Αρχή αποκλειόμενου μέσου

Η αρχή του αποκλειόμενου μέσου ή νόμος της του τρίτου αποκλείσεως στην τυπική λογική γράφεται:

$P\lor \neg P.\!$.

Συχνά επίσης σημειώνεται ως:

$\forall P(P\lor \neg P)\!$,

για κάθε πρόταση P, P είναι αληθής ή "όχι-P" είναι αληθής.

Παράδειγμα 1

Για την πρόταση "Ο Σωκράτης είναι θνητός" ας πούμε ότι δεν γνωρίζουμε την τιμή αλήθειας. Με βάση την αρχή αποκλειόμενου μέσου προκύπτει ότι η διάζευξη "Είτε ο Σωκράτης είναι θνητός είτε είναι "μη-θνητός" είναι αληθής.

Παράδειγμα 2

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχουν δύο άρρητοι αριθμοί $a\,$ και $b\,$ ώστε ο $a^{b}\,$ να είναι ρητός.

Απόδειξη:

Ο ${\sqrt {2}}$ είναι άρρητος.

Ας πάρουμε τον αριθμό ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$.

Αυτός θα είναι είτε ρητός είτε άρρητος (αρχή αποκλειόμενου μέσου).

Αν είναι ρητός η απόδειξη τελειώνει εδώ.

Αν είναι άρρητος τότε ας πάρουμε

$\ a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\,$ και $\ b={\sqrt {2}}\,$.

Τότε είναι

$a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)}={\sqrt {2}}^{2}=2$.

Ο αριθμός 2 είναι ρητός, και τούτο ολοκληρώνει την απόδειξη.-

Σχέση με προτασιακή λογική και αρχή μη-αντίφασης

Η προτασιακή λογική προϋποθέτει ότι κάθε λογική πρόταση λαμβάνει ακριβώς μία από τις δύο τιμές αλήθειας (αληθές ή ψευδές). Η λεγόμενη κλασική λογική καθώς και οι περισσότερες (αλλά όχι όλες) θεωρίες μαθηματικής λογικής είναι προτασιακές λογικές. Χρησιμοποιείται και ο όρος δίτιμη ή δισθενής (bivalent) λογική.

Το "ή" στην αρχή αποκλειόμενου μέσου είναι απλή διάζευξη και όχι αποκλειστική διάζευξη. Από την αρχή αποκλειόμενου μέσου, μόνη της, δεν αποκλείεται η περίπτωση P είναι αληθής και "όχι-P" είναι αληθής. Επομένως η αρχή μη-αντίφασης συμπληρώνει την αρχή αποκλειόμενου μέσου.

Συνοψίζοντας:

• Προτασιακή λογική: Για κάθε πρόταση P, P είναι ή αληθής ή ψευδής. Η αρχή αυτή μπορεί να εκφραστεί μόνο στη μεταγλώσσα και δεν περιλαμβάνεται στους ορισμούς ή αξιώματα της μαθηματικής λογικής θεωρίας.

• Αρχή αποκλειόμενου μέσου: Για κάθε πρόταση P, P είναι αληθής ή "όχι-P" είναι αληθής. P ∨ ¬P

• Αρχή μη-αντίφασης: Για κάθε πρόταση P, αποκλείεται να ισχύει ότι και P είναι αληθής και "όχι-P" είναι αληθής. ¬(P ∧ ¬P)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Λογική των προτάσεων