Αρμονική ανάλυση

Η αρμονική ανάλυση είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη διερεύνηση των σχέσεων μεταξύ μιας συνάρτησης και της αναπαράστασής της σε συχνότητα. Η αναπαράσταση σε συχνότητα βρίσκεται με τη χρήση του μετασχηματισμού Φουριέ για συναρτήσεις σε απεριόριστα πεδία, όπως η πλήρης πραγματική γραμμή, ή με σειρές Φουριέ για συναρτήσεις σε περιορισμένα πεδία, ιδίως περιοδικές συναρτήσεις σε πεπερασμένα διαστήματα. Η γενίκευση αυτών των μετασχηματισμών σε άλλους τομείς ονομάζεται συνήθως ανάλυση Φουριέ, αν και ο όρος χρησιμοποιείται μερικές φορές εναλλακτικά με την αρμονική ανάλυση. Η αρμονική ανάλυση έχει γίνει ένα τεράστιο αντικείμενο με εφαρμογές σε τομείς τόσο διαφορετικούς όσο η θεωρία αριθμών, η θεωρία αναπαράστασης, η επεξεργασία σήματος, η κβαντομηχανική, η παλιρροϊκή ανάλυση, η φασματική ανάλυση και η νευροεπιστήμη.

Ο όρος «αρμονικές» προέρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη αρμονικός, που σημαίνει «ειδικός στη μουσική». Στα προβλήματα φυσικών ιδιοτιμών, να αναφέρεται σε κύματα των οποίων οι συχνότητες είναι ακέραια πολλαπλάσια η μία της άλλης, όπως είναι οι συχνότητες των αρμονικών των μουσικών νοτών. Ωστόσο, ο όρος έχει γενικευτεί πέρα από την αρχική του σημασία.

Ανάπτυξη της αρμονικής ανάλυσης

Ιστορικά, οι αρμονικές συναρτήσεις αναφέρονταν αρχικά στις λύσεις της εξίσωσης του Λαπλάς Η ορολογία αυτή επεκτάθηκε σε άλλες ειδικές συναρτήσεις που έλυναν συναφείς εξισώσεις, στη συνέχεια στις ιδιοσυναρτήσεις γενικών ελλειπτικών τελεστών[4] και σήμερα οι αρμονικές συναρτήσεις θεωρούνται ως γενίκευση των περιοδικών συναρτήσεων σε χώρους συναρτήσεων που ορίζονται σε πολλαπλότητες, παραδείγματος χάριν ως λύσεις γενικών, όχι απαραίτητα ελλειπτικών, μερικών διαφορικών εξισώσεων που περιλαμβάνουν κάποιες οριακές συνθήκες που μπορεί να συνεπάγονται τη συμμετρία ή την περιοδικότητά τους.

Ανάλυση Φουριέ

Κύριο άρθρο: Ανάλυση Φουριέ

Ο κλασικός μετασχηματισμός Φουριέ στον Rn εξακολουθεί να αποτελεί τομέα συνεχιζόμενης έρευνας, ιδίως όσον αφορά τον μετασχηματισμό Φουριέ σε πιο γενικά αντικείμενα, όπως οι μετριασμένες κατανομές. Παραδείγματος χάριν, εάν επιβάλλουμε κάποιες απαιτήσεις σε μια κατανομή f, μπορούμε να προσπαθήσουμε να μεταφράσουμε αυτές τις απαιτήσεις στο μετασχηματισμό Φουριέ της f. Το θεώρημα των Παλέι - Βιένερ είναι ένα παράδειγμα. Το θεώρημα των Παλέι-Βίενερ συνεπάγεται αμέσως ότι αν η f είναι μια μη μηδενική κατανομή συμπαγούς υποστήριξης (σε αυτές περιλαμβάνονται οι συναρτήσεις συμπαγούς υποστήριξης), τότε ο μετασχηματισμός Φουριέ της δεν είναι ποτέ συμπαγούς υποστήριξης (δηλαδή, αν ένα σήμα είναι περιορισμένο σε ένα πεδίο, είναι απεριόριστο στο άλλο). Αυτή είναι μια στοιχειώδης μορφή της αρχής της αβεβαιότητας σε περιβάλλον αρμονικής ανάλυσης.

