Στα μαθηματικά, μία διάταξη μεγέθους
ενός συνόλου
με
στοιχεία, είναι οποιαδήποτε διατεταγμένη
-άδα
, όπου
είναι στοιχεία του
και διαφορετικά μεταξύ τους.[1]:58-59[2]
Για παράδειγμα, για το σύνολο
, οι δυνατές διατάξεις μεγέθους
είναι οι εξής:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Μερικές από τις δυνατές διατάξεις μεγέθους
είναι οι εξής:
,
και
. Ενώ οι τριάδες
και
δεν είναι διατάξεις, καθώς επαναλαμβάνουν στοιχεία.
Στις διατάξεις με επανάληψη, τα στοιχεία της
-άδας μπορεί να είναι τα ίδια. Στους συνδυασμούς
ανά
, η σειρά των στοιχείων της
-άδας δεν έχει σημασία.
Το πλήθος των διατάξεων
στοιχείων ανά
δίνεται από τον εξής τύπο:
.
Η απόδειξη για αυτόν τον τύπο βασίζεται στις εξής παρατηρήσεις:
- Για την πρώτη θέση υπάρχουν
δυνατά στοιχεία που μπορούμε να τοποθετήσουμε,
- Για την δεύτερη θέση υπάρχουν
δυνατά στοιχεία (όλα εκτός από αυτό που τοποθετήσαμε στην πρώτη θέση),
- Για την τρίτη θέση υπάρχουν
δυνατά στοιχεία
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
- Για την
-οστή θέση, υπάρχουν
δυνατά στοιχεία.
Από την αρχή του γινομένου, πολλαπλασιάζοντας τις δυνατές επιλογές σε κάθε βήμα λαμβάνουμε το ζητούμενο πλήθος των δυνατών διατάξεων.
Υπενθυμίζοντας ότι το
παραγοντικό ορίζεται ως
,
το πλήθος των διατάξεων μπορεί να εκφραστεί ως
![{\displaystyle (n)_{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cc98b4c6df3837cffb7866df947303c62b5d1c)
Για
, οι διατάξεις
ανά
είναι οι μεταθέσεις και το πλήθος τους είναι
.