Θεώρημα Μπεζού (πολυώνυμα)
Στην άλγεβρα, το θεώρημα Μπεζού για τα πολυώνυμα είναι μία ειδική περίπτωση του θεωρήματος διαίρεσης για τα πολυώνυμα, όπου ο διαιρέτης είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού.[1][2][3][4][5]
Θεώρημα (Μπεζού) — Έστω ένα πολυώνυμο και . Τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι .
Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Παράδειγμα 1ο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Έστω το πολυώνυμο και . Το θεώρημα Μπεζού λέει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι .
Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παίρνουμε ότι
που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι ίσο με .
Παράδειγμα 2ο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Έστω το πολυώνυμο και . Το θεώρημα Μπεζού λέει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι .
Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παίρνουμε ότι
που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι ίσο με .
Παράδειγμα 3ο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Έστω το πολυώνυμο . Τότε, από τις ιδιότητες της παραγοντοποίησης έχουμε ότι
και έπεται ότι το υπόλοιπο με την διαίρεση με το είναι μηδέν (που είναι ίσο με ).
Αποδείξεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Με Θεώρημα διαίρεσης πολυωνύμων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Το θεώρημα διαίρεσης πολυωνύμων λέει ότι για τα πολυώνυμα και υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα και με , τέτοια ώστε
Επομένως, όταν το , τότε έχουμε ότι
Για , λαμβάνουμε ότι .
Με ταυτότητα διαφοράς δυνάμεων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα για κάθε και ,
- .
και θα γράψουμε . Επομένως,
Επομένως,
που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι .
Συνέπειες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Το παρακάτω πόρισμα προκύπτει από το γεγονός ότι ανν το είναι ρίζα.
Πόρισμα — Έστω ένα πολυώνυμο και . Τότε το είναι παράγοντας του ανν το είναι ρίζα του .
Πόρισμα — Έστω ένα πολυώνυμο και . Τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του και του είναι .
Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- ↑ Βουκούτης, Ναπολέων. Πολυώνυμα. Αθήνα: Gutenberg.
- ↑ Μπασογιάννης, Αθανάσιος Μ. Πολυώνυμα: Θεωρία, μέθοδοι, ασκήσεις. Ιωάννινα.
- ↑ Παπαγιάννης, Ορέστης Β. Λυμέναι ασκήσεις άλγεβρας-αναλύσεως: πολυώνυμα. Αθήνα: Λεούσης-Μαστρογιάννης.
- ↑ Ποσταντζής, Δημήτρης (1977). Πολυώνυμα: Μεθοδολογία. Αθήνα.
- ↑ Ρούτσης, Νίκος (1972). Πολυώνυμα. Αθήνα.