\alpha _{2}=-4,\alpha _{3}=-6,\ldots$.
• Αν $\omega =2$ και $\alpha _{1}=1$ τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των περιττών φυσικών αριθμών: $\alpha _{1}=1,\alpha _{2}=3,\alpha _{3}=5,\ldots$. Αντίστοιχα, για $\omega =-2$ και $\alpha _{1}=-1$, είναι το σύνολο των αρνητικών περιττών αριθμών: $\alpha _{1}=-1,\alpha _{2}=-3,\alpha _{3}=-5,\ldots$.

Σχέση με άλλες ακολουθίες

• Η αρμονική πρόοδος μπορεί να οριστεί ως κάθε ακολουθία αριθμών $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{\nu },\ldots$ με $\alpha _{\nu }\neq 0$ ώστε η ακολουθία: ${\tfrac {1}{a_{1}}},{\tfrac {1}{a_{2}}},\ldots ,{\tfrac {1}{a_{\nu }}}$, αποτελεί μία αριθμητική πρόοδο.
• Αν $(\alpha _{\nu })_{\nu =1}^{\infty }$ είναι μία γεωμετρική πρόοδος με $\alpha _{\nu }>0$ και λόγο $\lambda$, τότε η ακολουθία $\beta _{\nu }=\log \alpha _{\nu }$ είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά $\omega =\log \lambda$, καθώς $\beta _{\nu }=\log \alpha _{\nu }=\log(\alpha _{1}\lambda ^{\nu -1})=\log \alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \log \lambda$.

Ισοδυναμία ορισμών

Γενικός σε αναδρομικό τύπο

Ξεκινώντας από τον γενικό τύπο έχουμε ότι $\alpha _{\nu +1}=\alpha _{1}+\nu \cdot \omega =(\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega )+\omega =\alpha _{\nu }+\omega$, και επομένως οδηγούμαστε στον αναδρομικό.

Αναδρομικός σε γενικό τύπο

Για να αποδείξουμε τον γενικό τύπο από τον αναδρομικό, θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για όλους τους φυσικούς αριθμούς $\nu$.

Βασική Περίπτωση: Για $\nu =1$, έχουμε ότι $\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega =\alpha _{1}+(1-1)\cdot \omega =\alpha _{1}$.

Επαγωγική Περίπτωση: Αν ισχύει για $\nu =\kappa$, δηλαδή $\alpha _{\kappa }=\alpha _{1}+(\kappa -1)\cdot \omega$, θα δείξουμε ότι ισχύει και για $\nu =\kappa +1$. Από τον αναδρομικό τύπο,

$\alpha _{\kappa +1}=\alpha _{\kappa }+\omega =\alpha _{1}+(\kappa -1)\cdot \omega +\omega =\alpha _{1}+\kappa \cdot \omega .$

Επομένως ισχύει και για $\nu =\kappa +1$ και έτσι για όλους τους φυσικούς αριθμούς $\nu$.

Ιδιότητες της προόδου

Τρία παραδείγματα αριθμητικών προόδων και τα σημεία πάνω στα οποία ανήκουν. Η κλίση της ευθείας είναι $\omega$.

Μονοτονία

Καθώς $\omega =\alpha _{\nu +1}-\alpha _{\nu }$, προκύπτει άμεσα ότι:

• Αν $\omega >0$, η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα.
• Αν $\omega <0$, η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως φθίνουσα.
• Αν $\omega =0$, η αριθμητική πρόοδος είναι σταθερή.

Γραφική παράσταση

Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικά σημεία μιας ευθείας με κλίση ίση με $\omega$.

Άθροισμα πρώτων όρων

Το άθροισμα των $\nu$ πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου $\alpha _{\nu }$ (με πρώτο όρο τον $\alpha _{1}$) ισούται με

$\Sigma _{\nu }:=\sum _{\kappa =1}^{\nu }\alpha _{\kappa }={\frac {\nu (\alpha _{1}+\alpha _{\nu })}{2}}=\alpha _{1}\cdot \nu +\omega \cdot {\frac {\nu \cdot (\nu -1)}{2}}.$

Σύμφωνα με κάποιες πηγές, ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον Γκάους σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικός μαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα $1+2+3+\ldots +99+100$ και αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχική πρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινόταν λάθος.

Απόδειξη  

Η ιδέα της απόδειξης είναι ότι στο άθροισμα $1+2+3+\ldots +99+100$, οι όροι $1+100=101$, $2+999=101$, $3+998=101$, κ.ο.κ. Επειδή υπάρχουν $\nu /2=100/2$ τέτοια ζεύγη, λαμβάνουμε τον τύπο ${\tfrac {\nu }{2}}\cdot (\alpha _{1}+\alpha _{\nu })$.

Στην γενική περίπτωση έχουμε για κάθε $1\leq \kappa <\nu$ ότι

${\begin{aligned}\alpha _{\kappa }+\alpha _{\nu -\kappa +1}&=\alpha _{1}+(\kappa -1)\cdot \omega +\alpha _{1}+(\nu -\kappa )\cdot \omega \\&=2\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega \\&=\alpha _{1}+\alpha _{\nu }\end{aligned}}$.

