Ελκυστής Ρέσλερ

Ο ελκυστής Ρέσλερ είναι ο ελκυστής του συστήματος Ρέσλερ, ενός συστήματος τριών μη γραμμικών συνήθων διαφορικών εξισώσεων που μελετήθηκε αρχικά από τον Ότο Ρέσλερ τη δεκαετία του 1970^[1]^[2]. Αυτές οι διαφορικές εξισώσεις ορίζουν ένα δυναμικό σύστημα συνεχούς χρόνου που παρουσιάζει χαοτική δυναμική που συνδέεται με τις μορφοκλασματικές ιδιότητες του ελκυστή^[3]. Ο Ρέσλερ το ερμήνευσε ως μια τυποποίηση μιας μηχανής που τραβάει καραμέλες^[4].

Ο ελκυστής Ρέσλερ ως στερεόγραμμα με Ο ελκυστής Ρέσλερ ως στερεόγραμμα με $a=0.2$ , $b=0.2$ , $c=14$

Ορισμένες ιδιότητες του συστήματος Ρέσλερ μπορούν να προκύψουν μέσω γραμμικών μεθόδων, όπως τα ιδιοδιανύσματα, αλλά τα κύρια χαρακτηριστικά του συστήματος απαιτούν μη γραμμικές μεθόδους, όπως οι χάρτες Πουανκαρέ και τα διαγράμματα διακλάδωσης. Το αρχικό έγγραφο του Ρέσλερ αναφέρει ότι ο ελκυστής Ρέσλερ προοριζόταν να συμπεριφέρεται παρόμοια με τον ελκυστή Λόρεντζ, αλλά και να είναι ευκολότερο να αναλυθεί ποιοτικά^[1]. Μια τροχιά εντός του ελκυστή ακολουθεί μια σπειροειδή πορεία προς τα έξω κοντά στο επίπεδο $x,y$ γύρω από ένα ασταθές σταθερό σημείο. Μόλις η γραφική παράσταση σπειροειδώς εξελιχθεί αρκετά, ένα δεύτερο σταθερό σημείο επηρεάζει τη γραφική παράσταση, προκαλώντας μια άνοδο και μια συστροφή στη διάσταση $z$ . Στο πεδίο του χρόνου, γίνεται φανερό ότι παρόλο που κάθε μεταβλητή ταλαντώνεται εντός ενός σταθερού εύρους τιμών, οι ταλαντώσεις είναι χαοτικές. Αυτός ο ελκυστής έχει κάποιες ομοιότητες με τον ελκυστή Λόρεντζ, αλλά είναι απλούστερος και έχει μόνο μία πολλαπλότητα. Ο Ότο Ρέσλερ σχεδίασε τον ελκυστή Ρέσλερ το 1976^[1] , αλλά οι αρχικά θεωρητικές εξισώσεις του βρέθηκαν αργότερα χρήσιμες στη διαμόρφωση της ισορροπίας σε χημικές αντιδράσεις.

Ορισμός

Οι εξισώσεις ορισμού του συστήματος Ρέσλερ είναι:^[3]

${\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y-z\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz}{dt}}=b+z(x-c)\end{cases}}$

Ο Ρέσλερ μελέτησε τον χαοτικό ελκυστή με $a=0,2$ , $b=0,2$ , και $c=5,7$ , αν και από τότε χρησιμοποιούνται συχνότερα οι ιδιότητες $a=0,1$ , $b=0,1$ , και $c=14$ . Μια άλλη γραμμή του χώρου των παραμέτρων διερευνήθηκε με τη χρήση της τοπολογικής ανάλυσης. Αντιστοιχεί στο $b=2$ , $c=4$ , και ως παράμετρος διακλάδωσης επιλέχθηκε το $a$ .^[5]Το πώς ο Ρέσλερ ανακάλυψε αυτό το σύνολο εξισώσεων διερευνήθηκε από τους Λετελιέ και Μεσσαζέρ.^[6]

Ανάλυση σταθερότητας

Μέρος της κομψότητας του ελκυστή Ρέσλερ οφείλεται στο γεγονός ότι δύο από τις εξισώσεις του είναι γραμμικές- θέτοντας $z=0$ , επιτρέπει την εξέταση της συμπεριφοράς στο επίπεδο $x,y$ .

