$e$ (μαθηματική σταθερά)

Ο αριθμός $e$ είναι σημαντική μαθηματική σταθερά, η οποία αποτελεί τη βάση του φυσικού λογαρίθμου. Είναι περίπου ίση με $2,71828$ ,^[1] και είναι το όριο της ακολουθίας $(1 + 1/ n) n$ όσο το $n$ πλησιάζει το άπειρο, μια έκφραση που προκύπτει από την μελέτη των σύνθετων τόκων. Η σταθερά μπορεί να οριστεί με πολλούς τρόπους. Για παράδειγμα, μπορεί να οριστεί ως το άθροισμα της άπειρης σειράς.^[2]

e=\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots

.

Επίσης, ο $e$ μπορεί να οριστεί ως ο μοναδικός θετικός αριθμός $a$ , τέτοιος ώστε το γράφημα της συνάρτησης $y = a x$ έχει κλίση ίση με $1$ όταν $x = 0$ .^[3] Η συνάρτηση $f (x) = e x$ ονομάζεται εκθετική και η αντίστροφή της είναι ο φυσικός λογάριθμος ή λογάριθμος με βάση το $e$ . Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού $k$ μπορεί επίσης να οριστεί άμεσα ως το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη $y = 1/ x$ μεταξύ $x = 1$ και $x = k$ , όπου το $e$ είναι ο αριθμός του οποίου ο φυσικός λογάριθμος είναι $1$ . Υπάρχουν και άλλοι εναλλακτικοί χαρακτηρισμοί.

Αποκαλούμενος μερικές φορές ως αριθμός Όιλερ από τον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ, ο $e$ δεν πρέπει να συγχέεται με την $γ$ , τη σταθερά Όιλερ–Μασκερόνι που μερικές φορές αναφέρεται απλά σταθερά Όιλερ. Ο αριθμός $e$ είναι επίσης γνωστός ως σταθερά του Νέιπιερ, αλλά η επιλογή του Όιλερ του συμβόλου $e$ λέγεται ότι έχει διατηρηθεί προς τιμήν του.^[4] Ο $e$ ανακαλύφθηκε από τον Ελβετό μαθηματικό Γιακόμπ Μπερνούλι όταν μελετούσε σύνθετους τόκους.

Ο αριθμός $e$ είναι εξέχουσας σημασίας στα μαθηματικά,^[5] μαζί με το $0$ , το $1$ , το $π$ και το $i$ . Και οι πέντε από αυτούς τους αριθμούς παίζουν σημαντικό και επαναλαμβανόμενο ρόλο στα μαθηματικά και είναι οι πέντε σταθερές που εμφανίζονται σε μία διατύπωση της ταυτότητας του Όιλερ. Όπως και η σταθερά $π$ , ο $e$ είναι άρρητος, δηλ. δεν είναι λόγος ακεραίων, και είναι υπερβατικό, δηλ. δεν είναι ρίζα κανενός μη-μηδενικού πολυώνυμου με ρητούς συντελεστές. Η αριθμητική τιμή του $e$ μέχρι τα 50 δεκαδικά ψηφία είναι $2,71828182845904523536028747135266249775724709369995$ ... (ακολουθία A001113 στην OEIS).

Ιστορία

Οι πρώτες αναφορές στη σταθερά $e$ δημοσιεύθηκαν το 1618 στον πίνακα του προσαρτήματος ενός έργου για τους λογαρίθμους από τον Τζον Νάπιερ.^[6] Ωστόσο αυτό δεν περιλαμβάνει την ίδια τη σταθερά, αλλά απλούστερα μια λίστα από λογαρίθμους που υπολογίζονται από τη σταθερά. Εκτιμάται ότι ο πίνακας γράφτηκε από τον Γουίλιαμ Ώτεντ. Η ανακάλυψη της ίδιας της σταθεράς πιστώνεται στον Γιακόμπ Μπερνούλι ο οποίος το 1683 προσπάθησε να βρει την τιμή του από την ακόλουθη έκφραση (που είναι στην πραγματικότητα το $e$ ):

\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

.

