Φυσικός λογάριθμος

Γράφημα της εξίσωσης του φυσικού λογαρίθμου. Η συνάρτηση αυξάνει αργά προς το +∞ όσο το x αυξάνει, και πάει αργά προς το -∞ όσο το x πλησιάζει το 0 («αργά» σε σχέση με οποιονδήποτε νόμο δύναμης του x). Ο y-άξονας είναι μια ασύμπτωτη.

Ο φυσικός λογάριθμος ενός αριθμού είναι ο λογάριθμός του x ως προς την βάση e, όπου e είναι μια άρρητη και υπερβατική σταθερά περίπου ίση με $2,718281828459$. Ο φυσικός λογάριθμος του x συνήθως γράφεται $\ln x$, $\log _{e}x$ ή μερικές φορές όταν η βάση $e$ υπονοείται, απλά $\log x$. Κάποιες φορές για σαφήνεια προστίθενται παρενθέσεις, δίνοντας $\ln(x)$, $\log _{e}(x)$ ή $\log(x)$. Αυτό γίνεται ιδιαίτερα όταν το όρισμα του λογαρίθμου δεν είναι ένα μοναδικό σύμβολο, όπως π.χ. $\ln(x+y)$.

Ο φυσικός λογάριθμος του $x$ είναι η δύναμη στην οποία η σταθερά $e$ πρέπει να υψωθεί για να έχουμε την τιμή $x$. Για παράδειγμα ο $\ln(7.5)=2.0149..$ γιατί $e^{2.0149..}=7.5$. Ο φυσικός λογάριθμος της σταθερά $e$ είναι η μονάδα γιατί $e^{1}=e$ ενώ ο φυσικός λογάριθμος του 1 είναι το μηδέν $\ln(1)=0$ μιας και $e^{0}=1$. Ένας φυσικός λογάριθμος μπορεί να οριστεί για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό.

$e^{\ln(x)}=x\qquad {\mbox{εάν }}x>0$

$\ln(e^{x})=x.$

$\ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .$

Δείτε επίσης

• Εκθετική συνάρτηση