${\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{cases}}$

Η ευστάθεια στο επίπεδο $x,y$ μπορεί στη συνέχεια να βρεθεί με τον υπολογισμό των ιδιοτιμών της Ιακωβιανής ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}$ , οι οποίες είναι $(a\pm {\sqrt {a^{2}-4}})/2$ . Από τα παραπάνω, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι όταν $0<a<2$ , οι ιδιοτιμές είναι μιγαδικές και έχουν και οι δύο μια θετική πραγματική συνιστώσα, καθιστώντας την αρχή ασταθής με μια σπείρα προς τα έξω στο επίπεδο $x,y$ . Ας εξετάσουμε τώρα τη συμπεριφορά του επιπέδου $z$ στο πλαίσιο αυτού του εύρους για $a$ . Έτσι, όσο το $x$ είναι μικρότερο από το $c$ , ο όρος $c$ θα κρατήσει την τροχιά κοντά στο επίπεδο $x,y$ . Καθώς η τροχιά πλησιάζει $x$ μεγαλύτερο από $c$ , οι τιμές $z$ αρχίζουν να ανεβαίνουν. Καθώς το $z$ ανεβαίνει, όμως, το $-z$ στην εξίσωση για το $dx/dt$ σταματά την αύξηση του $x$ .

Σταθερά σημεία

Για την εύρεση των σταθερών σημείων, οι τρεις εξισώσεις Ρέσλερ μηδενίστηκαν και οι συντεταγμένες ( $x$ , $y$ , $z$ ) κάθε σταθερού σημείου προσδιορίστηκαν με την επίλυση των εξισώσεων που προέκυψαν. Έτσι προκύπτουν οι γενικές εξισώσεις κάθε συντεταγμένης του σταθερού σημείου:^[7]

${\begin{cases}x={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}}\\y=-\left({\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)\\z={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\end{cases}}$

Το οποίο με τη σειρά του μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει τα πραγματικά σταθερά σημεία για ένα δεδομένο σύνολο τιμών παραμέτρων:

\left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

\left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

Όπως φαίνεται στα γενικά διαγράμματα του ελκυστή Ρέσλερ παραπάνω, ένα από αυτά τα σταθερά σημεία βρίσκεται στο κέντρο του βρόχου του ελκυστή και το άλλο βρίσκεται σχετικά μακριά από τον ελκυστή.

Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Η ευστάθεια καθενός από αυτά τα σταθερά σημεία μπορεί να αναλυθεί με τον προσδιορισμό των αντίστοιχων ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων τους. Ξεκινώντας με την Ιακωβιανή:

${\begin{pmatrix}0&-1&-1\\1&a&0\\z&0&x-c\\\end{pmatrix}}$

οι ιδιοτιμές μπορούν να προσδιοριστούν με την επίλυση του ακόλουθου κυβικού:

$-\lambda ^{3}+\lambda ^{2}(a+x-c)+\lambda (ac-ax-1-z)+x-c+az=0\,$

Για το κεντρικά τοποθετημένο σταθερό σημείο, οι αρχικές τιμές των παραμέτρων του Ρέσλερ a=0,2, b=0,2 και c=5,7 δίνουν ιδιοτιμές:

\lambda _{1}=0.0971028+0.995786i\,

\lambda _{2}=0.0971028-0.995786i\,

\lambda _{3}=-5.68718\,

Το μέγεθος μιας αρνητικής ιδιοτιμής χαρακτηρίζει το επίπεδο έλξης κατά μήκος του αντίστοιχου ιδιοδιανύσματος. Ομοίως, το μέγεθος μιας θετικής ιδιοτιμής χαρακτηρίζει το επίπεδο απώθησης κατά μήκος του αντίστοιχου ιδιοδιανύσματος.

Τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε αυτές τις ιδιοτιμές είναι:

v_{1}={\begin{pmatrix}0.7073\\-0.07278-0.7032i\\0.0042-0.0007i\\\end{pmatrix}}

v_{2}={\begin{pmatrix}0.7073\\0.07278+0.7032i\\0.0042+0.0007i\\\end{pmatrix}}

v_{3}={\begin{pmatrix}0.1682\\-0.0286\\0.9853\\\end{pmatrix}}

Εξέταση των ιδιοδιανυσμάτων κεντρικού σταθερού σημείου: Η µπλε γραµµή αντιστοιχεί στον τυπικό ελκυστή Ρέσλερ που δηµιουργείται µε $a=0.2$ , $b=0.2$ , and $c=5.7$ .