Η πρώτη γνωστή χρήση της σταθεράς, που αντιστοιχεί στο γράμμα $b$ , ήταν σε αλληλογραφία από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς στον Κρίστιαν Χόυχενς το 1690 και το 1691. Ο Λέοναρντ Όιλερ εισήγαγε το γράμμα $e$ ως στη βάση για φυσικούς λογαρίθμους, γράφοντάς το σε επιστολή του στον Κρίστιαν Γκόλντμπαχ στις 25 Νοεμβρίου του 1731.^[7]^[8] Ο Όιλερ ξεκίνησε να χρησιμοποιεί το γράμμα $e$ ως σταθερά το 1727 ή το 1728, σε ένα αδημοσίευτο έργο σχετικά με τις εκρηκτικές δυνάμεις σε κανόνια,^[9] και η πρώτη εμφάνιση του $e$ σε μια δημοσίευση ήταν του Όιλερ, με τίτλο Μηχανική (1736, λατ. Mechanica‎‎). Ενώ στα επόμενα χρόνια κάποιοι ερευνητές χρησιμοποίησαν το γράμμα $c$ , το $e$ ήταν το πιο γνωστό και τελικά έγινε το καθιερωμένο.^[10]

Εφαρμογές

Σύνθετος τόκος

Ο Γιακόμπ Μπερνούλι ανακάλυψε αυτή τη σταθερά μελετώντας μια ερώτηση σχετικά με τους σύνθετους τόκους (ή αλλιώς ανατοκισμό):^[11]

Ένας λογαριασμός ξεκινά με 1.00€ και πληρώνει 100 τοις εκατό τόκο ανά έτος. Εάν ο τόκος πιστώνεται μια φορά η αξία του λογαριασμού στο τέλος του έτους θα είναι 2.00€. Τι συμβαίνει αν ο τόκος υπολογιστεί και πιστωθεί πιο συχνά κατά τη διάρκεια του έτους;

Αν ο τόκος πιστωθεί δύο φορές το έτος, το επιτόκιο για κάθε 6 μήνες θα είναι 50%, οπότε στο τέλος του πρώτου εξαμήνου θα ισχύει: (1+ 50%) = 1 + 0.5 = 1.5€ και τελικά στο τέλος του δευτέρου εξαμήνου προκύπτει: (1.5 + 50%) = 1.5 + 0.75 = 2.25€ στο τέλος του έτους. Υπολογίζοντας τις τριμηνιαίες αποδόσεις είναι 1.00€ × 1.254 = 2.4414€ ... και υπολογίζοντας του κάθε μήνα τις αποδόσεις είναι 1.00 × (1 + 1/12) 12 = 2,613035€ ... Αν υπάρχουν $n$ ίσα διαστήματα, ο τόκος για κάθε διάστημα θα είναι 100% / n και η αξία το τέλος του έτους θα είναι $1.00\mathrm {\euro} \times (1+1/n)^{n}$ .

Ο Μπερνούλι παρατήρησε ότι αυτή η αλληλουχία πλησιάζει το όριο, με μεγαλύτερα $n$ και, ως εκ τούτου, τα μικρότερα διαστήματα τοκισμού. Για εβδομαδιαία διαστήματα, δηλαδή όταν $n=52$ , η έκφραση δίενι 2.692597€ ..., ενώ ημερίσια διαστήματα, δηλαδή όταν $n=365$ αποδίδει 2.714567€ ..., μόλις δύο λεπτά περισσότερο. Το όριο καθώς το $n$ μεγαλώνει είναι ο αριθμός που έγινε γνωστός ως $e$ . Με συνεχή ανατοκισμό, η αξία του λογαριασμού θα φτάσει τα 2.7182818€ .... Γενικότερα, ένας λογαριασμός που ξεκινάει από $ 1 και προσφέρει ετήσιο επιτόκιο R, μετά από t έτη, θα αποδίδει $e^{RT}$ € με συνεχείς υπολογισμούς. (Εδώ το $R$ είναι ένα κλάσμα, έτσι για το επιτόκιο 5%, R = 5/100 =0,05)^[12]

