Θεωρία Πικάρ-Λέφσετζ

Στα μαθηματικά, η θεωρία Πικάρ-Λέφσετζ^[1]^[2] μελετά την τοπολογία μιας σύνθετης πολλαπλότητας εξετάζοντας τα κρίσιμα σημεία μιας ολόμορφης συνάρτησης στην πολλαπλότητα. Εισήχθη από τον Εμίλ Πικάρ^[3]^[4] για σύνθετες επιφάνειες στο βιβλίο του Πικάρ & Σιμάρ (1897) και επεκτάθηκε σε υψηλότερες διαστάσεις από τον Σόλομον Λέφσετζ^[5] (1924). Είναι ένα μιγαδικό ανάλογο της θεωρίας Μορς που μελετά την τοπολογία μιας πραγματικής πολλαπλότητας εξετάζοντας τα κρίσιμα σημεία μιας πραγματικής συνάρτησης. Οι Πιερ Ντελίν και Νίκολας Κατζ (1973) επέκτειναν τη θεωρία Πικάρ-Λέφσετζ σε ποικιλίες επί γενικότερων σωμάτων^[6], και ο Ντελίν χρησιμοποίησε αυτή τη γενίκευση στην απόδειξη των εικασιών του Βέιλ^[7].

Τύπος Πικάρ-Λέφσετζ

Ας θεωρήσουμε ότι η f είναι ένας ολομορφικός χάρτης^[8] από μια (k+1)-διάστατη προβολική μιγαδική πολλαπλότητα στην προβολική γραμμή P¹. Ας υποθέσουμε επίσης ότι όλα τα κρίσιμα σημεία είναι μη εκφυλισμένα και βρίσκονται σε διαφορετικές ίνες και έχουν εικόνες x₁,...,x_n in P¹. Ας επιλέξουμε οποιοδήποτε άλλο σημείο x στην P¹. Η θεμελιώδης ομάδα π₁(P¹ – {x₁, ..., x_n}, x) παράγεται από βρόχους wi που πηγαίνουν γύρω από τα σημεία w_i, και σε κάθε σημείο x_i υπάρχει ένας εξαφανιζόμενος κύκλος στην ομολογία Hk(Yx) της ίνας στο x. Να σημειωθεί ότι αυτή είναι η μέση ομολογία αφού η ίνα έχει μιγαδική διάσταση k, άρα πραγματική διάσταση 2k. Η μονοδρομική δράση της π₁(P¹ – {x₁, ..., x_n}, x) στην H_k(Y_x)περιγράφεται ως εξής από τον τύπο Πικάρ-Λέφσετζ. (Η δράση της μονοδρομίας σε άλλες ομολογικές ομάδες είναι τετριμμένη.) Η δράση της μονοδρομίας μιας γεννήτριας w_i της θεμελιώδους ομάδας επί της $\gamma$ ∈ H_k(Y_x) παρέχεται από τη σχέση

w_{i}(\gamma )=\gamma +(-1)^{(k+1)(k+2)/2}\langle \gamma ,\delta _{i}\rangle \delta _{i}

όπου δ_i είναι ο μηδενιζόμενος κύκλος του x_i. Ο τύπος αυτός εμφανίζεται σιωπηρά για k = 2 (χωρίς τους ρητούς συντελεστές των κύκλων φυγής δ_i)^[9] στους Πικάρ & Σιμάρ Picard & Simart (1897, p.95). Ο Λέφσετζ (Lefschetz (1924, chapters II, V)) έδωσε τον ρητό τύπο σε όλες τις διαστάσεις.

Παράδειγμα

Ας θεωρήσουμε την προβολική οικογένεια υπερελιπτικών καμπυλών γένους $g$ που ορίζεται από^[10]

y^{2}=(x-t)(x-a_{1})\cdots (x-a_{k})

όπου $t\in \mathbb {A} ^{1}$ είναι η παράμετρος και $k=2g+1$ . Τότε, αυτή η οικογένεια έχει εκφυλισμούς διπλού σημείου όποτε $t=a_{i}$ . Εφόσον η καμπύλη είναι ένα συνδεδεμένο άθροισμα από $g$ τόροι, η μορφή τομής στην $H_{1}$ μιας γενικής καμπύλης είναι ο πίνακας