Ελκυστής Ρέσλερ με $a=0.2$ , $b=0.2$ , $c=5.7$

Αυτά τα ιδιοδιανύσματα έχουν αρκετές ενδιαφέρουσες συνέπειες. Πρώτον, τα δύο ζεύγη ιδιοτιμών/ιδιοδιανυσμάτων ( $v_{1}$ και $v_{2}$ ) είναι υπεύθυνα για τη σταθερή ολίσθηση προς τα έξω που συμβαίνει στον κύριο δίσκο του ελκυστή. Το τελευταίο ζεύγος ιδιοτιμών/ιδιοδιανυσμάτων ελκύει κατά μήκος ενός άξονα που διέρχεται από το κέντρο της πολλαπλής και ευθύνεται για την κίνηση z που συμβαίνει μέσα στον ελκυστή. Το φαινόμενο αυτό παρουσιάζεται κατά προσέγγιση με το παρακάτω σχήμα.

Το διάγραμμα εξετάζει τα ιδιοδιανύσματα του κεντρικού σταθερού σημείου. Η μπλε γραμμή αντιστοιχεί στον τυπικό ελκυστή Rössler που δημιουργείται με $a=0.2$ , $b=0.2$ και $c=5.7$ . Η κόκκινη κουκκίδα στο κέντρο αυτού του ελκυστή είναι η $FP_{1}$ . Η κόκκινη γραμμή που τέμνει αυτό το σταθερό σημείο είναι μια απεικόνιση του απωθητικού επιπέδου που δημιουργείται από τα $v_{1}$ and $v_{2}$ . Η πράσινη γραμμή είναι μια απεικόνιση του ελκτικού $v_{3}$ . Η πορφυρή γραμμή δημιουργείται με βήμα προς τα πίσω στο χρόνο από ένα σημείο στο ελκτικό ιδιοδιάνυσμα που βρίσκεται λίγο πάνω από το $FP_{1}$ - απεικονίζει τη συμπεριφορά των σημείων που κυριαρχούνται πλήρως από αυτό το διάνυσμα. Να σημειωθεί ότι η ματζέντα γραμμή αγγίζει σχεδόν το επίπεδο του ελκυστή πριν τραβηχτεί προς τα πάνω στο σταθερό σημείο- αυτό υποδηλώνει ότι η γενική εμφάνιση και συμπεριφορά του ελκυστή Ρέσλερ είναι σε μεγάλο βαθμό προϊόν της αλληλεπίδρασης μεταξύ του ελκτικού $v_{3}$ και των απωθητικών $v_{1}$ και $v_{2}$ επιπέδου. Συγκεκριμένα συνεπάγεται ότι μια ακολουθία που δημιουργείται από τις εξισώσεις Ρέσλερ θα αρχίσει να κάνει βρόχο γύρω από το $FP_{1}$ , θα αρχίσει να τραβιέται προς τα πάνω στο διάνυσμα $v_{3}$ , δημιουργώντας τον ανοδικό βραχίονα μιας καμπύλης που λυγίζει ελαφρώς προς τα μέσα προς το διάνυσμα πριν ωθηθεί ξανά προς τα έξω καθώς τραβιέται πίσω προς το απωθητικό επίπεδο.

Για το ακραίο σταθερό σημείο, οι αρχικές τιμές των παραμέτρων του Ρέσλερ των $a=0.2$ , $b=0.2$ , και $c=5.7$ δίνουν τις ιδιοτιμές των:

