Θεώρημα Πικάρ–Λίντελεφ

Στα μαθηματικά, στη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων, το θεώρημα Πικάρ-Λίντελεφ, θεώρημα ύπαρξης του Πικάρ ή θεώρημα Κωσύ-Λίπσιτς είναι ένα σημαντικό θεώρημα για την ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων για τις εξισώσεις πρώτης τάξης με αρχικές συνθήκες.

Το θεώρημα πήρε το όνομά του από τους Εμίλ Πικάρ, Ερνστ Λίντελεφ, Ρούντολφ Λίπτσιτς και Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ.

Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών

$y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0}.$

Ας υποθέσουμε ότι  f  είναι ομοιόμορφα Λίπσιτς συνεχής στο y (εννοώντας ότι η σταθερά Λίπσιτς μπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητη του t) και συνεχής στο t. Τότε, για κάποια τιμή ε > 0, υπάρχει μια μοναδική λύση y(t) στο πρόβλημα αρχικών τιμών στο διάστημα $[t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]$.

Η απόδειξη στηρίζεται στον μετασχηματισμό της διαφορικής εξίσωσης, και την εφαρμογή της θεωρίας σταθερού σημείου. Ολοκληρώνοντας και τις δύο πλευρές, κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση, πρέπει επίσης να ικανοποιεί και την ολοκληρωτική εξίσωση

$y(t)-y(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\,ds.$

Μια απλή απόδειξη της ύπαρξης της λύσης προκύπτει από διαδοχικές προσεγγίσεις. Στο πλαίσιο αυτό, η μέθοδος είναι γνωστή ως προσέγγιση Πικάρ.

Θέτουμε

$\varphi _{0}(t)=y_{0}$

και

$\varphi _{k+1}(t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi _{k}(s))\,ds.$

Στη συνέχεια, μπορεί να αποδειχθεί, χρησιμοποιώντας το θεώρημα σταθερού σημείου του Μπάναχ, ότι η ακολουθία των "προσεγγίσεων Πικάρ" φ_k συγκλίνει και αυτό το όριο είναι μια λύση στο πρόβλημα. Μια εφαρμογή της του λήμματος του Γκρένβαλ στο |φ(t) − ψ(t)|, όπου φ και ψ είναι δύο λύσεις, δείχνει ότι φ(t) = ψ(t), αποδεικνύοντας έτσι την παγκόσμια μοναδικότητα (η τοπική μοναδικότητα είναι μια συνέπεια της μοναδικότητας του σταθερού σημείου του Μπάναχ).

Διαισθητική κατανόηση του θεωρήματος

Η ιδέα πίσω από το θεώρημα είναι η εξής. Μια διαφορική εξίσωση μπορεί να έχει ένα σταθερό σημείο. Για παράδειγμα, για την εξίσωση dy/dt = ay η σταθερή λύση είναι η  y(t) = 0, η οποία προκύπτει από την αρχική συνθήκη y(0) = 0. Ξεκινώντας με μια άλλη αρχική συνθήκη y(0) = y₀ ≠ 0, η σταθερή λύση επιτυγχάνεται μετά από άπειρο χρόνο και ως εκ τούτου η μοναδικότητα της λύσης είναι εγγυημένη. Ωστόσο, εάν η σταθερή λύση επιτυγχάνεται μετά από ένα πεπερασμένο χρόνο, η μοναδικότητα παραβιάζεται. Αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα για την εξίσωση dy/dt = ay^2/3, η λύση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη y(0) = 0 μπορεί να είναι είτε y(t) = 0 είτε η

$y(t)={\begin{cases}\left({\tfrac {at}{3}}\right)^{3}&t<0\\0&t\geq 0\end{cases}}$

Μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι η συνάρτηση  f (y) = y^2/3 έχει άπειρη κλίση στο y = 0 και, επομένως, δεν είναι Lipschitz συνεχής. Η συνθήκη συνέχειας Lipschitz αποκλείει τις διαφορικές εξισώσεις αυτών τύπων.