Οι σειρές Φουριέ μπορούν εύκολα να μελετηθούν στο πλαίσιο των χώρων Χίλμπερτ, γεγονός που παρέχει μια σύνδεση μεταξύ της αρμονικής ανάλυσης και της συναρτησιακής ανάλυσης. Υπάρχουν τέσσερις εκδοχές του μετασχηματισμού Φουριέ, οι οποίες εξαρτώνται από τους χώρους που απεικονίζονται από τον μετασχηματισμό:

• Διακριτός/περιοδικός-διακριτός/περιοδικός: Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Συνεχής/περιοδικός-διακριτός/απεριοδικός: Σειρά Φουριέ
• Διακριτός/περιοδικός-συνεχής/περιοδικός: Διακριτός-χρονικός μετασχηματισμός Φουριέ
• Συνεχής/περιοδικός-συνεχής/περιοδικός: Μετασχηματισμός Φουριέ

Καθώς οι χώροι που απεικονίζονται από τον μετασχηματισμό Φουριέ είναι, ειδικότερα, υποχώροι του χώρου των μετριασμένων κατανομών, μπορεί να αποδειχθεί ότι οι τέσσερις εκδοχές του μετασχηματισμού Φουριέ είναι ειδικές περιπτώσεις του μετασχηματισμού Φουριέ σε μετριασμένες κατανομές.

Αφηρημένη αρμονική ανάλυση

Η αφηρημένη αρμονική ανάλυση ασχολείται κυρίως με το πώς μπορούν να μελετηθούν συναρτήσεις πραγματικών ή μιγαδικών τιμών (συχνά σε πολύ γενικούς τομείς) χρησιμοποιώντας συμμετρίες όπως μετατοπίσεις ή περιστροφές ( παραδείγματος χάριν μέσω του μετασχηματισμού Φουριέ και των συναφών του)- ο τομέας αυτός σχετίζεται φυσικά με την αρμονική ανάλυση πραγματικών μεταβλητών, αλλά είναι ίσως πιο κοντά στο πνεύμα της θεωρίας απεικόνισης και της συναρτησιακής ανάλυσης.

Ένας από τους πιο σύγχρονους κλάδους της αρμονικής ανάλυσης, που έχει τις ρίζες του στα μέσα του 20ού αιώνα, είναι η ανάλυση σε τοπολογικές ομάδες. Τα βασικά κίνητρα είναι οι διάφοροι μετασχηματισμοί Φουριέ, οι οποίοι μπορούν να γενικευτούν σε ένα μετασχηματισμό συναρτήσεων που ορίζονται σε τοπικά συμπαγείς τοπολογικές ομάδες Χάουσντορφ.

Ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα στη θεωρία των συναρτήσεων σε αβελιανές τοπικά συμπαγείς ομάδες ονομάζεται δυαδικότητα του Ποντριάγκιν (Pontryagin duality). Η αρμονική ανάλυση μελετά τις ιδιότητες αυτής της δυαδικότητας. Διάφορες γενικεύσεις των μετασχηματισμών Φουριέ προσπαθούν να επεκτείνουν αυτά τα χαρακτηριστικά σε διαφορετικά περιβάλλοντα, για παράδειγμα, πρώτον στην περίπτωση των γενικών αβελιανών τοπολογικών ομάδων και δεύτερον στην περίπτωση των μη-αβελιανών ομάδων Λι.

