Θεώρημα του Ντε Γκουά

Τετράεδρο με γωνία ορθής γωνίας στο O

Στα μαθηματικά, το θεώρημα του Ντε Γκουά είναι ένα τρισδιάστατο ανάλογο του Πυθαγόρειου θεωρήματος που πήρε το όνομά του από τον Ζαν Πολ ντε Γκουά ντε Μαλβς. Δηλώνει ότι αν ένα τετράεδρο έχει μια ορθή γωνία (όπως η γωνία ενός κύβου), το τετράγωνο του εμβαδού της όψης που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία είναι το άθροισμα των τετραγώνων των εμβαδών των άλλων τριών όψεων:

$A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}$

Το θεώρημα του Ντε Γκούα μπορεί να εφαρμοστεί για την απόδειξη μιας ειδικής περίπτωσης του τύπου του Ήρωνα.

Γενικεύσεις

Το Πυθαγόρειο θεώρημα και το θεώρημα του Ντε Γκούα είναι ειδικές περιπτώσεις (n = 2, 3) ενός γενικού θεωρήματος για n-μονοπλέγματα με ορθή γωνία, που αποδείχθηκε από τους Π. Σ. Ντοντσιάν και Χ. Σ. Μ. Κόξετερ το 1935. Αυτό, με τη σειρά του, είναι ειδική περίπτωση ενός ακόμα πιο γενικού θεωρήματος των Ντόναλντ Ρ. Κόναντ και Γουίλιαμ Α. Μπάιερ (1974) , το οποίο μπορεί να διατυπωθεί ως εξής.

Έστω U ένα μετρήσιμο υποσύνολο ενός k-διάστατου αφινικού υποχώρου του $\mathbb {R} ^{n}$ (οπότε $k\leq n$). Για κάθε υποσύνολο $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ με ακριβώς k στοιχεία, έστω $U_{I}$ η ορθογώνια προβολή του U στο γραμμικό εύρος του $e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}$, όπου $I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ και $e_{1},\ldots ,e_{n}$ είναι η τυπική βάση για το $\mathbb {R} ^{n}$. Τότε

$\operatorname {vol} _{k}^{2}(U)=\sum _{I}\operatorname {vol} _{k}^{2}(U_{I}),$

όπου $\operatorname {vol} _{k}(U)$ είναι ο k-διάστατος όγκος του U και το άθροισμα είναι πάνω σε όλα τα υποσύνολα $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ με ακριβώς k στοιχεία.

Το θεώρημα του Ντε Γκούα και η γενίκευσή του (παραπάνω) για n-συμβολικά με γωνίες ορθής γωνίας αντιστοιχούν στην ειδική περίπτωση όπου k = n−1 και U είναι ένα (n-1)-συμβολικό στο $\mathbb {R} ^{n}$ με κορυφές στους άξονες συντεταγμένων. Παραδείγματος χάριν, έστω ότι n' = 3, k = 2 και U είναι το τρίγωνο $\triangle ABC$ in $\mathbb {R} ^{3}$ με κορυφές A, B και C που βρίσκονται στους άξονες $x_{1}$-, $x_{2}$- και $x_{3}$- αντίστοιχα. Τα υποσύνολα $I$ του $\{1,2,3\}$ με ακριβώς 2 στοιχεία είναι τα $\{2,3\}$, $\{1,3\}$ και $\{1,2\}$. Εξ ορισμού, $U_{\{2,3\}}$ είναι η ορθογώνια προβολή του $U=\triangle ABC$ στο $x_{2}x_{3}$-επίπεδο, οπότε $U_{\{2,3\}}$ είναι το τρίγωνο $\triangle OBC$ με κορυφές O, B και C, όπου O είναι η αρχή του $\mathbb {R} ^{3}$. Ομοίως, $U_{\{1,3\}}=\triangle AOC$ και $U_{\{1,2\}}=\triangle ABO$, οπότε το θεώρημα Κονάντ-Μπέγιερ δηλώνει

$\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle ABC)=\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle OBC)+\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle AOC)+\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle ABO),$

το οποίο είναι το θεώρημα του Ντε Γκούα.