{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}^{\oplus g}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&1\\0&0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}

μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τον τύπο Πικάρ-Λέφσετζ γύρω από έναν εκφυλισμό στο $\mathbb {A} _{t}^{1}$ . Ας υποθέσουμε ότι $\gamma ,\delta$ είναι οι $1$ -κύκλοι από τον $j$ -οστό τόρο. Τότε, ο τύπος Πικάρ-Λέφσετζ έχει ως εξής

w_{j}(\gamma )=\gamma -\delta

αν ο $j$ -th τόρος περιέχει τον μηδενιζόμενο κύκλο. Διαφορετικά είναι ο χάρτης ταυτότητας.

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
Bombieri, Enrico· Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034.
Hindry, Marc· Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics. 201. ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023.
Deligne, Pierre; Katz, Nicholas (1973), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II, Lecture Notes in Mathematics, 340, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0060505, ISBN 978-3-540-06433-6
Lamotke, Klaus (1981), «The topology of complex projective varieties after S. Lefschetz», Topology 20 (1): 15–51, doi:10.1016/0040-9383(81)90013-6, ISSN 0040-9383
Lefschetz, S. (1924), L'analysis situs et la géométrie algébrique, Gauthier-Villars
Lefschetz, Solomon (1975), Applications of algebraic topology. Graphs and networks, the Picard-Lefschetz theory and Feynman integrals, Applied Mathematical Sciences, 16, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90137-4, https://books.google.com/books?id=eqCyQgAACAAJ ^{[νεκρός σύνδεσμος]}
Picard, É.; Simart, G. (1897), Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Tome I, Paris: Gauthier-Villars et Fils., https://archive.org/details/thoriedesfoncti00simagoog
Vassiliev, V. A. (2002), Applied Picard–Lefschetz theory, Mathematical Surveys and Monographs, 97, Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/surv/097, ISBN 978-0-8218-2948-6

Παραπομπές

↑ «Toward Picard-Lefschetz Theory of Path Integrals, Complex Saddles and Resurgence».
↑ Vasilʹev, V. A. (2002). Applied Picard-Lefschetz Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2948-6.
↑ «C. Émile Picard - The Mathematics Genealogy Project». mathgenealogy.org. Ανακτήθηκε στις 29 Ιουνίου 2024.
↑ «Émile Picard - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 29 Ιουνίου 2024.
↑ «National Academy of Sciences - Solomon Lefschetz» (PDF).
↑ Groupes de Monodromie en Géométrie Algébrique.
↑ Deligne, Pierre (1980). «La conjecture de Weil : II» (στα γαλλικά). Publications Mathématiques de l'IHÉS 52: 137–252. ISSN 1618-1913. http://www.numdam.org/item/?id=PMIHES_1980__52__137_0.
↑ «Picard-Lefschetz theory» (PDF).
↑ University of Michigan, Emile· Simart, Georges (1897). Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Paris, Gauthier-Villars.
↑ Vasilʹev, V. A.· Feeman, Timothy G. (2002). Applied Picard-Lefschetz Theory. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1324-8.

[1] «Toward Picard-Lefschetz Theory of Path Integrals, Complex Saddles and Resurgence».

[2] Vasilʹev, V. A. (2002). Applied Picard-Lefschetz Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2948-6.

[3] «C. Émile Picard - The Mathematics Genealogy Project». mathgenealogy.org. Ανακτήθηκε στις 29 Ιουνίου 2024.

[4] «Émile Picard - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 29 Ιουνίου 2024.

[5] «National Academy of Sciences - Solomon Lefschetz» (PDF).

[6] Groupes de Monodromie en Géométrie Algébrique.

[7] Deligne, Pierre (1980). «La conjecture de Weil : II» (στα γαλλικά). Publications Mathématiques de l'IHÉS 52: 137–252. ISSN 1618-1913. http://www.numdam.org/item/?id=PMIHES_1980__52__137_0.

[8] «Picard-Lefschetz theory» (PDF).

[9] University of Michigan, Emile· Simart, Georges (1897). Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Paris, Gauthier-Villars.

[10] Vasilʹev, V. A.· Feeman, Timothy G. (2002). Applied Picard-Lefschetz Theory. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1324-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]