Δοκιμές Μπερνούλι

Ο ίδιος ο αριθμός $e$ έχει επίσης εφαρμογές στη θεωρία πιθανοτήτων όπου προκύπτει, κατά τρόπο που δεν σχετίζεται προφανώς με εκθετική αύξηση. Ας υποθέσουμε ότι ένας παίκτης παίζει έναν κουλοχέρη που πληρώνει με πιθανότητα ένα προς $n$ και παίζει $n$ φορές. Στη συνέχεια, για μεγάλο $n$ (όπως ένα εκατομμύριο), η πιθανότητα ότι ο παίκτης θα χάσει κάθε στοίχημα είναι (περίπου) 1 / e. Για n = 20 είναι ήδη περίπου 1/2.79.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα της διαδικασίας των δοκιμών Μπερνούλι. Κάθε φορά που ο παίκτης παίζει με τον κουλοχέρη, υπάρχει μία προς $n$ πιθανότητα να κερδίσει. Παίζοντας ένα εκατομμύριο φορές διαμορφώνεται από τη διωνυμική κατανομή, η οποία είναι στενά συνδεδεμένη με το διωνυμικό θεώρημα. Η πιθανότητα της νίκης $k$ φορές μετά από $n$ δοκιμές είναι:

\Pr \left(k{\text{ νίκες}}\right)={\binom {n}{k}}\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}

,

όπου ${\textstyle {\tbinom {n}{k}}}$ είναι ο διωνυμικός συντελεστής $n$ ανά $k$ . Ειδικότερα, η πιθανότητα να μην νικήσει καμία φορά ( $k=0$ ) είναι

\Pr \left({\text{Καμία νίκη}}\right)=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}

.

Το όριο της παραπάνω έκφρασης όσο το $n$ τείνει στο άπειρο είναι το $1/e$ , δηλαδή^[13]

\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e^{-1}

.

Αναδιατάξεις

Μια άλλη εφαρμογή του $e$ , που ανακαλύφθηκε εν μέρει από τον Γιακόμπ Μπερνούλι μαζί με τον Γάλλο μαθηματικό Pierre Raymond de Montmort είναι το πρόβλημα διασάλευσης.^[14] Εδώ $n$ επισκέπτες καλούνται σε ένα πάρτι και στην πόρτα κάθε επισκέπτης δίνει το καπέλο του στον μπάτλερ ο οποίος τα τοποθετεί σε επίσημα κουτιά. Ο μπάτλερ δε γνωρίζει τα ονόματα των καλεσμένων και έτσι βάζει τα καπέλα τυχαία στα κουτιά. Στο τέλος του πάρτι δίνει τυχαία ένα κουτί σε κάθε καλεσμένο. Το πρόβλημα του de Montmort είναι: ποια είναι η πιθανότητα κανένα καπέλα να μην επιστραφεί στον σωστό αποδέκτη. Η απάντηση είναι:

p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}},

και καθώς το $n$ τείνει στο άπειρο, το $p_{n}$ προσεγγίζει το $1/e$ . Το $e$ εμφανίζεται και σε πολλά άλλα μέρη των πιθανοτήτων, συμπεριλαμβανομένων του προβλήματος της γραμματέως και στην αναμενόμενη τιμή του μήκους μίας μονότονης ακολουθίας σε μία τυχαία μετάθεση.

Ασύμπτωτες

Ο αριθμός $e$ εμφανίζεται στην ασυμπτωτική ανάλυση αρκετών συναρτήσεων. Το πιο δημοφιλές τέτοιο παράδειγμα είναι ο τύπος Στίρλινγκ για την ασυμπτωτική συμπεριφορά της συνάρτησης του παραγοντικού στην οποία εμφανίζεται ο $e$ , αλλά και ο $π$ :

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\quad

ή ισοδύναμα

\quad \lim _{n\to \infty }n!={\frac {\sqrt {2\pi n}}{\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}

.

Μια ιδιαίτερη συνέπεια του τύπου αυτού είναι ότι:^[15]

e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}

Τυπική κανονική κατανομή

Η πιο απλή περίπτωση μιας κανονικής κατανομής είναι η τυπική κανονική κατανομή, της οποίας η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι η εξής:

\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{-{\frac {\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2}}x^{2}}

.

Ο σταθερός όρος ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ διασφαλίζει πως το συνολικό εμβαδόν κάτω από την καμπύλη $\phi (x)$ είναι ένα. Ο όρος ${\tfrac {1}{2}}$ διασφαλίζει ότι η κατανομή έχει σταθερή τυπική απόκλιση. Η συνάρτηση είναι συμμετρική γύρω από το x=0, όπου επιτυγχάνει τη μέγιστη τιμή της : και έχει σημεία καμπής στο +1 και -1.

Η κανονική κατανομή εμφανίζεται σε αρκετά φυσικά φαινόμενα και ως η οριακή κατανομή του αθροίσματος $n$ τυχαίων μεταβλητών από την ίδια κατανομή (δείτε το θεώρημα κεντρικού ορίου).

Ο αριθμός $e$ στον λογισμό

Το βασικό κίνητρο για την εισαγωγή του αριθμού $e$ , στον λογισμό, είναι για να εκτελεί διαφοροποίηση και ολοκλήρωση εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων. Η παράγωγος μίας γενικής εκθετικής συνάρτησης $y=a^{x}$ , δίνεται από το εξής όριο:

${\frac {d}{dx}}a^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}=a^{x}\left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).$

Το όριο στα δεξιά είναι ανεξάρτητο από την μεταβλητή $x$ . Εξαρτάται μόνο από την βάση $a$ . Όταν η βάση είναι $e$ , το όριο είναι ίσο με $1$ , και έτσι το $e$ είναι συμβολικά ορίζεται από την εξίσωση:

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}

,

δηλαδή η εκθετική συνάρτηση με βάση το $e$ είναι ίση με την παράγωγό της. Συχνά επιλέγεται ως βάση το $e$ για απλοποίηση των πράξεων.

Ένα άλλο κίνητρο έρχεται από την εξέταση της βάσης λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψιν τον ορισμό της παραγώγου του $\log _{a}x$ είναι το όριο:

{\frac {d}{dx}}\log _{a}x=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}={\frac {1}{x}}\left(\lim _{u\to 0}{\frac {1}{u}}\log _{a}(1+u)\right),

όπου στο τελευταίο βήμα κάναμε την αντικατάσταση $u=h/x$ . Το τελευταίο όριο που εμφανίζονται σε αυτό τον υπολογισμό είναι και πάλι ένα απροσδιόριστο όριο που εξαρτάται μόνο από τη βάση $a$ , και αν αυτή η βάση είναι $e$ , τότε το όριο είναι ίσο με $1$ .^[16] Έτσι συμβολικά :

{\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.

Ο λογάριθμος σε αυτή την ειδική βάση ονομάζεται ο φυσικός λογάριθμος και αναπαρίσταται ως $\ln$ , συμπεριφέρεται καλά κατά τη διαφοροποίηση.

Υπάρχουν λοιπόν δύο τρόποι με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε έναν ειδικό αριθμό $a=e$ . Ένας τρόπος είναι να ορίσουμε την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης $a^{x}$ ώστε να είναι ίση με $a^{x}$ . Ο άλλος τρόπος είναι να θέσουμε την παράγωγο της βάσης του λογαρίθμου σε $1/x$ και να λύσουμε προς $a$ . Σε κάθε περίπτωση φτάνει κανείς σε μια βολική επιλογή της βάσης. Στην πραγματικότητα, αυτές οι δύο λύσεις δίνουν τον ίδιο αριθμό $e$ για βάση.

Εναλλακτικοί χαρακτηρισμοί

Άλλοι χαρακτηρισμοί του $e$ που είναι επίσης πιθανοί: ένας είναι ως το όριο μιας ακολουθίας, άλλος είναι ως το άθροισμα μίας άπειρης σειράς και μερικοί ακόμα βασίζονται στον ολοκληρωτικό λογισμό. Μέχρι στιγμής, έχουμε εισάγει τους εξής δύο ορισμούς:

Ο αριθμός $e$ είναι ο μοναδικός θετικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε:
${\frac {d}{dt}}e^{t}=e^{t}.$
Ο αριθμός $e$ είναι ο μοναδικός θετικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε:
${\frac {d}{dt}}\log _{e}t={\frac {1}{t}}.$

Οι ακόλουθοι τρεις χαρακτηρισμοί μπορούν να αποδειχθούν επίσης ισοδύναμοι:

Ο αριθμός $e$ είναι το όριο:
$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ .

Ομοίως:

$e=\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}$ .
Ο αριθμός $e$ είναι το άθροισμα της άπειρης σειράς:
$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots$
όπου $n!$ είναι το παραγοντικό του $n$ .
Ο αριθμός $e$ είναι ο μοναδικός θετικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε
$\int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.$

Ιδιότητες

Λογισμός

Όπως αναφέραμε παραπάνω η εκθετική συνάρτηση e^x είναι σημαντική εν μέρει επειδή είναι η μοναδική με μη τετριμμένη συνάρτηση (μέχρι τον πολλαπλασιασμό με μια σταθερά) η οποία είναι δική του παράγωγος

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}

και ως εκ τούτου η δική του αντιπαράγωγος, καθώς και:

\int e^{x}\,dx=e^{x}+C.

Συναρτήσεις σαν Εκθετικές

Το πρόβλημα του Στάινερ αναζητά την εύρεση του ολικού μέγιστου για την συνάρτηση

f(x)={\sqrt[{x}]{x}}

.

Αυτό εμφανίζεται στο $x=e$ .^[17] Παρομοίως, στο $x=1/e$ βρίσκεται το ολικό ελάχιστο για τη συνάρτηση

f(x)=x^{x}

,

που ορίζεται για τη θετικά $x$ .

Γενικότερα, για κάθε $n>0$ η συνάρτηση

f(x)=x^{x^{n}}

,

έχει ολικό ελάχιστο στο $x=e^{-1/n}$ .^[18]

Σχετικά με αυτό το, άπειρο επαναλαμβανόμενο εκθετικό

x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}

συγκλίνει αν και μόνο αν e^−e ≤ x ≤ e^1/e (δηλαδή όταν το $x$ είναι περίπου μεταξύ των 0.0660 και 1.4447), σύμφωνα με το θεώρημα του Όιλερ.

Θεωρία των Αριθμών

Ο πραγματικός αριθμός $e$ είναι άρρητος. Ο Όιλερ απέδειξε αυτό, δείχνοντας ότι το απλό συνεχές κλάσμα του είναι άπειρο.

Επιπλέον, από το θεώρημα Λίντεμαν-Βάιερστρας, το $e$ είναι υπερβατικό, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι μια λύση μιας οποιασδήποτε πολυωνυμικής μη σταθερής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. Ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε ότι είναι υπερβατικός χωρίς να έχει κατασκευαστεί ειδικά για το σκοπό αυτό (σε σύγκριση με τον αριθμό Λιουβίλ). Η απόδειξη δόθηκε από τον Σαρλ Ερμίτ το 1873.

Εικάζεται ότι το $e$ είναι κανονικός αριθμός, γεγονός που σημαίνει ότι όταν το e εκφράζεται σε οποιαδήποτε βάση τα πιθανά ψηφία στην εν λόγω βάση είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα (εμφανίζονται ισοπίθανα σε οποιαδήποτε δεδομένη ακολουθία πεπερασμένου μήκους).

Μιγαδικοί αριθμοί

Η εκθετική συνάρτηση e^x μπορεί να γραφεί ως μια σειρά Τέιλορ

e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

.

Επειδή αυτή η σειρά συγκλίνει ακόμη και όταν το $x$ είναι μιγαδικός αριθμός, συνήθως χρησιμοποιείται για την επέκταση του ορισμού τςη e^x στο μιγαδικό επίπεδο. Συνδυάζοντας αυτό με τη σειρά Τέιλορ για τα $\sin x$ και $\cos x$ , οδηγούμαστε στον τύπο του Όιλερ:

e^{ix}=\cos x+i\sin x

,

ο οποίος ισχύει για όλα τα $x$ . Η ειδική περίπτωση $x=\pi$ δίνει την γνωστή ταυτότητα του Όιλερ:

e^{i\pi }+1=0

,

από την οποία προκύπτει ότι, στο κύριο κλάδο του λογαρίθμου,

\ln(-1)=i\pi .\,\!

Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τους νόμους για την ύψωση σε δύναμη,

(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)

ο οποίος είναι ο τύπος του ντε Μουάβρ.

Η έκφραση

\cos x+i\sin x

,

αναφέρεται μερικές φορές ως cis(x).

