Θεωρία Ντόναλντσον-Τόμας

Στα μαθηματικά, συγκεκριμένα στην αλγεβρική γεωμετρία, η θεωρία Ντόναλντσον-Τόμας είναι γνωστή ως η θεωρία των αναλλοίωτων του Ντόναλντσον-Τόμας. Δεδομένου ενός συμπαγούς χώρου moduli των δεμάτιων σε μια 3-fold Καλάμπι-Γιάου, η αναλλοίωτη Ντόναλντσον-Τόμας είναι ο εικονικός αριθμός των σημείων του, δηλαδή το ολοκλήρωμα της κλάσης συνομολογίας 1 έναντι της εικονικής θεμελιώδους κλάσης. Το αναλλοίωτο Ντόναλντσον-Τόμας είναι ένα ολομορφικό ανάλογο του αναλλοίωτου Κασσόν. Οι αναλλοίωτες εισήχθησαν από τους Σάιµον Ντόναλντσον και Ρίτσαρντ Τόµας (1998). Οι αναλλοίωτες Ντόναλντσον-Τόμας έχουν στενή σχέση με τις αναλλοίωτες Γκρόμοφ-Γουίτεν των αλγεβρικών τριπλών και τη θεωρία των σταθερών ζευγών που οφείλονται στους Ραχούλ Πανταριπάντε και Τόμας.

Η θεωρία Ντόναλντσον-Τόμας έχει φυσικό κίνητρο ορισμένες καταστάσεις BPS που εμφανίζονται στη θεωρία χορδών και στη θεωρία βαθμίδας^{pg 5}. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι αναλλοίωτες εξαρτώνται από μια συνθήκη σταθερότητας στην παράγωγη κατηγορία $D^{b}({\mathcal {M}})$ των χώρων moduli που μελετώνται. Ουσιαστικά, αυτές οι συνθήκες ευστάθειας αντιστοιχούν σε σημεία του χώρου moduli Κάλερ μιας πολλαπλότητας Καλάμπι-Γιάου, όπως εξετάζεται σε κατοπτρική συμμετρία, και η προκύπτουσα υποκατηγορία ${\mathcal {P}}\subset D^{b}({\mathcal {M}})$ είναι η κατηγορία των καταστάσεων BPS για τον αντίστοιχο SCFT.

Ορισμός και παραδείγματα

Η βασική ιδέα των αναλλοίωτων Γκρόμοφ-Γουίτεν είναι η διερεύνηση της γεωμετρίας ενός χώρου μέσω της μελέτης αντι-ολομορφικών χαρτών από επιφάνειες Ρίμαν σε έναν λείο στόχο. Η στοίβα moduli όλων αυτών των χαρτών δέχεται μια εικονική θεμελιώδη τάξη και η θεωρία τομής σε αυτή τη στοίβα δίνει αριθμητικές αναλλοίωτες που συχνά μπορούν να περιέχουν απαριθμητικές πληροφορίες. Σε παρόμοιο πνεύμα, η προσέγγιση της θεωρίας Ντόναλντσον - Τόμας είναι η μελέτη καμπυλών σε ένα αλγεβρικό τριπλό μέσω των εξισώσεών τους. Πιο συγκεκριμένα, μελετώντας ιδανικά δεμάτια σε έναν χώρο. Αυτός ο χώρος moduli δέχεται επίσης μια εικονική θεμελιώδη κλάση και αποδίδει ορισμένες αριθμητικές αναλλοίωτες που είναι απαριθμητικές.

Ενώ στη θεωρία Γκρόμοφ-Γουίτεν, οι χάρτες επιτρέπεται να είναι πολλαπλά καλύμματα και καταρρέουσες συνιστώσες της καμπύλης του τομέα, η θεωρία Ντόναλντσον-Τόμας επιτρέπει μηδενική πληροφορία που περιέχεται στα δεμάτια, ωστόσο πρόκειται για ακέραιες αναλλοίωτες τιμές. Υπάρχουν σοβαρές εικασίες που οφείλονται στους Νταβές Μάουλικ, Αντρέι Οκούνκοφ, Νικίτα Νεκράσοφ και Ραχούλ Πανταριπάντε, οι οποίες αποδεικνύονται σε αυξανόμενη γενικότητα, ότι οι θεωρίες Γκρόμοφ-Γουίτεν και Ντόναλντσον-Τόμας των αλγεβρικών τριπλών είναι στην πραγματικότητα ισοδύναμες. Για τις 3-fold Καλάμπι-Γιάου, οι αναλλοίωτες Ντόναλντσον-Τόμας μπορούν να διατυπωθούν ως σταθμισμένη χαρακτηριστική του Όιλερ στο χώρο moduli. Πρόσφατα υπήρξαν επίσης συσχετίσεις μεταξύ αυτών των αναλλοίωτων, της άλγεβρας Hall με κίνητρα και του δακτυλίου των συναρτήσεων στον κβαντικό τόρο.