\lambda _{1}=-0.0000046+5.4280259i

\lambda _{2}=-0.0000046-5.4280259i

\lambda _{3}=0.1929830

Τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε αυτές τις ιδιοτιμές είναι:

v_{1}={\begin{pmatrix}0.0002422+0.1872055i\\0.0344403-0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}

v_{2}={\begin{pmatrix}0.0002422-0.1872055i\\0.0344403+0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}

v_{3}={\begin{pmatrix}0.0049651\\-0.7075770\\0.7066188\\\end{pmatrix}}

Παρόλο που αυτές οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα υπάρχουν στον ελκυστή Ρέσλερ, η επιρροή τους περιορίζεται στις επαναλήψεις του συστήματος Ρέσλερ των οποίων οι αρχικές συνθήκες βρίσκονται στη γενική γειτονιά αυτού του ακραίου σταθερού σημείου. Εκτός από τις περιπτώσεις όπου οι αρχικές συνθήκες βρίσκονται στο επίπεδο έλξης που δημιουργείται από τα $\lambda _{1}$ και $\lambda _{2}$ , η επιρροή αυτή περιλαμβάνει ουσιαστικά την ώθηση του προκύπτοντος συστήματος προς τον γενικό ελκυστή Ρέσλερ. Καθώς η προκύπτουσα ακολουθία πλησιάζει το κεντρικό σταθερό σημείο και τον ίδιο τον ελκυστή, η επιρροή αυτού του απομακρυσμένου σταθερού σημείου (και των ιδιοδιανυσμάτων του) θα μειωθεί.

Χάρτης του Πουανκαρέ

Χάρτης Πουανκαρέ για τον ελκυστή Ρέσλερ με $a=0.1$ , $b=0.1$ , $c=14$

Ο χάρτης Πουανκαρέ κατασκευάζεται με την απεικόνιση της τιμής της συνάρτησης κάθε φορά που διέρχεται από ένα καθορισμένο επίπεδο προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Ένα παράδειγμα θα ήταν η απεικόνιση της τιμής $y,z$ κάθε φορά που διέρχεται από το επίπεδο $x=0$ όπου το $x$ αλλάζει από αρνητικό σε θετικό, κάτι που γίνεται συνήθως όταν μελετάμε τον ελκυστή του Λόρεντζ. Στην περίπτωση του ελκυστή Ρέσλερ, το επίπεδο $x=0$ είναι αδιάφορο, καθώς ο χάρτης διασχίζει πάντα το επίπεδο $x=0$ στο $z=0$ λόγω της φύσης των εξισώσεων Ρέσλερ. Στο επίπεδο $x=0,1$ για $a=0,1$ , $b=0,1$ , $c=14$ , ο χάρτης Πουανκαρέ δείχνει την άνοδο των τιμών του $z$ καθώς αυξάνεται το $x$ , όπως είναι αναμενόμενο λόγω του τμήματος ανόδου και στροφής του διαγράμματος Ρέσλερ. Ο αριθμός των σημείων στο συγκεκριμένο διάγραμμα Πουανκαρέ είναι άπειρος, αλλά όταν χρησιμοποιείται διαφορετική τιμή $c$ , ο αριθμός των σημείων μπορεί να ποικίλει. Για παράδειγμα, με τιμή $c$ 4, υπάρχει μόνο ένα σημείο στο χάρτη Πουανκαρέ, επειδή η συνάρτηση δίνει μια περιοδική τροχιά περιόδου ένα, ή αν η τιμή $c$ οριστεί σε 12,8, θα υπάρχουν έξι σημεία που αντιστοιχούν σε μια τροχιά περιόδου έξι.

Χάρτης Λόρεντζ

Ο χάρτης Λόρεντζ είναι η σχέση μεταξύ διαδοχικών μεγίστων μιας συντεταγμένης σε μια τροχιά. Ας θεωρήσουμε μια τροχιά στον ελκυστή και έστω $x_{max}(n)$ το n-th μέγιστο της x-συντεταγμένης της. Τότε το διάγραμμα διασποράς $x_{max}(n)$ - $x_{max}(n+1)$ είναι σχεδόν μια καμπύλη, που σημαίνει ότι γνωρίζοντας $x_{max}(n)$ μπορεί κανείς να προβλέψει σχεδόν με ακρίβεια το $x_{max}(n+1)$ .^[8]