Η αρμονική ανάλυση συνδέεται στενά με τη θεωρία των μοναδιαίων απεικονίσεων ομάδων για γενικές μη-αβελιανές τοπικά συμπαγείς ομάδες. Για συμπαγείς ομάδες, το θεώρημα Πέτερ Γουέιλ εξηγεί πώς μπορεί κανείς να πάρει αρμονικές επιλέγοντας μια μη αναγώγιμη παράσταση από κάθε κλάση ισοδυναμίας παραστάσεων.Αυτή η επιλογή αρμονικών απολαμβάνει μερικές από τις πολύτιμες ιδιότητες του κλασικού μετασχηματισμού Φουριέ από την άποψη της μεταφοράς συζυγιών σε σημειακά γινόμενα ή με άλλο τρόπο δείχνοντας μια ορισμένη κατανόηση της υποκείμενης δομής της ομάδας. Βλ. επίσης: Μη αντιμεταθετική αρμονική ανάλυση.

Αν η ομάδα δεν είναι ούτε αβελιανή ούτε συμπαγής, δεν είναι προς το παρόν γνωστή καμία γενική ικανοποιητική θεωρία («ικανοποιητική» σημαίνει τουλάχιστον τόσο ισχυρή όσο το θεώρημα Πλαντσερέλ). Ωστόσο, πολλές ειδικές περιπτώσεις έχουν αναλυθεί, για παράδειγμα, η SL_n. Στην περίπτωση αυτή, οι αναπαραστάσεις σε άπειρες διαστάσεις παίζουν καθοριστικό ρόλο.

Εφαρμοσμένη αρμονική ανάλυση

Σήμα χρόνου μπάσου-κιθάρας της νότας Α ανοιχτής χορδής (55 Hz)

Μετασχηματισμός Φουριέ του χρονικού σήματος μπάσου-κιθάρας της νότας Α ανοικτής χορδής (55 Hz)

Πολλές εφαρμογές της αρμονικής ανάλυσης στην επιστήμη και τη μηχανική ξεκινούν με την ιδέα ή την υπόθεση ότι ένα φαινόμενο ή σήμα αποτελείται από ένα άθροισμα μεμονωμένων ταλαντωτικών συνιστωσών. Οι παλίρροιες των ωκεανών και οι δονούμενες χορδές είναι κοινά και απλά παραδείγματα. Η θεωρητική προσέγγιση επιχειρεί συχνά να περιγράψει το σύστημα μέσω μιας διαφορικής εξίσωσης ή ενός συστήματος εξισώσεων προκειμένου να προβλεφθούν τα βασικά χαρακτηριστικά, ιδίως το πλάτος, η συχνότητα και οι φάσεις των ταλαντωτικών συνιστωσών. Οι συγκεκριμένες εξισώσεις εξαρτώνται από το τομέα, αλλά οι θεωρίες γενικά προσπαθούν να επιλέξουν εξισώσεις που αντιπροσωπεύουν σημαντικές αρχές που είναι εφαρμόσιμες.

Η πειραματική προσέγγιση είναι συνήθως η απόκτηση δεδομένων που ποσοτικοποιούν με ακρίβεια το φαινόμενο. Παραδείγματος χάριν, σε μια μελέτη της παλίρροιας, ο πειραματιστής συλλέγει δείγματα του βάθους του νερού ως συνάρτηση του χρόνου σε αρκετά κοντινά διαστήματα ώστε να βλέπει κάθε ταλάντωση και για αρκετά μεγάλη διάρκεια ώστε να περιλαμβάνονται πιθανώς πολλαπλές περίοδοι ταλάντωσης. Σε μια μελέτη για δονούμενες χορδές, είναι σύνηθες για τον πειραματιστή να αποκτά μια ηχητική κυματομορφή που δειγματοληπτείται με ρυθμό τουλάχιστον διπλάσιο από αυτόν της υψηλότερης αναμενόμενης συχνότητας και για διάρκεια πολλαπλάσια της περιόδου της χαμηλότερης αναμενόμενης συχνότητας.