Η γενίκευση του θεωρήματος του Ντε Γκουά σε n-μονοπλέγματα με γωνιές ορθής γωνίας μπορεί επίσης να προκύψει ως ειδική περίπτωση από τον τύπο του καθοριστικού παράγοντα Κέιλι-Μένγκερ.

Το θεώρημα του Ντε Γκουά μπορεί επίσης να γενικευτεί σε αυθαίρετα τετράεδρα και σε πυραμίδες .

Ιστορία

Ο Ζαν Πολ ντε Γκουα ντε Μαλβ (1713-1785) δημοσίευσε το θεώρημα το 1783, αλλά περίπου την ίδια εποχή δημοσιεύτηκε και μια ελαφρώς πιο γενική εκδοχή του από έναν άλλο Γάλλο μαθηματικό, τον Σαρλ ντε Τινσό ντ' Αμοντάνς (1746-1818). Ωστόσο, το θεώρημα ήταν επίσης γνωστό πολύ νωρίτερα στον Γιόχαν Φολχάμπερ (1580-1635) και στον Ρενέ Ντεκάρτ (1596-1650).

Δημοσιεύσεις

• Scott, J. A. (Νοεμβρίου 2007). «91.68 Bridging parallelograms of equal area». The Mathematical Gazette 91 (522): 530–533. doi:10.1017/S0025557200182257. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/530. 
• Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Μαΐου 2022. Ανακτήθηκε στις 17 Απριλίου 2022. 
• Berlinski, David (2011). A Tour of the Calculus. Knopf Doubleday Publishing Group. ISBN 9780307789730. 
• Alsina, C.· Nelsen, R. B. (2015). A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. Mathematical Association of America. ISBN 978-1-61444-216-5. 
• Bottema, O. (1969). «A Theorem of Bobillier on the Tetrahedron». Elemente der Mathematik 24: 6–10. 
• Coxeter, H. S. M. (1948). Regular Polytopes. Methuen and Co. 

• Alican, Necip Fikri (2012). Rethinking Plato: A Cartesian Quest for the Real Plato. Amsterdam and New York: Editions Rodopi B.V. ISBN 978-90-420-3537-9. 
• Allen, R. E. (1965). Studies in Plato's Metaphysics II. Taylor & Francis. ISBN 0-7100-3626-4
• Ambuel, David (2007). Image and Paradigm in Plato's Sophist. Parmenides Publishing. ISBN 978-1-930972-04-9
• Bell, John L. (1999). The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0. 
• Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Μτφρ. Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) έκδοση). Dover.  On-line text at archive.org
• Heath, Sir Thomas (1921). «The 'Theorem of Pythagoras'». A History of Greek Mathematics (2 Vols.) (Dover Publications, Inc. (1981) έκδοση). Clarendon Press, Oxford. σελίδες 144 ff. ISBN 0-486-24073-8. 
• Libeskind, Shlomo (2008). Euclidean and transformational geometry: a deductive inquiry. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-4366-6.  This high-school geometry text covers many of the topics in this WP article.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ομογενές πολυώνυμο
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Πυραμίδα (γεωμετρία)
• Διαβήτης (όργανο)
• 2-διάνυσμα
• Ελλειψογράφος του Αρχιμήδη
• Ήρων ο Αλεξανδρεύς
• Τύπος του Ήρωνα
• Τετράεδρο
• Κύβος
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
• Mechanical and Aerospace Engineering, ICMAE2011
• Geometry by Its History
• A System of Plane and Spherical Trigonometry: To which is Added a Treatise...
• Mathematical Methods for Engineering Applications: ICMASE 2022, Bucharest - De Gua's generalization.....
• History of Mathematics: A Supplement -De Gua's theorem, page 214..
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• Sergio A. Alvarez: Note on an n-dimensional Pythagorean theorem, Carnegie Mellon University.
• Hull, Lewis; Perfect, Hazel; Heading, J. (1978). «62.23 Pythagoras in Higher Dimensions: Three Approaches». Mathematical Gazette 62 (421): 206–211. doi:10.2307/3616695. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1978-10_62_421/page/n64. 
• Weisstein, Eric W., "de Gua's theorem" από το MathWorld.