Χαρτογράφηση τοπικών μεγίστων

Στην αρχική εργασία για τον Ελκυστήρα Λόρεντζ,^[9] ο Έντουαρντ Λόρεντζ ανέλυσε τα τοπικά μέγιστα του z z σε σχέση με τα αμέσως προηγούμενα τοπικά μέγιστα. Όταν οπτικοποιήθηκε, το διάγραμμα έμοιαζε με τον χάρτη σκηνής, υποδηλώνοντας ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί παρόμοια ανάλυση μεταξύ του χάρτη και του ελκυστή. Για τον ελκυστή Rössler, όταν το τοπικό μέγιστο $z_{n}$ απεικονίζεται έναντι του επόμενου τοπικού μέγιστου $z$ , $z_{n+1}$ , το διάγραμμα που προκύπτει (εδώ απεικονίζεται για $a=0.2$ , $b=0.2$ , $c=5.7$ ) είναι μονοτροπικό, μοιάζοντας με έναν λοξό χάρτη Χένον. Γνωρίζοντας ότι ο ελκυστής Ρέσλερ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία ενός ψευδο-χάρτη 1-d, προκύπτει στη συνέχεια η χρήση παρόμοιων μεθόδων ανάλυσης. Το διάγραμμα διακλάδωσης είναι μια ιδιαίτερα χρήσιμη μέθοδος ανάλυσης.

Μεταβολή των παραμέτρων

Η συμπεριφορά του ελκυστή Ρέσλερ εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τις τιμές των σταθερών παραμέτρων $a$ , $b$ και $c$ . Σε γενικές γραμμές, η μεταβολή κάθε παραμέτρου έχει συγκρίσιμο αποτέλεσμα προκαλώντας τη σύγκλιση του συστήματος προς μια περιοδική τροχιά, ένα σταθερό σημείο ή τη διαφυγή προς το άπειρο, ωστόσο τα συγκεκριμένα εύρη και οι συμπεριφορές που προκαλούνται διαφέρουν σημαντικά για κάθε παράμετρο. Οι περιοδικές τροχιές, ή "μοναδιαίοι κύκλοι", του συστήματος Ρέσλερ ορίζονται από τον αριθμό των βρόχων γύρω από το κεντρικό σημείο που εμφανίζονται πριν η σειρά των βρόχων αρχίσει να επαναλαμβάνεται.

Τα διαγράμματα διακλάδωσης είναι ένα συνηθισμένο εργαλείο για την ανάλυση της συμπεριφοράς δυναμικών συστημάτων, ένα από τα οποία είναι ο ελκυστής Ρέσλερ. Προκύπτουν με την εκτέλεση των εξισώσεων του συστήματος, κρατώντας όλες τις μεταβλητές εκτός από μία σταθερή και μεταβάλλοντας την τελευταία. Στη συνέχεια, σχεδιάζεται μια γραφική παράσταση των σημείων που επισκέπτεται μια συγκεκριμένη τιμή της μεταβαλλόμενης μεταβλητής μετά την εξουδετέρωση των μεταβατικών παραγόντων. Οι χαοτικές περιοχές υποδεικνύονται με συμπληρωμένες περιοχές του διαγράμματος.

Μετάβαση a

{\displaystyle b} — Διάγραμμα διακλάδωσης για τον ελκυστή Ρέσλερ για μεταβαλλόμενη $b$

Εδώ, το $b$ είναι σταθερό στο 0,2, το $c$ είναι σταθερό στο 5,7 και το $a$ αλλάζει. Η αριθμητική εξέταση της συμπεριφοράς του ελκυστή κατά την αλλαγή του $a$ δείχνει ότι έχει δυσανάλογη επίδραση στη συμπεριφορά του ελκυστή. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης είναι τα εξής:

$a\leq 0$ : Συγκλίνει στο κεντρικά τοποθετημένο σταθερό σημείο
$a=0.1$ : Μοναδιαίος κύκλος της περιόδου 1
$a=0.2$ : Τυπική τιμή παραμέτρου που επιλέγεται από τον Ρέσλερ, χαοτική
$a=0.3$ : Χαοτικός ελκυστής, που μοιάζει σημαντικά περισσότερο με λωρίδα Möbius (αναδιπλώνεται πάνω στον εαυτό του).
$a=0.35$ : Παρόμοιο με το .3, αλλά όλο και πιο χαοτικό
$a=0.38$ : Παρόμοιο με το .35, αλλά ολοένα και πιο χαοτικό.