Διαφορικές Εξισώσεις

Η γενική συνάρτηση

y(x)=Ce^{x}

,

είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης

y'=y

.

Παραστάσεις

Ο αριθμός $e$ μπορεί να παρασταθεί ως πραγματικός αριθμός με διάφορους τρόπους: ως άπειρη σειρά, ως ένα άπειρο προϊόν, ως ένα συνεχές κλάσμα, ή ένα όριο μιας ακολουθίας. Η επικεφαλής μεταξύ αυτών των αναπαραστάσεων, κυρίως σε εισαγωγικά μαθήματα λογισμού είναι το όριο

\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},

που δόθηκε παραπάνω, καθώς επίσης και η σειρά

e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}

δίνεται από τον υπολογισμό της παραπάνω σειράς από το e^x στο x = 1.

Λιγότερο γνωστό είναι το συνεχιζόμενο κλάσμα (ακολουθία A003417 στην OEIS).

e=[2;1,\mathbf {2} ,1,1,\mathbf {4} ,1,1,\mathbf {6} ,1,1,...,\mathbf {2n} ,1,1,...]=[1;\mathbf {0} ,1,1,\mathbf {2} ,1,1,\mathbf {4} ,1,1,...,\mathbf {2n} ,1,1,...],

το οποίο ανεπτυγμένο γράφεται ως εξής

e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {1}{\mathbf {0} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}.

Αυτό το συνεχές κλάσμα για το $e$ συγκλίνει τρεις φορές πιο γρήγορα από το:

e=[1;0.5,12,5,28,9,44,13,\ldots ,4(4n-1),(4n+1),\ldots ],

το οποίο αναγραμμένο μοιάζει με

e=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{22+{\cfrac {1}{26+\ddots \,}}}}}}}}}}}}}}.

Πολλές άλλες σειρές, η ακολουθία, το συνεχές κλάσμα, και οι άπειρες παραστάσεις των προϊόντων του e έχουν αναπτυχθεί.

Στοχαστικές παραστάσεις

Εκτός από τις ακριβείς αναλυτικές εκφράσεις για το $e$ , υπάρχουν στοχαστικές τεχνικές για την εκτίμηση του $ε$ . Μία τέτοια προσέγγιση ξεκινά με μια άπειρη ακολουθία ανεξαρτήτων τυχαίων μεταβλητών $X_{1},X_{2},\ldots$ , προέρχονται από την ομοιόμορφη κατανομή στο $[0,1]$ . Έστω $V$ ελάχιστος αριθμός $n$ , τέτοιος ώστε το άθροισμα των πρώτων $n$ δειγμάτων να υπερβαίνει το $1$ . Τότε, η αναμενόμενη τιμή του $V$ είναι το $e$ , δηλαδή $E[V]=e$ .^[19]

Γνωστά ψηφία

Το πλήθος των γνωστών ψηφίων του e έχει βελτιωθεί δραματικά κατά την διάρκεια των τελευταίων δεκαετιών. Αυτό οφείλεται τόσο στην αυξημένη απόδοση των υπολογιστών όσο και στις αλγοριθμικές βελτιώσεις.

