Εφαπτομενική γωνία

Η εφαπτομενική γωνία φ για μια αυθαίρετη καμπύλη A στο P.

Στη γεωμετρία, η εφαπτομενική γωνία μιας καμπύλης στο καρτεσιανό επίπεδο, σε ένα συγκεκριμένο σημείο, είναι η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης της καμπύλης στο συγκεκριμένο σημείο και του άξονα x. (Ορισμένοι συγγραφείς ορίζουν τη γωνία ως την απόκλιση από τη κατεύθυνση της καμπύλης σε κάποιο σταθερό σημείο εκκίνησης. Αυτό είναι ισοδύναμο με τον ορισμό που δίνεται εδώ με την προσθήκη μιας σταθεράς στη γωνία ή με την περιστροφή της καμπύλης).

Εξισώσεις

Αν μια καμπύλη δίνεται παραμετρικά από την (x'(t), y(t)), τότε η εφαπτομενική γωνία φ στο t ορίζεται (μέχρι ένα πολλαπλάσιο του 2π) από τη σχέση

${\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).$

Εδώ, το πρώτο σύμβολο υποδηλώνει την παράγωγο ως προς t. Έτσι, η εφαπτομενική γωνία προσδιορίζει την κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας (x(t), y(t)), ενώ η ταχύτητα προσδιορίζει το μέγεθός της. Το διάνυσμα

${\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}$

ονομάζεται μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα, οπότε ένας ισοδύναμος ορισμός είναι ότι η εφαπτομενική γωνία στο t είναι η γωνία φ τέτοια ώστε (cos φ, sin φ) είναι το μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα στο t.

Αν η καμπύλη παραμετροποιείται από το μήκος τόξου s, τότε |x′(s), y′(s)| = 1, τότε ο ορισμός απλοποιείται ως εξής

${\big (}x'(s),\ y'(s){\big )}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).$

Σε αυτή την περίπτωση, η καμπυλότητα κ δίνεται από τη σχέση φ′(s), όπου κ λαμβάνεται θετική αν η καμπύλη κάμπτεται προς τα αριστερά και αρνητική αν η καμπύλη κάμπτεται προς τα δεξιά. Αντίστροφα, η εφαπτομενική γωνία σε ένα δεδομένο σημείο ισούται με το ορισμένο ολοκλήρωμα της καμπυλότητας μέχρι το σημείο αυτό:

$\varphi (s)=\int _{0}^{s}\kappa (s)ds+\varphi _{0}$

$\varphi (t)=\int _{0}^{t}\kappa (t)s'(t)dt+\varphi _{0}$

Αν η καμπύλη δίνεται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης y = f'(x), τότε μπορούμε να πάρουμε (x, f(x)) ως παραμετροποίηση, και μπορούμε να υποθέσουμε ότι φ είναι μεταξύ -^π⁄₂ και π/2. Έτσι προκύπτει η ρητή έκφραση

$\varphi =\arctan f'(x).$

Πολική εφαπτομενική γωνία

Στις πολικές συντεταγμένες, η πολική εφαπτομενική γωνία ορίζεται ως η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης της καμπύλης στο συγκεκριμένο σημείο και της ακτίνας από την αρχή προς το σημείο. Αν ψ συμβολίζει την πολική εφαπτομενική γωνία, τότε ψ = φ - θ}, όπου φ είναι όπως παραπάνω και θ είναι, ως συνήθως, η πολική γωνία.

Αν η καμπύλη ορίζεται σε πολικές συντεταγμένες από r = f(θ), τότε η πολική εφαπτομενική γωνία ψ στο θ ορίζεται (μέχρι ένα πολλαπλάσιο του 2π) ως εξής

${\frac {{\big (}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big )}}{{\big |}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big |}}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )$.

Εάν η καμπύλη παραμετροποιείται από το μήκος τόξου s ως r = r(s), θ = θ(s), οπότε |(r′(s), rθ′(s))| = 1, τότε ο ορισμός γίνεται

${\big (}r'(s),\ r\theta '(s){\big )}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )$.

Η λογαριθμική σπείρα μπορεί να οριστεί ως μια καμπύλη της οποίας η πολική εφαπτομενική γωνία είναι σταθερή.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πολικό σύστημα συντεταγμένων
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
• Ορίζουσα
• Μήκος τόξου

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Mathematics for Physical Chemistry
• Applied Linear Algebra
• Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups, Τόμος 17
• Advanced Mathematical And Computational Tools In Metrology And Testing Ix
• Linear Algebra and Geometry
• Blackie's Dictionary of Mathematics
• Geometrical Analysis, and Geometry of Curve Lines: Being Volume Second of a Curve Lines

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Argand (1814). «Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise» (στα γαλλικά). Annales de mathématiques pures et appliquées 5: 197–209. https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$c126479&view=1up&seq=209. 
• Adams, Robert A.· Essex, Christopher (2009). Calculus: A Complete Course. Pearson Prentice Hall. σελ. 744. ISBN 978-0-321-54928-0. 
• «Notations». Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (στα French). 
• Yates, R. C. (1952). A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. σελίδες 123–126. 
• Famous Curves Index, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
• Mathematical curves A collection of 874 two-dimensional mathematical curves