Ενδεικτικά, το κορυφαίο σήμα στα δεξιά είναι μια ηχητική κυματομορφή μιας μπάσου κιθάρας που παίζει μια ανοιχτή χορδή που αντιστοιχεί σε μια νότα Α με θεμελιώδη συχνότητα 55 Hz. Η κυματομορφή φαίνεται ταλαντωτική, αλλά είναι πιο σύνθετη από ένα απλό ημιτονοειδές κύμα, υποδεικνύοντας την παρουσία πρόσθετων κυμάτων. Οι διάφορες συνιστώσες των κυμάτων που συμβάλλουν στον ήχο μπορούν να αποκαλυφθούν με την εφαρμογή μιας τεχνικής μαθηματικής ανάλυσης γνωστής ως μετασχηματισμός Φουριέ, που παρουσιάζεται στο κάτω σχήμα. Υπάρχει μια εξέχουσα κορυφή στα 55 Hz, αλλά και άλλες κορυφές στα 110 Hz, στα 165 Hz και σε άλλες συχνότητες που αντιστοιχούν σε ακέραια πολλαπλάσια των 55 Hz. Στην περίπτωση αυτή, τα 55 Hz προσδιορίζονται ως η θεμελιώδης συχνότητα της δόνησης της χορδής και τα ακέραια πολλαπλάσια ονομάζονται αρμονικές.

Άλλοι κλάδοι

• Η μελέτη των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων της Λαπλασιανής σε περιοχές, πολλαπλές και (σε μικρότερο βαθμό) γραφήματα θεωρείται επίσης κλάδος της αρμονικής ανάλυσης. Βλέπε, π.χ., την ακρόαση του σχήματος ενός τυμπάνου.
• Η αρμονική ανάλυση στους ευκλείδειους χώρους ασχολείται με ιδιότητες του μετασχηματισμού Φουριέ στον Rn που δεν έχουν ανάλογο στις γενικές ομάδες. Παραδείγματος χάριν, το γεγονός ότι ο μετασχηματισμός Φουριέ είναι αναλλοίωτος ως προς την περιστροφή. Η αποσύνθεση του μετασχηματισμού Φουριέ στις ακτινικές και σφαιρικές συνιστώσες του οδηγεί σε θέματα όπως οι συναρτήσεις Μπεσέλ και οι σφαιρικές αρμονικές.
• Η αρμονική ανάλυση στους ευκλείδειους χώρους ασχολείται με ιδιότητες του μετασχηματισμού Φουριέ στον R'ⁿ που δεν έχουν ανάλογο στις γενικές ομάδες. Παραδείγματος χάριν, το γεγονός ότι ο μετασχηματισμός Φουριέ είναι αναλλοίωτος ως προς την περιστροφή. Η αποσύνθεση του μετασχηματισμού Φουριέ στις ακτινικές και σφαιρικές συνιστώσες του οδηγεί σε θέματα όπως οι συναρτήσεις Μπεσέλ και οι σφαιρικές αρμονικές.
• Η αρμονική ανάλυση σε σωληνωτούς χώρους ασχολείται με τη γενίκευση των ιδιοτήτων των χώρων Χάρντι σε υψηλότερες διαστάσεις.
• Οι αυτομορφικές μορφές είναι γενικευμένες αρμονικές συναρτήσεις, σε σχέση με μια ομάδα συμμετρίας. Αποτελούν ένα παλιό και ταυτόχρονα ενεργό πεδίο ανάπτυξης της αρμονικής ανάλυσης, λόγω της σύνδεσής τους με το πρόγραμμα Λάνγκλαντ.
• Μη γραμμική αρμονική ανάλυση είναι η χρήση εργαλείων και τεχνικών αρμονικής και συναρτησιακής ανάλυσης για τη μελέτη μη γραμμικών συστημάτων. Αυτό περιλαμβάνει τόσο προβλήματα με άπειρους βαθμούς ελευθερίας όσο και μη γραμμικούς τελεστές και εξισώσεις.

