Θεωρία διαταραχών (κβαντική μηχανική)

Στην κβαντική μηχανική, η θεωρία διαταραχών αποτελεί ένα μαθηματικό εργαλείο που χρησιμοποιείται για τη περιγραφή περίπλοκων συστημάτων με αφετηρία ένα απλούστερο, ακριβώς επιλύσιμο σύστημα. Η βασική ιδέα πίσω από τη θεωρία διαταραχών είναι η εξής: Δεδομένης μιας Χαμιλτονιανής με γνωστές ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές, προσθέτουμε σταδιακά «μικρές» διορθώσεις («διαταραχές») οι οποίες έχουν υπολογίσιμες συνέπειες στις αδιατάρακτες ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές της. Έτσι λοιπόν μπορούμε να μελετήσουμε ένα περίπλοκο σύστημα έχοντας ως αφετηρία ένα ακριβώς επιλύσιμο πρόβλημα.

Η κβαντική θεωρία διαταραχών χωρίζεται σε δύο βασικές κατηγορίες:

• Την χρονοανεξάρτητη θεωρία διαταραχών (γνωστή και ως θεωρία διαταραχών των Ρέιλι-Σρέντιγκερ από τους δύο πρωτοπόρους της θεωρίας)
• Την χρονοεξαρτημένη θεωρία διαταραχών

Χρονοανεξάρτητη θεωρία διαταραχών

Στην χρονοανεξάρτητη θεωρία διαταραχών ασχολείται με στατικές Χαμιλτονιανές, δηλαδή ανεξάρτητες του χρόνου.

Υποθέτοντας ότι έχουμε ένα ακριβώς επιλύσιμο σύστημα με (χρονοανεξάρτητη) Χαμιλτονιανή Η⁽⁰⁾ και γνωστές ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές |n⁽⁰⁾> και E_n⁽⁰⁾, προκύπτει το εξής ερώτημα: Τι θα συμβεί αν στην αδιατάρακτη Χαμιλτονιανή προστεθεί ένας «μικρός» διαταρακτικός όρος της μορφής λΗ⁽¹⁾, όπου λ μία μικρή σταθερά;

Μαθηματικά, το προηγούμενο ερώτημα μεταφράζεται στην εξίσωση:

$H=H^{(0)}+\lambda H^{(1)}\ \ \$

Το ζητούμενο είναι να υπολογίσουμε πώς θα αλλάξουν οι γνωστές ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές του ακριβώς επιλύσιμου προβλήματος λόγω της προσθήκης της παραπάνω διαταραχής. Η απάντηση στο ερώτημα προκύπτει από την ανάπτυξη των ιδιοτιμών της ενέργειας και των ιδιοσυναρτήσεων σε μία δυναμοσειρά ως προς τη μεταβλητή λ, ήτοι

$E_{n}=\lambda ^{0}E_{n}^{(0)}+\lambda ^{1}E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+...$

$|n\rangle =\lambda ^{0}|n^{(0)}\rangle +\lambda ^{1}|n^{(1)}\rangle +\lambda ^{2}|n^{(2)}\rangle +...$

Ο συντελεστής κάθε δύναμης του λ στα παραπάνω αναπτύγματα αντιστοιχεί στην αντίστοιχη τάξη διόρθωσης. Για παράδειγμα, αν λ=0 (δεν υπάρχει διαταρακτικός όρος στην ολική Χαμιλτονιανή), τότε H≡H⁽⁰⁾ και Ε_n≡E_n⁽⁰⁾.

Αντικαθιστώντας τα προηγούμενα αναπτύγματα στην εξίσωση Σρέντιγκερ,

$H|n\rangle =E_{n}|n\rangle \Leftrightarrow \left(H^{(0)}+\lambda H^{(1)}\right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\lambda ^{2}|n^{(2)}\rangle +...\right)=$

$=\left(E_{n}^{(0)}+\lambda ^{1}E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+...\right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\lambda ^{2}|n^{(2)}\rangle +...\right)$

Η εξίσωση των όμοιων δυνάμεων του λ καταλήγει στο παρακάτω σύστημα εξισώσεων:

