Δεκαεπτάγωνο

Στη γεωμετρία, το δεκαεπτάγωνο (από τις ελληνικές λέξεις δεκαεπτά και γωνία) είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο σχήμα με 17 πλευρές και 17 κορυφές. Οι εσωτερικές γωνίες οποιουδήποτε απλού δεκαεπταγώνου έχουν άθροισμα 2700 μοίρες (°). Το σύμβολο Schläfli του δεκαεπταγώνου είναι {17}.

Κανονικό δεκαεπτάγωνο

Συνήθως ο όρος δεκαεπτάγωνο αναφέρεται σε ένα κανονικό δεκαεπτάγωνο, στο οποίο όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Σε ένα τέτοιο δεκαεπτάγωνο, οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες με 158°49΄ περίπου η καθεμιά.

Το εμβαδό (E) ενός κανονικού δεκαεπταγώνου με μήκος πλευράς α δίνεται από τη σχέση:

$E={\frac {17}{4}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{17}}\right)\simeq 22,7355\,a^{2}.$

Κατασκευή κανονικού δεκαεπταγώνου

Το κανονικό δεκαεπτάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη, αλλά η κατασκευή αυτή είναι πολύπλοκη και αποδείχθηκε ότι είναι δυνατή από τον Γερμανό μαθηματικό Καρλ Φρίντριχ Γκάους το 1796 (όταν ο Γκάους ήταν 19 ετών). Αυτή η απόδειξη αντιπροσώπευε την πρώτη πρόοδο στην κατασκευή κανονικών πολυγώνων μετά από 2000 και πλέον χρόνια.

Η απόδειξη του Γκάους βασίζεται πρώτα στο ότι η κατασκευασιμότητα με κανόνα και διαβήτη είναι ισοδύναμη με το αν οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις της κοινής γωνίας είναι δυνατό να εκφρασθούν με τις 4 πράξεις της αριθμητικής και εξαγωγές τετραγωνικών ριζών, και δεύτερον στην απόδειξη του ίδιου ότι αυτό μπορεί να γίνει αν οι πρώτοι (πλην του 2) παράγοντες του αριθμού των γωνιών (εδώ του 17) είναι, εκτός από πρώτοι, και αριθμοί Φερμά, δηλαδή της μορφής $\scriptstyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$. Η κατασκευή ενός κανονικού δεκαεπταγώνου επομένως περιλαμβάνει την έκφραση του συνημιτόνου του $2\pi /17$ με συνδυασμό τετραγωνικών ριζών, η οποία αντιστοιχεί σε μία εξίσωση 17ου βαθμού. Αλλά ο 17 είναι ο ίδιος ταυτοχρόνως πρώτος αριθμός και αριθμός Φερμά (16+1). Το βιβλίο του Γκάους Disquisitiones Arithmeticae δίνει την έκφραση του συνημιτόνου ως (με τον σύγχρονο συμβολισμό):

${\begin{aligned}16\,\operatorname {cos} {2\pi \over 17}=&-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+\\&2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}.\end{aligned}}$

Οι κατασκευές του κανονικού (= ισόπλευρου) τριγώνου, του τετραγώνου, του κανονικού πενταγώνου και των κανονικών πολυγώνων με 2^h φορές τον αριθμό των πλευρών των παραπάνω είχαν δοθεί από τον Ευκλείδη, αλλά κατασκευές βασισμένες στους πρώτους αριθμούς Φερμά εκτός των 3 και 5 ήταν άγνωστες στους αρχαίους (έτσι κι αλλιώς, οι μοναδικοί γνωστοί πρώτοι αριθμοί Φερμά είναι οι 3, 5, 17, 257 και 65537).

Η πρώτη συγκεκριμένη περιγραφή της κατασκευής κανονικού δεκαεπταγώνου δόθηκε από τον Γιοχάνες Έρχινγκερ (Johannes Erchinger) το 1825 και πραγματοποιείται σε 64 βήματα.

Επίσης το 1893 o H.W. Richmond έδωσε μια κατασκευή η οποία είναι βελτιωμένη σε σχέση με αυτή του Erchinger και γίνεται σε λιγότερα βήματα.

Μία άλλη μέθοδος κατασκευής, που δείχνεται παρακάτω, χρησιμοποιεί κύκλους του Καρλάυλ. Με βάση την κατασκευή του κανονικού δεκαεπταγώνου, μπορούν να κατασκευασθούν εύκολα ν-γωνα με το ν να είναι το γινόμενο του 17 με το 3, το 5, το 15 ή οποιαδήποτε δύναμη του 2: π.χ. ένα κανονικό 51-γωνο, 85-γωνο ή 255-γωνο.

Πολύγωνα Petrie

Το κανονικό δεκαεπτάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για ένα πολύτοπο περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθεται παρακάτω σε skew ορθογώνια προβολή:

16-simplex (16D)

Βιβλιογραφία-πηγές

• Dunham, William (September 1996). «1996—a triple anniversary». Math Horizons: 8–13. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2010-07-13. https://web.archive.org/web/20100713044448/http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3057. Ανακτήθηκε στις 2009-12-06. 
• Klein, Felix κ.ά.: Famous Problems and Other Monographs – περιγράφει την αλγεβρική πλευρά.
• Σωτήρης Χρ. Γκουντουβάς, Γεωμετρικές Διαδρομές, Αθήνα 2021. (Αλγεβρικοί υπολογισμοί και κατασκευή)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Heptadecagon" από το MathWorld. Περιέχει περιγραφή της κατασκευής του κανονικού δεκαεπταγώνου.
• Τριγωνομετρικές συναρτήσεις για το 17γωνο
• BBC video - ένα δεκαεπταγωνικό κτήριο: το νέο κέντρο R&D της εταιρείας SolarUK