Στον τομέα της τεχνητής νοημοσύνης

Ένα από τα προβλήματα της τεχνητής νοημοσύνης είναι ότι μοιάζει με μαύρο κουτί.

Φαίνεται ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί η ανάλυση Φουριέ για να αναλυθεί ο τρόπος με τον οποίο ένα βαθύ νευρωνικό δίκτυο μαθαίνει να εκτελεί συγκεκριμένες σύνθετες εργασίες: ερευνητές του Πανεπιστημίου του Ράις, αφού εκπαίδευσαν ένα βαθύ νευρωνικό δίκτυο να αναγνωρίζει σύνθετες ροές αέρα ή νερού και προέβλεψαν πώς αυτές οι ροές θα μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου, στη συνέχεια εφάρμοσαν σε αυτό μια ανάλυση Φουριέ (στις εξισώσεις που διέπουν το νευρωνικό δίκτυο). Η μέθοδος αυτή αποκάλυψε τι είχε μάθει το νευρωνικό δίκτυο και, το σημαντικότερο, πώς απέκτησε αυτή τη γνώση.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Μετασχηματισμός Φουριέ
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Χώρος Χίλμπερτ
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Επεξεργασία σήματος
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Επεξεργασία σήματος
• Κβαντική μηχανική
• Πολλαπλάσιο (μαθηματικά)
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Σειρές Φουριέ
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Συναρτησιακή ανάλυση
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Stein, Elias M.· Murphy, Timothy S. (1993). Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03216-0. 
• Eymard, Pierre· Pier, Jean-Paul (14 Νοεμβρίου 2006). Harmonic Analysis: Proceedings of the International Symposium, held at the Centre Universitaire of Luxembourg, September 7-11, 1987. Springer. ISBN 978-3-540-46032-9. 
• DeVito, Carl L. (2007). Harmonic Analysis: A Gentle Introduction. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-3893-8. 
• Heil, Christopher (2 Αυγούστου 2007). Harmonic Analysis and Applications: In Honor of John J. Benedetto. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4504-5. 
• Herz, Carl· Drury, Stephen William (1997). Harmonic Analysis and Number Theory: Papers in Honour of Carl S. Herz : Proceedings of a Conference on Harmonic Analysis and Number Theory, April 15-19, 1996, McGill University, Montréal, Canada. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0794-1. 
• Arrillaga, Jos· Smith, Bruce C. (7 Οκτωβρίου 1997). Power System Harmonic Analysis. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-97548-9. 
• Varadarajan, V. S. (22 Ιουλίου 1999). An Introduction to Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66362-5. 
• Khavin, V. P.· Nikol'skij, N. K. (9 Μαρτίου 2013). Commutative Harmonic Analysis I: General Survey. Classical Aspects. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-02732-5. 

Παραπομπές

• Elias Stein and en:Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, en:Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X
• Elias Stein with Timothy S. Murphy, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, 1993.
• Elias Stein, Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory, Princeton University Press, 1970.
• en:Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2
• en:Terence Tao, Fourier Transform. (Introduces the decomposition of functions into odd + even parts as a harmonic decomposition over $\mathbb {Z} _{2}$.)
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
• en:George W. Mackey, Harmonic analysis as the exploitation of symmetry–a historical survey, Bull. Amer. Math. Soc. 3 (1980), 543–698.
• M. Bujosa, A. Bujosa and A. Garcıa-Ferrer. Mathematical Framework for Pseudo-Spectra of Linear Stochastic Difference Equations, IEEE Transactions on Signal Processing vol. 63 (2015), 6498–6509.
• Wallach, Nolan R (1976), «On the Enright-Varadarajan modules: a construction of the discrete series», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 4 (1): 81–101, doi:10.24033/asens.1304 
• Luiz, Atílio; Richter, Bruce (2014), «Remarks on a conjecture of Barát and Tóth», Electronic Journal of Combinatorics 21 (1): P1.57, doi:10.37236/3396, http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v21i1p57 .

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0