Στην γραμμική άλγεβρα, μία γραμμική απεικόνιση (ή γραμμικός μετασχηματισμός) μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων
και
επί του σώματος
είναι μία συνάρτηση
η οποία ικανοποιεί
, για κάθε
, και
, για κάθε
και
.
Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας και είναι ισοδύναμες με την σχέση
, για κάθε
και
.
Αν οι διανυσματικοί χώροι
και
ταυτίζονται, τότε η γραμμική απεικόνιση ονομάζεται γραμμικός τελεστής ή αλλιώς ενδομορφισμός.
Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν για όποια απεικόνιση
:
.
Απόδειξη
|
Θεωρούμε ένα διάνυσμα . Τότε,
|
- Για οποιαδήποτε
διανύσματα
και σταθερές
, ισχύει ότι
.
Απόδειξη
|
Η απόδειξη είναι με την χρήση επαγωγής.
Βασική περίπτωση: Για η σχέση ισχύει από τον ισοδύναμο ορισμό των σχέσεων γραμμικότητας.
Επαγωγική περίπτωση: Έστω ότι ισχύει για , δηλαδή
.
τότε για έχουμε ότι
.
|
- Η συνάρτηση
για
είναι γραμμική.
- Η μηδενική συνάρτηση
είναι γραμμική.
- Για κάθε πίνακα
η συνάρτηση
είναι γραμμική (για
).
- Στον διανυσματικό χώρο των ολοκληρώσιμων πραγματικών συναρτήσεων, η συνάρτηση
![{\displaystyle T(f)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c321fadaa1a32b5fb69a3d1a3f8903de02435b8d)
- είναι γραμμική.
- Στον διανυσματικό χώρο των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων
η συνάρτηση
![{\displaystyle T(f)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b16c0541315561709bd5f1b1ca5795f3d7535d)
- είναι γραμμική.
Σε κάθε διανυσματικό χώρο
πεπερασμένης διάστασης έχουμε ότι κάθε απεικόνιση αντιστοιχεί σε έναν πίνακα.
Έστω
μία βάση του διανυσματικού χώρου
. Τότε κάθε διάνυσμα
μπορεί να γραφτεί ως
,
για κάποια
. Επομένως για έναν μετασχηματισμό
έχουμε από τις παραπάνω ιδιότητες ότι
.
Αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο πινάκων
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\Big \uparrow }&&{\Big \uparrow }\\T(b_{1})&\cdots &T(b_{n})\\{\Big \downarrow }&&{\Big \downarrow }\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {u} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a8bd9594c8a368e96e3fe1fc7f31d080e36cfc)
Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα
δεν εξαρτώνται από το
, επομένως ο πίνακας περιγράφει τον μετασχηματισμό
. Αυτό μας δίνει και έναν τρόπο να υπολογίζουμε τον πίνακα που αντιστοιχεί στον γραμμικό μετασχηματισμό, υπολογίζοντας απλά τον μεταχηματισμό για τα διανύσματα μία βάσης του
.
Περιστροφή του
![{\displaystyle (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79c6838e423c1ed3c7ea532a56dc9f9dae8290b)
κατά γωνία
![{\displaystyle \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)
.
Περιστροφή του
![{\displaystyle (1,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b53cc1773694affcc1d4d6c2c778d43156a1206)
κατά γωνία
![{\displaystyle \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)
.
Για να υπολογίσουμε τον πίνακα περιστροφής κατά γωνία
από την αρχή των αξόνων, θα υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό της βάσης
![{\displaystyle \left\lbrace {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\rbrace .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62afa6f0b2f0c6bb9751a7017e8dede80c83c8ab)
Με την βοήθεια των σχημάτων έχουμε ότι
![{\displaystyle {\begin{aligned}T(0)&\mapsto (\cos \theta ,\sin \theta ),\\T(1)&\mapsto (-\sin \theta ,\cos \theta ).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60c5c6a49e0618c2309c2aed595686524d0cd75)
Επομένως, ο πίνακας περιστροφής δίνεται από
![{\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}{\Big \uparrow }&{\Big \uparrow }\\T(e_{1})&T(e_{2})\\{\Big \downarrow }&{\Big \downarrow }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459657ba92ac501397fba25b7410b770d194aa32)