Μετάβαση b

Εδώ, το $a$ είναι σταθερό στο 0,2, το $c$ είναι σταθερό στο 5,7 και το $b$ αλλάζει. Όπως φαίνεται στο συνοδευτικό διάγραμμα, καθώς το $b$ πλησιάζει το 0, ο ελκυστής πλησιάζει στο άπειρο ( Προσέξτε την άνοδο για πολύ μικρές τιμές του $b$ . Συγκριτικά με τις άλλες παραμέτρους, η μεταβολή του $b$ δημιουργεί μεγαλύτερο εύρος όταν θα εμφανιστούν τροχιές περιόδου 3 και περιόδου 6. Σε αντίθεση με τα $a$ και $c$ , οι υψηλότερες τιμές του $b$ συγκλίνουν στην περίοδο-1 και όχι σε μια χαοτική κατάσταση.

Διάγραμμα διακλάδωσης για τον ελκυστή Ρέσλερ για μεταβαλλόμενη $c$

Μετάβαση c

Εδώ, $a=b=0,1$ και $c$ αλλάζει. Το διάγραμμα διακλάδωσης αποκαλύπτει ότι οι χαμηλές τιμές του $c$ είναι περιοδικές, αλλά γρήγορα γίνονται χαοτικές καθώς το $c$ αυξάνεται. Αυτό το σχέδιο επαναλαμβάνεται καθώς το $c$ αυξάνεται - υπάρχουν τμήματα περιοδικότητας που διαδέχονται περίοδοι χάους, και η τάση είναι προς τροχιές υψηλότερης περιόδου καθώς το $c$ αυξάνεται. Παραδείγματος χάριν, η τροχιά περιόδου ένα εμφανίζεται μόνο για τιμές του $c$ γύρω στο 4 και δεν ξαναβρίσκεται ποτέ στο διάγραμμα διακλάδωσης. Το ίδιο φαινόμενο παρατηρείται και με την περίοδο τρία- μέχρι $c=12$ , οι τροχιές περιόδου τρία μπορούν να βρεθούν, αλλά μετά δεν εμφανίζονται.

Μια γραφική απεικόνιση του μεταβαλλόμενου ελκυστή σε ένα εύρος τιμών $c$ φανερώνει τη γενική συμπεριφορά που παρατηρείται για όλες αυτές τις αναλύσεις παραμέτρων - τις συχνές μεταβάσεις μεταξύ περιοδικότητας και μη περιοδικότητας.

Μετάβαση c

c = 4, περίοδος 1

c = 6, περίοδος 2

c = 8.5, περίοδος 4

c = 8.7, περίοδος 8

c = 9, χαοτική

c = 12, περίοδος 3

c = 12.6, περίοδος 6

c = 13, χαοτική

c = 18, χαοτική

c = 15.4, περίοδος 5

Το παραπάνω σύνολο εικόνων απεικονίζει τις μεταβολές στο μετα-μεταβατικό σύστημα Ρέσλερ καθώς το $c$ μεταβάλλεται σε ένα εύρος τιμών. Οι εικόνες αυτές δημιουργήθηκαν με $a=b=.1$ .

$c=4$ , τροχιά περιόδου 1.
$c=6$ , τροχιά περιόδου-2.
$c=8.5$ , τροχιά περιόδου-4.
$c=8.7$ , τροχιά περιόδου 8.
$c=9$ , αραιός χαοτικός ελκυστής.
$c=12$ , τροχιά περιόδου-3.
$c=12.6$ , τροχιά περιόδου-6.
$c=13$ , αραιός χαοτικός ελκυστής.
$c=15.4$ , τροχιά περιόδου-5.
$c=18$ , πλήρης χαοτικός ελκυστής.

Περιοδικές τροχιές

Ο ελκυστής γεμίζει πυκνά με περιοδικές τροχιές: λύσεις για τις οποίες υπάρχει μια μη μηδενική τιμή του $T$ τέτοια ώστε ${\vec {x}}(t+T)={\vec {x}}(t)$ . Αυτές οι ενδιαφέρουσες λύσεις μπορούν να προκύψουν αριθμητικά με τη μέθοδο του Νεύτωνα. Οι περιοδικές τροχιές είναι οι ρίζες της συνάρτησης $\Phi _{t}-Id$ , όπου $\Phi _{t}$ είναι η εξέλιξη με το χρόνο $t$ και $Id$ είναι η ταυτότητα. Καθώς η πλειονότητα της δυναμικής λαμβάνει χώρα στο επίπεδο x-y, οι περιοδικές τροχιές μπορούν στη συνέχεια να ταξινομηθούν με βάση τον αριθμό περιέλιξής τους γύρω από την κεντρική ισορροπία μετά την προβολή.