Αναλυτική απόδειξη

Έστω

$C_{a,b}={\overline {I_{a}(t_{0})}}\times {\overline {B_{b}(y_{0})}}$

όπου:

${\begin{aligned}{\overline {I_{a}(t_{0})}}&=[t_{0}-a,t_{0}+a]\\{\overline {B_{b}(y_{0})}}&=[y_{0}-b,y_{0}+b].\end{aligned}}$

Αυτός είναι ένας συμπαγής κύλινδρος, όπου η  f  είναι ορισμένη. Έστω

$M=\sup _{C_{a,b}}\|f\|,$

αυτό είναι η μέγιστη κλίση της συνάρτησης στο μέτρο. Τέλος, έστω L να είναι η σταθερά Λίπσιτς της  f  με σεβασμό στην δεύτερη μεταβλητή.

Θα συνεχίσουμε εφαρμώζοντας το θεώρημα σταθερού σημείου του Μπάναχ χρησιμοποιώντας τη μετρική στο ${\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ που επάγεται από την ομοιόμορφη νόρμα

$\|\varphi \|_{\infty }=\sup _{t\in I_{a}}|\varphi (t)|.$

Ορίζουμε έναν τελεστή ανάμεσα σε δύο συναρτησιακούς χώρους συνεχών συναρτήσεων, τον τελεστή του Πικάρ, ως εξής:

$\Gamma :{\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))\longrightarrow {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$

που ορίζεται ως:

$\Gamma \varphi (t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds.$

Επιβάλλουμε ότι είναι καλά καθορισμένος, με άλλα λόγια, ότι η εικόνα του πρέπει να είναι μια συνάρτηση που παίρνει τιμές σε $B_{b}(y_{0})$ ή αντίστοιχα, ότι η νόρμα της

$\Gamma \varphi (t)-y_{0}$

είναι μικρότερη από το b, το οποίο μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως

$\|\varphi _{1}\|_{\infty }\leq b.$

$\left\|\Gamma \varphi (t)-y_{0}\right\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds\right\|\leq \int _{t_{0}}^{t}\left\|f(s,\varphi (s))\right\|ds\leq M\left|t-t_{0}\right|\leq Ma\leq b$

Το τελευταίο βήμα είναι η επιβολή, οπότε θα επιβάλουμε την υποχρέωση a < b/M.

Τώρα, ας επιβάλλουμε τον τελεστή του Πικάρ να είναι μια συστολή κάτω από ορισμένες υποθέσεις πάνω από το α που αργότερα θα είμαστε σε θέση να παραλείψουμε.

Δοθέντων δύο συναρτήσεων  $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$, προκειμένου να εφαρμόσουμε  το θεώρημα σταθερού σημείου του Μπάναχ θέλουμε

$\left\|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right\|_{\infty }\leq q\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty },$

για κάποιο q < 1. Οπότε, έστω t να είναι τέτοιο ώστε

$\|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\|_{\infty }=\left\|\left(\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right)(t)\right\|$

στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της Γ

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\left(\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right)(t)\right\|&=\left\|\int _{t_{0}}^{t}\left(f(s,\varphi _{1}(s))-f(s,\varphi _{2}(s))\right)ds\right\|\\&\leq \int _{t_{0}}^{t}\left\|f\left(s,\varphi _{1}(s)\right)-f\left(s,\varphi _{2}(s)\right)\right\|ds\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}\left\|\varphi _{1}(s)-\varphi _{2}(s)\right\|ds&&f{\text{ is Lipschitz-continuous}}\\&\leq La\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty }\end{aligned}}}$

Αυτή είναι μια συστολή αν a < 1/L.