Παραπομπές

↑ Oxford English Dictionary, 2η έκδοση: natural logarithm Αρχειοθετήθηκε 2013-02-08 στο Wayback Machine.
↑ Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
↑ Jerrold E. Marsden, Alan Weinstein (1985). Calculus. Springer. ISBN 0-387-90974-5.
↑ Sondow, Jonathan. «e». Wolfram Mathworld. Wolfram Research. Ανακτήθηκε στις 10 Μαΐου 2011.
↑ Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston. ISBN 0-03-029558-0.
↑ Τζον Νάπιερ (1614), Mirifici logarithmorum canonis descriptio, Εδιμβούργο, Wikidata Q107644956
↑ Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Mathematical and physical correspondence of some famous geometers of the 18th century), vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56–60, see especially p. 58. From p. 58: " … ( e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " ( … (e denotes that number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is equal to 1) … )
↑ Remmert, Reinhold (1991). Theory of Complex Functions. Springer-Verlag. σελ. 136. ISBN 978-0-387-97195-7.
↑ Euler, Leonard. Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta. https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/853/. «Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (Ελληνικά: Γραμμένο για τον αριθμό ο οποίος έχει λογάριθμο την μονάδα, e, δηλαδή 2,7182817...")».
↑ Miller, Jeff. «Earliest Uses of Symbols for Constants». MacTutor. University of St. Andrews, Scotland. Ανακτήθηκε στις 31 Οκτωβρίου 2023.
↑ Gonick, Larry (2012). The Cartoon Guide to Calculus. William Morrow. σελίδες 29–32. ISBN 978-0-06-168909-3.
↑ «Ο συνεχής ανατοκισμός και ο αριθμός e: ένα παρεξηγημένο θέμα» (PDF). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 3 Απριλίου 2019.
↑ Το όριο μπορεί να γραφτεί με την μορφή
$\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}\cdot \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n}}{\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}}={\frac {1}{e}}\cdot \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n}$ .
Τώρα θα δείξουμε ότι ${\textstyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n}=1}$ . Ξεκινάμε, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Μπερνούλι που δίνει ότι
$1\geq \left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n}\geq 1-{\frac {1}{n^{2}}}\cdot n=1-{\frac {1}{n}}$ .
Επίσης, ισχύει ότι
$1\geq \left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n}\geq 1-{\frac {1}{n}}$ .
Παίρνοντας το όριο και στα δύο μέλη της ανισότητας, καθώς ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}$ , λαμβάνουμε ότι είναι $1$ και επομένως καταλήγουμε στο ζητούμενο.
↑ Grinstead, C.M.· Snell, J.L. «Introduction to probability theory». σελ. 85. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Ιουλίου 2011. Ανακτήθηκε στις 9 Δεκεμβρίου 2007.
↑ Αυτό προκύπτει καθώς
$\lim _{n\to \infty }({\sqrt {2\pi n}})^{1/n}=\lim _{n\to \infty }e^{{\frac {1}{2n}}\ln(2\pi n)}=e^{\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2n}}\ln(2\pi n)}$ .
↑ Συνεχίζοντας, έχουμε ότι
${\begin{aligned}{\frac {1}{x}}\left(\lim _{u\to 0}{\frac {1}{u}}\log _{a}(1+u)\right)&={\frac {1}{x}}\left(\lim _{u\to 0}\log _{a}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{N\to 0}\left(1+{\frac {1}{N}}\right)^{N}\right)\\&={\frac {1}{x}}\cdot \log _{a}e.\end{aligned}}$
↑ Θεωρούμε την συνάρτηση
$g(x)=\ln f(x)$ .
Αφού η λογαριθμική συνάρτηση είναι αύξουσα η $g(x)$ μεγιστοποιείται εκεί που μεγιστοποιείται η $f(x)$ . Χρησιμοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης, έχουμε ότι
$g'(x)={\frac {1}{x}}\cdot {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}\cdot \ln x={\frac {1}{x^{2}}}\cdot (1-\ln x).$
Η παράγωγος είναι φθίνουσα στο $x$ επομένως, το ολικό μέγιστο είναι στο $x^{*}=e$ , για το οποίο $g'(x^{*})=0$ .
↑ Όπως και για τις προηγούμενες περιπτώσεις, ορίζουμε την συνάρτηση
$g(x)=\ln(f(x))=x^{n}\cdot \ln x$ ,
και έπειτα έχουμε ότι
$g'(x)=x^{n}\cdot {\frac {1}{x}}+n\cdot x^{n-1}\cdot \ln x=x^{n-1}\cdot (1+n\cdot \ln(x))$ ,
η οποία είναι αύξουσα και μηδενίζεται στο $x^{*}=e^{-1/n}$ .
↑ Καθώς το $V$ είναι τυχαία μεταβλητή που παίρνει τιμές στους φυσικούς αριθμούς, έχουμε ότι
$E[V]=\sum _{i=1}^{\infty }\Pr(V\geq i)=\sum _{i=1}^{\infty }\Pr(X_{1}+\ldots +X_{i-1}<1)$ .
Από την κατανομή Irwin-Hall έχουμε ότι
$\Pr(X_{1}+\ldots +X_{i-1}<1)={\frac {1}{(i-1)!}}$ .
Επομένως, καταλήγουμε ότι
$E[V]=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{(i-1)!}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}=e$ .