Πίνακας περιοδικών τροχιών ανά αριθμό περιέλιξης k

k=1

k = 2

k = 3

Ο χρόνος δεν είναι σε κλίμακα. Χρησιμοποιήθηκαν οι αρχικές παράμετροι (a,b,c) = (0.2,0.2,5.7).

Από τον αριθμητικό πειραματισμό φαίνεται ότι υπάρχει μια μοναδική περιοδική τροχιά για όλους τους θετικούς αριθμούς περιέλιξης. Αυτή η έλλειψη εκφυλισμού πιθανόν προέρχεται από την έλλειψη συμμετρίας του προβλήματος. Ο ελκυστής μπορεί να τεμαχιστεί σε πιο εύπεπτες αναλλοίωτες πολλαπλές: 1D περιοδικές τροχιές και τις 2D σταθερές και ασταθείς πολλαπλές των περιοδικών τροχιών. Αυτές οι αναλλοίωτες πολλαπλότητες είναι ένας φυσικός σκελετός του ελκυστή, όπως ακριβώς οι ρητοί αριθμοί είναι για τους πραγματικούς αριθμούς.

Για τους σκοπούς της θεωρίας των δυναμικών συστημάτων, θα μπορούσε κανείς να ενδιαφερθεί για τις τοπολογικές αναλλοίωτες αυτών των πολλαπλών. Οι περιοδικές τροχιές είναι αντίγραφα της $S^{1}$ ενσωματωμένα στην $\mathbb {R} ^{3}$ , οπότε οι τοπολογικές τους ιδιότητες μπορούν να κατανοηθούν με τη θεωρία κόμβων. Οι περιοδικές τροχιές με αριθμούς περιέλιξης 1 και 2 σχηματίζουν έναν σύνδεσμο του Χοπφ, δείχνοντας ότι κανένας διαφιομορφισμός δεν μπορεί να διαχωρίσει αυτές τις τροχιές.

Σύνδεσμοι με άλλα θέματα

Η ζωνοποίηση που είναι εμφανής στον ελκυστή Ρέσλερ είναι παρόμοια με ένα σύνολο Κάντορ περιστρεφόμενο γύρω από το μέσο σημείο του. Επιπλέον, η μισή συστροφή που εμφανίζεται στον ελκυστή Ρέσλερ επηρεάζει μόνο ένα μέρος του ελκυστή. Ο Ρέσλερ έδειξε ότι ο ελκυστής του ήταν στην πραγματικότητα ο συνδυασμός μιας "κανονικής ζώνης" και μιας λωρίδας Möbius.^[10]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

3D Attractors: Mac program to visualize and explore the Rössler and Lorenz attractors in 3 dimensions
Rössler attractor in Scholarpedia
Rössler Attractor : Numerical interactive experiment in 3D - experiences.math.cnrs.fr- (javascript/webgl)