Διαπιστώνουμε ότι ο τελεστής του Πικάρ είναι μια συστολή στους χώρους Μπάναχ με την μετρική που επάγεται από την ομοιόμορφη νόρμα. Αυτό μας επιτρέπει να εφαρμόσουμε το θεώρημα σταθερού σημείου του Μπάναχ για να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι ο τελεστής έχει ένα μοναδικό σταθερό σημείο. Ειδικότερα, υπάρχει μια μοναδική συνάρτηση

$\varphi \in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$

τέτοια ώστε Γφ = φ. Η συνάρτηση αυτή είναι η μοναδική λύση του προβλήματος αρχικών τιμών, που ισχύει για το διάστημα Ia όπου το α ικανοποιεί την προϋπόθεση

$a<\min\{b/M,1/L\}.$

Βελτιστοποίηση της λύσης του διαστήματος

Παρ ' όλα αυτά, υπάρχει ένα πόρισμα του θεωρήματος σταθερού σημείου του Μπάναχ που αναφέρει ότι αν ένας τελεστής Tⁿ είναι μια συστολή για κάποιο n στο N τότε ο T έχει ένα μοναδικό σταθερό σημείο. Εμείς θα προσπαθήσουμε να το εφαρμόσουμε αυτό το πόρισμα στον τελεστή του Πικάρ. Αλλά πριν το κάνουμε αυτό, ας θυμηθούμε ένα λήμμα το οποίο θα είναι πολύ χρήσιμο για να εφαρμόσουμε το παραπάνω πόρισμα.

Το λήμμα: ${\displaystyle }$

$\left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}-\Gamma ^{m}\varphi _{2}\right\|\leq {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|$

Απόδειξη. Θα το αποδείξουμε με επαγωγή. Για τη βάση της επαγωγής (m = 1) το έχουμε ήδη δει παραπάνω. Ας υποθέσουμε ότι η ανισότητα ισχύει για m − 1, τότε έχουμε:

${\begin{aligned}\left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}-\Gamma ^{m}\varphi _{2}\right\|&=\left\|\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{1}-\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{2}\right\|\\&\leq \left|\int _{t_{0}}^{t}\left\|f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)\right)-f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right)\right\|ds\right|\\&\leq L\left|\int _{t_{0}}^{t}\left\|\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)-\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right\|ds\right|\\&\leq {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|.\end{aligned}}$

Ως εκ τούτου, λαμβάνοντας υπόψη αυτή την ανισότητα μπορούμε να διασφαλίσουμε ότι για κάποιο m αρκετά μεγάλο,

${\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}<1,$

και ως εκ τούτου, η Γ^m θα είναι μία συστολή. Έτσι, από το προηγούμενο πόρισμα η Γ θα έχει μοναδικό σταθερό σημείο. Έτσι, τελικά, είμαστε σε θέση να βελτιστοποιήσουμε το διάστημα της λύσης παίρνοντας ως  α = min{a, b/M}.

Η σημασία αυτού του αποτελέσματος είναι ότι το διάστημα ορισμού της λύσης τελικά δεν εξαρτάται από τη σταθερά Λίπσιτς του πεδίου, αλλά στην ουσία εξαρτάται από το διάστημα ορισμού του πεδίου και είναι η μέγιστη απόλυτη τιμή της.

Άλλα θεωρήματα ύπαρξης

Το θεώρημα Πικάρ–Λίντελεφ δείχνει ότι η λύση υπάρχει και είναι μοναδική. Το θεώρημα ύπαρξης του Πεάνο δείχνει μόνο την ύπαρξη, δεν δείχνει τη μοναδικότητα, αλλά υποθέτει μόνο ότι η  f  είναι συνεχής στο y, αντί για Λίπσιτς συνεχής. Για παράδειγμα, η δεξιά πλευρά της εξίσωσης, dy/dt = y^1/3 με αρχική συνθήκη y(0) = 0 είναι συνεχής αλλά δεν είναι Λίπσιτς συνεχής. Πράγματι, αντί να είναι μοναδική, αυτή η εξίσωση έχει τρεις λύσεις:

$y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}.$

Ακόμη πιο γενικό είναι το θεώρημα ύπαρξης του Καραθεοδωρή, το οποίο αποδεικνύει την ύπαρξη (με μια πιο γενική έννοια) έχοντας λάβει υπόψιν ασθενέστερες συνθήκες για την  f . Είναι επίσης ενδιαφέρον να επισημανθεί ότι, παρόλο που οι προϋποθέσεις αυτές είναι μόνο επαρκείς, υπάρχουν επίσης αναγκαίες και επαρκείς συνθήκες για να είναι η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών μοναδική, όπως το θεώρημα του Οκαμούρα.