Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Στην γραμμική άλγεβρα, διαγώνιος πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μη-μηδενικά στοιχεία μόνο στην κύρια διαγώνιο.[1]:36[2]:178-179[3]:14-15[4]:7[5]:7 Πιο συγκεκριμένα, διαγώνιος είναι κάθε
πίνακας
, ο οποίος ικανοποιεί
για κάθε
και
.
Για
, κάθε διαγώνιος πίνακας διαστάσεων
έχει αντίστοιχα την μορφή:
![{\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0\\0&d_{2}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0&0\\0&d_{2}&0\\0&0&d_{3}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&0\\0&d_{2}&0&0\\0&0&d_{3}&0\\0&0&0&d_{4}\end{bmatrix}} _{4\times 4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecfc8fb7119459e4a76e6931b52b2a263e3baca4)
για κάποια στοιχεία
. Στην γενική περίπτωση, ο διαγώνιος πίνακας με στοιχεία
στην κυρία διαγώνιό του, γράφεται και ως εξής:[6]:62[7]
![{\displaystyle \operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n})={\begin{bmatrix}d_{1}&0&\ldots &0\\0&d_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &d_{n}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7abcb5c705b16738f190f28011bdf524646b9b0)
- Παρακάτω δίνονται παραδείγματα διαγωνίων πινάκων με διαστάσεις
για
αντίστοιχα:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&0\\0&2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}7&0&0\\0&-3&0\\0&0&2.2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}21&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&-8.3&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2a2c27948578137c736d74848cf8b2e822ac40)
- Ο τετραγωνικός μηδενικός πίνακας
είναι διαγώνιος.
- Ο μοναδιαίος πίνακας
είναι διαγώνιος.
- Το άθροισμα δύο διαγωνίων πινάκων
και
είναι διαγώνιος και ίσoς με
.
- Το γινόμενο δύο διαγωνίων πινάκων
και
είναι διαγώνιος και ίσος με
.
- Επομένως με την χρήση μαθηματικής επαγωγής έχουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό
.
- Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός διαγώνιου πίνακα
με ένα στοιχείο
είναι ένας διαγώνιος πίνακας ίσος με
.
- Το ίχνος ενός διαγωνίου πίνακα
είναι το άθροισμα των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή
.
- Η ορίζουσα ενός διαγωνίου πίνακα
είναι το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή[1]: 49
.
- Από αυτό προκύπτει ότι ένας διαγώνιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου είναι διάφορα του μηδέν.
- Αν
με
, τότε[1]: 39
,
- που επιβεβαιώνεται από την ιδιότητα του γινομένου, καθώς
.
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8.
- ↑ Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7.
- ↑ Βασιλειάδης, Π. (1983). Στοιχειώδης γραμμική άλγεβρα: Θεωρία, μεθοδολογία, παραδείγματα, ασκήσεις. Θεσσαλονίκη.
- ↑ Βουκούτης, Ν. Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα: Πίνακες, Ορίζουσες, Γραμμικά συστήματα για τις πανελλήνιες εξετάσεις β' λυκείου. Αθήνα: Δημόκριτος.
- ↑ Κυριακόπουλος, Α. Κ.· Κυβερνητου-Κυριακοπουλου, Χ. Μαθηματικά Γ' Λυκείου - 1ης και 4ης Δέσμης: Πίνακες, γραμμικά συστήματα, ορίζουσες. Αθήνα: Εκδόσεις Παπαδημητροπούλου.
- ↑ Μυριτζής, Ιωάννης (2015). Δυναμικά συστήματα. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-423-7.
- ↑ Ακριβής, Γεώργιος Δ. (2003). «Γραμμική άλγεβρα (πανεπιστημιακές παραδόσεις)» (PDF). Τμήμα Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Ανακτήθηκε στις 21 Αυγούστου 2022.