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Rössler, O. E. (1976), «An Equation for Continuous Chaos», Physics Letters 57A (5): 397–398, doi:10.1016/0375-9601(76)90101-8 .
↑ Rössler, O. E. (1979), «An Equation for Hyperchaos», Physics Letters 71A (2,3): 155–157, doi:10.1016/0375-9601(79)90150-6 .
↑ ^3,0 ^3,1 Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar (2004), «12.3 The Rössler Attractor», Chaos and Fractals: New Frontiers of Science, Springer, σελ. 636–646 .
↑ Rössler, Otto E. (1983-07-01). «The Chaotic Hierarchy» (στα αγγλικά). Zeitschrift für Naturforschung A 38 (7): 788–801. doi:10.1515/zna-1983-0714. ISSN 1865-7109. https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/zna-1983-0714/html.
↑ Letellier, C.; P. Dutertre; B. Maheu (1995). «Unstable periodic orbits and templates of the Rössler system: toward a systematic topological characterization». Chaos 5 (1): 272–281. doi:10.1063/1.166076. PMID 12780181. Bibcode: 1995Chaos...5..271L.
↑ Letellier, C.; V. Messager (2010). «Influences on Otto E. Rössler's earliest paper on chaos». International Journal of Bifurcation and Chaos 20 (11): 3585–3616. doi:10.1142/s0218127410027854. Bibcode: 2010IJBC...20.3585L.
↑ Martines-Arano, H.; García-Pérez, B.E.; Vidales-Hurtado, M.A.; Trejo-Valdez, M.; Hernández-Gómez, L.H.; Torres-Torres, C. (2019). «Chaotic Signatures Exhibited by Plasmonic Effects in Au Nanoparticles with Cells.». Sensors 19 (21): 4728. doi:10.3390/s19214728. PMID 31683534. Bibcode: 2019Senso..19.4728M.
↑ Olsen, Lars Folke; Degn, Hans (May 1985). «Chaos in biological systems» (στα αγγλικά). Quarterly Reviews of Biophysics 18 (2): 165–225. doi:10.1017/S0033583500005175. ISSN 1469-8994. https://www.cambridge.org/core/journals/quarterly-reviews-of-biophysics/article/abs/chaos-in-biological-systems/C6B4137C85752FDE43A5DD3F4E615A24.
↑ Lorenz, E. N. (1963), «Deterministic nonperiodic flow», J. Atmos. Sci. 20 (2): 130–141, doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 .
↑ Rössler, Otto E. (1976). «Chaotic behavior in simple reaction system». Zeitschrift für Naturforschung A 31 (3–4): 259–264. doi:10.1515/zna-1976-3-408. Bibcode: 1976ZNatA..31..259R. http://www.atomosyd.net/spip.php?article6.

[r76-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Rössler, O. E. (1976), «An Equation for Continuous Chaos», Physics Letters 57A (5): 397–398, doi:10.1016/0375-9601(76)90101-8 .

[r79-2] Rössler, O. E. (1979), «An Equation for Hyperchaos», Physics Letters 71A (2,3): 155–157, doi:10.1016/0375-9601(79)90150-6 .

[cfnf-3] 3,0 ^3,1 Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar (2004), «12.3 The Rössler Attractor», Chaos and Fractals: New Frontiers of Science, Springer, σελ. 636–646 .

[4] Rössler, Otto E. (1983-07-01). «The Chaotic Hierarchy» (στα αγγλικά). Zeitschrift für Naturforschung A 38 (7): 788–801. doi:10.1515/zna-1983-0714. ISSN 1865-7109. https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/zna-1983-0714/html.

[5] Letellier, C.; P. Dutertre; B. Maheu (1995). «Unstable periodic orbits and templates of the Rössler system: toward a systematic topological characterization». Chaos 5 (1): 272–281. doi:10.1063/1.166076. PMID 12780181. Bibcode: 1995Chaos...5..271L.

[6] Letellier, C.; V. Messager (2010). «Influences on Otto E. Rössler's earliest paper on chaos». International Journal of Bifurcation and Chaos 20 (11): 3585–3616. doi:10.1142/s0218127410027854. Bibcode: 2010IJBC...20.3585L.

[7] Martines-Arano, H.; García-Pérez, B.E.; Vidales-Hurtado, M.A.; Trejo-Valdez, M.; Hernández-Gómez, L.H.; Torres-Torres, C. (2019). «Chaotic Signatures Exhibited by Plasmonic Effects in Au Nanoparticles with Cells.». Sensors 19 (21): 4728. doi:10.3390/s19214728. PMID 31683534. Bibcode: 2019Senso..19.4728M.

[8] Olsen, Lars Folke; Degn, Hans (May 1985). «Chaos in biological systems» (στα αγγλικά). Quarterly Reviews of Biophysics 18 (2): 165–225. doi:10.1017/S0033583500005175. ISSN 1469-8994. https://www.cambridge.org/core/journals/quarterly-reviews-of-biophysics/article/abs/chaos-in-biological-systems/C6B4137C85752FDE43A5DD3F4E615A24.

[9] Lorenz, E. N. (1963), «Deterministic nonperiodic flow», J. Atmos. Sci. 20 (2): 130–141, doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 .

[10] Rössler, Otto E. (1976). «Chaotic behavior in simple reaction system». Zeitschrift für Naturforschung A 31 (3–4): 259–264. doi:10.1515/zna-1976-3-408. Bibcode: 1976ZNatA..31..259R. http://www.atomosyd.net/spip.php?article6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]