Επομένως,

${\begin{aligned}2\Sigma _{\nu }&=2\sum _{\kappa =1}^{\nu }\alpha _{\kappa }\\&=\sum _{\kappa =1}^{\nu }(\alpha _{\kappa }+\alpha _{\nu -\kappa +1})\\&=\sum _{\kappa =1}^{\nu }(\alpha _{1}+\alpha _{\nu })\\&=\nu \cdot (\alpha _{1}+\alpha _{\nu }),\end{aligned}}$

και καταλήγουμε ότι

$\Sigma _{\nu }={\frac {\nu }{2}}\cdot (\alpha _{1}+\alpha _{\nu })$,

που μπορεί να γραφτεί και ως,

${\begin{aligned}\Sigma _{\nu }&={\frac {\nu }{2}}\cdot (\alpha _{1}+(\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega ))\\&=\alpha _{1}\cdot \nu +\omega \cdot {\frac {\nu \cdot (n-1)}{2}}.\end{aligned}}$

Μέσος όρος

Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών $\alpha$ και $\gamma$ είναι ο $\beta$, αν και μόνο αν οι όροι $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Απόδειξη  

($\Rightarrow$) Αν ${\tfrac {\alpha +\gamma }{2}}=\beta$, τότε $\alpha +\gamma =2\beta$ και $\gamma -\beta =\beta -\alpha$. Επομένως, για $\omega =\beta -\alpha$, έχουμε ότι $\gamma =\alpha +2\omega$ και $\beta =\alpha +\omega$.

($\Leftarrow$) Αν $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε $\beta =\alpha +\omega$ και $\gamma =\alpha +2\omega$. Επομένως,

${\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {\alpha +\alpha +2\omega }{2}}=\alpha +\omega =\beta$.

Υπολογισμός

Ο παρακάτω κώδικας στην γλώσσα προγραμματισμού C++ χρησιμοποιεί τον αναδρομικό τύπο ώστε να τυπώσει τους πρώτους πέντε όρους της ακολουθίας

#include <iostream>

int main() {
   double a_1 = 4.0;
   double omega = 1.5;
   
   double a_n = a_1;
   for (int n = 1; n <= 5; ++n) {
     std::cout << "a_" << n << " = " << a_n << ", ";
     a_n = a_n + omega; // Υπολογισμός καινούργιου όρου.
   }
   return 0;
}
/* Τυπώνει: a_1 = 4, a_2 = 5.5, a_3 = 7, a_4 = 8.5, a_5 = 10, */

Ο παρακάτω κώδικας χρησιμοποιεί τον γενικό τύπο ώστε να υπολογίσει έναν όρο της ακολουθίας. Χρησιμοποιεί σταθερό αριθμό πράξεων.

double arithmetic_nth(double a1, double omega, int n) {
   return a1 + (n - 1) * omega;
}

Ο αναδρομικός τύπος είναι πιο αργός καθώς χρειάζεται γραμμικό αριθμό πράξεων, δηλαδή $\Theta (n)$ πράξεις.

double arithmetic_nth_recursive(double a1, double omega, int n) {
   if (n == 1) return a1;
   return omega + arithmetic_nth_recursive(a1, omega, n-1);
}

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστικές εφαρμογές στις αριθμητικές προόδους
• Αριθμητική πρόοδος: Θεωρία και προβλήματα

Ελληνικά άρθρα

• Τ. Πατρώνης (1981). «Αριθμητικές-Γεωμετρικές Πρόοδοι, η ανάπτυξη των Μαγικών Νούφαρων και μια παράξενη μάρκα σοκολάτας». Ευκλείδης Β΄ (3): 126-130. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3119. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Hadley, John; Singmaster, David (Μαρτίου 1992). «Problems to sharpen the young». The Mathematical Gazette 76 (475): 102–126. doi:10.2307/3620384. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1992-03_76_475/page/102. 
• Stern, Martin D. (Ιουνίου 1990). «74.23 A mediaeval derivation of the sum of an arithmetic progression». The Mathematical Gazette 74 (468): 157–159. doi:10.2307/3619368. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1990-06_74_468/page/157. 
• Apostol, Tom M. (Μαρτίου 2003). «87.02 Sums of consecutive positive integers». The Mathematical Gazette 87 (508): 98–101. doi:10.1017/S002555720017216X. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2003-03_87_508/page/98. 
• Mullin, A. A. (Δεκεμβρίου 1972). «Problems on the Density of Arithmetic Sequences». The American Mathematical Monthly 79 (10): 1118–1119. doi:10.1080/00029890.1972.11993199. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1972-12_79_10/page/1118. 
• Simons, Stuart (Μαρτίου 2008). «92.08 Summing digits of an arithmetic sequence». The Mathematical Gazette 92 (523): 83–86. doi:10.1017/S0025557200182609. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2008-03_92_523/page/83. 
• Koshy, Thomas (Ιουλίου 2002). «Summing integer cubes using Thébault’s array of arithmetic sequences». The Mathematical Gazette 86 (506): 271–272. doi:10.2307/3621856. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2002-07_86_506/page/271. 
• Bush, Laurens Earle (Αυγούστου 1930). «On the Expression of an Integer as the Sum of an Arithmetic Series». The American Mathematical Monthly 37 (7): 353–357. doi:10.1080/00029890.1930.11987091. 

Δείτε επίσης

• Γενικευμένη αριθμητική πρόοδος
• Γεωμετρική πρόοδος
• Αρμονική πρόοδος

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα στο Wikimedia Commons