${\begin{aligned}H^{(0)}|n^{(0)}\rangle &=E_{n}^{(0)}|n^{(0)}\rangle \\H^{(0)}|n^{(1)}\rangle +H^{(1)}|n^{(0)}\rangle &=E_{n}^{(0)}|n^{(1)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(0)}\rangle \\H^{(0)}|n^{(2)}\rangle +H^{(1)}|n^{(1)}\rangle &=E_{n}^{(0)}|n^{(2)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(1)}\rangle +E_{n}^{(2)}|n^{(0)}\rangle \\&\vdots \end{aligned}}$

Κάθε μία από τις παραπάνω εξισώσεις (με εξαίρεση την πρώτη, η οποία είναι η εξίσωση Σρέντιγκερ για το ακριβώς επιλύσιμο πρόβλημα) είναι δυνατόν να προσδιορίσει την τάξη διόρθωσης στις ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις στην οποία αντιστοιχεί.

Διορθώσεις 1ης τάξης

Ο υπολογισμός των διορθώσεων πρώτης τάξης έχει ως αφετηρία την εξίσωση

$H^{(0)}|n^{(1)}\rangle +H^{(1)}|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(1)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(0)}\rangle$

Το ζητούμενο είναι ο υπολογισμός των ποσοτήτων E_n⁽¹⁾ και |n⁽¹⁾> συναρτήσει των αντίστοιχων ιδιοσυναρτήσεων και ιδιοτιμών του ακριβώς επιλύσιμου προβλήματος. Υπό την προϋπόθεση ότι οι διορθώσεις πρώτης τάξης στις ιδιοσυναρτήσεις, |n⁽¹⁾>, μπορούν να αναπτυχθούν σε μία δυναμοσειρά ως προς τις γνωστές ιδιοσυναρτήσεις |n⁽⁰⁾>, είναι δυνατόν να δειχθεί ότι

$E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|H^{(1)}|n^{(0)}\rangle ,\ \ \ |n^{(1)}\rangle =\sum _{m\neq n}{\frac {H_{mn}^{(1)}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}\ |m^{(0)}\rangle$

Το αποτέλεσμα αυτό ισχύει μόνο υπό την προϋπόθεση ότι το ενεργειακό φάσμα της αδιατάρακτης Χαμιλτονιανής H⁽⁰⁾ είναι μη εκφυλισμένο.

Διορθώσεις 2ης τάξης

Οι διορθώσεις δεύτερης τάξης έχουν ως αφετηρία την εξίσωση

$H^{(0)}|n^{(2)}\rangle +H^{(1)}|n^{(1)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(2)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(1)}\rangle +E_{n}^{(2)}|n^{(0)}\rangle$

Όπως και στην περίπτωση των διορθώσεων πρώτης τάξης, οι διορθώσεις δεύτερης τάξης στις ιδιοσυναρτήσεις και τις ιδιοτιμές του αδιατάρακτου προβλήματος είναι δυνατόν να υπολογισθούν υπό την προϋπόθεση ότι οι διορθώσεις δεύτερης τάξης των ιδιοσυναρτήσεων μπορούν να αναπτυχθούν σε δυναμοσειρά ως προς τις αδιατάρακτες ιδιοσυναρτήσεις. Το τελικό αποτέλεσμα είναι το εξής:

$E_{n}^{(2)}=\sum _{m\neq n}{\frac {\left|\langle m^{(0)}|H^{(1)}|n^{(0)}\rangle \right|^{2}}{E_{n}^{(0}-E_{m}^{(0)}}}$

$|n^{(2)}\rangle =\sum _{i\neq n}\sum _{j\neq n}{\frac {\langle j^{(0)}|H^{(1)}|n^{(0)}\rangle \langle i^{(0)}|H^{(1)}|j^{(0)}\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{j}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)}\right)}}|i^{(0)}\rangle -\sum _{i\neq n}{\frac {\langle n^{(0)}|H^{(1)}|n^{(0)}\rangle \langle i^{(0)}|H^{(1)}|n^{(0)}\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)}\right)^{2}}}|i^{(0)}\rangle$

Εφαρμογές

• Διορθώσεις στο μοντέλο του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή
• Συστήματα ηλιοειδών ατόμων
• Το φαινόμενο Ζέεμαν
• Το φαινόμενο Σταρκ
• Λεπτή και υπέρλεπτη υφή

Βιβλιογραφία

• Τραχανάς Στέφανος, Κβαντομηχανική Ι, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2009
• Τραχανάς Στέφανος, Κβαντομηχανική ΙΙ, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2009