Ενελικτικός πίνακας

Στη γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας $A$ είναι ενελικτικός αν είναι αντίστροφος του εαυτού του, δηλαδή

$A^{2}=I$,

όπου $I$ είναι ο μοναδιαίος πίνακας.

Όλοι οι ενελικτικοί πίνακες είναι τετραγωνικές ρίζες του μοναδιαίου πίνακα. Αυτό είναι απλά μια συνέπεια του γεγονότος ότι κάθε αντιστρέψιμος πίνακας πολλαπλασιαζόμενος επί του αντιστρόφου του ισούται με τον μοναδιαίο.

Παραδείγματα

• Μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα ενελικτικών πινάκων είναι τα εξής:

$A={\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}},\quad$$B={\begin{bmatrix}3&-4\\2&-3\end{bmatrix}},\quad$$C={\begin{bmatrix}-5&-8&0\\3&5&0\\1&2&-1\end{bmatrix}}.$

• Ο μοναδιαίος πίνακας είναι ενελικτικός καθώς

$I\cdot I=I.$

• Πιο γενικά, ένας πίνακας $2\times 2$ είναι ενελικτικός ανν έχει την εξής μορφή:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&-a\end{bmatrix}}\quad$ με $a^{2}+bc=1\qquad$ ή ${\begin{bmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{bmatrix}}.$

Απόδειξη  

Θεωρούμε ένα γενικό πίνακα $2\times 2$. Για να είναι ενελικτικός ισχύει ότι ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a^{2}+bc&b\cdot (a+d)\\c\cdot (a+d)&d^{2}+bc\end{bmatrix}}=I.$ Επομένως,

$b\cdot (a+d)=0\quad$ και $\quad c\cdot (a+d)=0$,

$a^{2}+bc=1\quad$ και $\quad d^{2}+bc=1$,

Διαχωρίζουμε δύο περιπτώσεις:

• Περίπτωση 1η [$a=-d$]: Τότε έχουμε επιπλέον ότι $a^{2}+bc=1$ και ο πίνακας έχει την πρώτη μορφή.
• Περίπτωση 2η [$a\neq -d$]: Τότε έχουμε ότι $a^{2}=1$ και $d^{2}=1$, και ο πίνακας έχει την δεύτερη μορφή.

Ιδιότητες

• Η ορίζουσα ενός ενελικτικού πίνακα $A$ είναι $\mathrm {det} (A)=\pm 1$.

Απόδειξη  

Χρησιμοποιώντας την πολλαπλασιαστική ιδιότητα των οριζουσών, έχουμε ότι $\mathrm {det} (A^{2})=\mathrm {det} (I)\Rightarrow \mathrm {det} (A)\cdot \mathrm {det} (A)=\mathrm {det} (I)=1\Rightarrow \mathrm {det} (A)=\pm 1$.

• Ένας πινακας $A$ είναι ενελικτικός ανν ο $P={\tfrac {I\pm A}{2}}$ είναι ταυτοδύναμος.

Απόδειξη  

Ξεκινάμε από το γινόμενο του $P$ με τον εαυτό του: $P\cdot P={\frac {1}{4}}\cdot (I\pm A)\cdot (I\pm A)={\frac {1}{4}}\cdot (I\pm 2A+A^{2}).$ Ο πίνακας $P$ είναι ταυτοδύναμος ανν

$P\cdot P=P\Leftrightarrow {\frac {1}{4}}\cdot (I\pm 2A+A^{2})={\frac {I\pm A}{2}}\Leftrightarrow A^{2}=I,$

δηλαδή ανν ο πίνακας $A$ είναι ενελικτικός.

• Οι δυνάμεις ενός ενελικτικού πίνακα $A$ δίνονται από

$A^{n}={\begin{cases}A&{\text{αν }}n=1,\\I&{\text{διαφορετικά}}.\end{cases}}$