• Ο χώρος moduli των γραμμών στην πεμπτοβάθμια 3-fold είναι ένα διακριτό σύνολο 2875 σημείων. Ο εικονικός αριθμός των σημείων είναι ο πραγματικός αριθμός των σημείων, και επομένως η αναλλοίωτη Ντόναλντσον-Τόμας αυτού του χώρου moduli είναι ο ακέραιος 2875.
• Ομοίως, η αμετάβλητη Ντόναλντσον-Τόμας του χώρου moduli των κωνικών επί της πεμπτοβάθμιας είναι 609250.

Ορισμός

Για μια threefold Καλάμπι-Γιάου $Y$ και μια σταθερή κλάση συνομολογίας $\alpha \in H^{\text{even}}(Y,\mathbb {Q} )$ υπάρχει μια σχετική στοίβα moduli ${\mathcal {M}}(Y,\alpha )$ από συνεκτικά δεμάτια με χαρακτήρα Τσερν $c({\mathcal {E}})=\alpha$. Γενικά, πρόκειται για μια μη διαχωρισμένη στοίβα Άρτιν άπειρου τύπου, η οποία είναι δύσκολο να ορίσει αριθμητικές αναλλοίωτες πάνω της. Αντίθετα, υπάρχουν ανοικτές υποσυστοιχίες ${\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )$ που παραμετροποιούν τέτοια συνεκτικά δεμάτια ${\mathcal {E}}$ τα οποία έχουν μια συνθήκη ευστάθειας $\sigma$ που επιβάλλεται σε αυτά, δηλαδή $\sigma$-σταθερά δεμάτια. Αυτές οι στοίβες moduli έχουν πολύ καλύτερες ιδιότητες, όπως το ότι διαχωρίζονται πεπερασμένου τύπου. Η μόνη τεχνική δυσκολία είναι ότι μπορεί να έχουν κακές ιδιομορφίες λόγω της ύπαρξης εμποδίων παραμορφώσεων σταθερού δεματιού. Συγκεκριμένα

${\begin{aligned}T_{[{\mathcal {E}}]}{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\\{\text{Ob}}_{[{\mathcal {E}}]}({\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha ))&\cong {\text{Ext}}^{2}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\end{aligned}}$

Επειδή το $Y$ είναι Καλάμπι-Γιάου, η δυαδικότητα Σερ συνεπάγεται

${\text{Ext}}^{2}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}\otimes \omega _{Y})^{\vee }\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})^{\vee }$

η οποία δίνει μια άριστη θεωρία παρεμπόδισης της διάστασης 0. Ειδικότερα, αυτό συνεπάγεται τη σχετική εικονική θεμελιώδη κλάση

$[{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )]^{vir}\in H_{0}({\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha ),\mathbb {Z} )$

είναι ομολογικού βαθμού $0$. Μπορούμε τότε να ορίσουμε το αμετάβλητο DT ως εξής

$\int _{[{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )]^{vir}}1$

η οποία εξαρτάται από τη συνθήκη σταθερότητας $\sigma$ και την κλάση συνομολογίας $\alpha$. Αποδείχθηκε από τον Τόμας ότι για μια ομαλή οικογένεια $Y_{t}$ το αναλλοίωτο που ορίστηκε παραπάνω δεν αλλάζει. Στην αρχή οι ερευνητές επέλεξαν τη συνθήκη ευστάθειας Γκίζεκερ, αλλά τα τελευταία χρόνια έχουν μελετηθεί και άλλες DT-αναλλοίωτες με βάση άλλες συνθήκες ευστάθειας, οδηγώντας σε τύπους τοιχοδιασταύρωσης.

Γενίκευση

Μια εκτεταμένη γενίκευση των αλγεβρικών χώρων προκύπτει από τις αλγεβρικές στοίβες. Στην κατηγορία των στοιβών μπορούμε να σχηματίσουμε ακόμη περισσότερα πηλίκα με δράσεις ομάδων απ' ό,τι στην κατηγορία των αλγεβρικών χώρων (το πηλίκο που προκύπτει αποκαλείται πηλίκο στοίβας).

Βιβλιογραφία

• Donaldson, Simon K.; Thomas, Richard P. (1998), «Gauge theory in higher dimensions», στο: Huggett, S. A.; Mason, L. J.; Tod, K. P. και άλλοι, επιμ., The geometric universe (Oxford, 1996), Oxford University Press, σελ. 31–47, ISBN 978-0-19-850059-9 
• Kontsevich, Maxim (2007), Donaldson–Thomas invariants, Mathematische Arbeitstagung, Bonn, https://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/DTinv-AT2007.pdf 

Δείτε επίσης

• Αναλλοίωτοι Γκρόμοφ-Βίτεν

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο