Ταυτότητα του Όιλερ

Στη μαθηματική ανάλυση, η ταυτότητα του Όιλερ , είναι η εξίσωση

$e^{i\pi }+1=0,\,\!$

όπου

$e\,\!$ είναι ο αριθμός του Όιλερ, η βάση των φυσικών λογαρίθμων,

$i\,\!$ είναι ο φανταστικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο ισούται με μείον ένα, και

$\pi \,\!$ ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.

Πήρε το όνομά της από τον Λέοναρντ Όιλερ και μερικές φορές είναι γνωστή και ως εξίσωση του Όιλερ.

Απόδειξη

Ο τύπος του Όιλερ για τυχαία γωνία.

Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου του Όιλερ, σύμφωνα με την οποία

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!$

για κάθε πραγματικό αριθμό x και όπου οι μονάδες δίνονται σε ακτίνια. Συγκεκριμένα, αν

$x=\pi ,\,\!$

τότε

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!$

Αφού

$\cos \pi =-1\quad$και$\quad \sin \pi =0$,

συνεπώς,

$e^{i\pi }=-1\,\!$

που δίνει την ταυτότητα

$e^{i\pi }+1=0.\,\!$

Ονομασία

Αν και ο Όιλερ έγραψε για τη φόρμουλά του συνδέοντας το e με τους όρους ημίτονο και συνημίτονο, δεν υπάρχει πουθενά αναφορά ότι ο ίδιος απέδειξε την απλοποιημένη μορφή της ταυτότητας. Ακόμα η ίδια η φόρμουλα είναι πιθανό να ήταν γνωστή πριν από τον Όιλερ. Είναι λοιπόν αδύνατο να απαντηθεί το ερώτημα αν η ταυτότητα μπορεί να αποδοθεί στον Όιλερ.

Δείτε επίσης

• Τύπος του Όιλερ
• e (μαθηματική σταθερά)