Θεώρημα του Χούρβιτς

Στη θεωρία αριθμών, το Θεώρημα του Χούρβιτς (που πήρε τό όνομά του από τον Άντολφ Χούρβιτς) είναι μία διοφαντική προσέγγιση. Το θεώρημα λέει ότι για κάθε άρρητο αριθμό $\scriptstyle \xi$ υπάρχουν άπειροι ρητοί αριθμοί m, n, τέτοιοι ώστε

$\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}$

Η υπόθεση ότι ο $\xi$ είναι άρρητος αριθμός δεν μπορεί να αγνοηθεί. Επιπλέον, η σταθερά $\scriptstyle {\sqrt {5}}$ είναι η καλύτερη δυνατή, διότι αν αντικαταστήσουμε τη σταθερά $\scriptstyle {\sqrt {5}}$ από οποιοδήποτε αριθμό $\scriptstyle A>{\sqrt {5}}$ και ορίσουμε με τη χρυσή τομή $\scriptstyle \xi =(1+{\sqrt {5}})/2$, τότε υπάρχουν μεν πολλοί αλλά πεπερασμένοι ρητοί αριθμοί m, n, έτσι ώστε να ισχύει ο τύπος παραπάνω.

Βιβλιογραφία

• Hurwitz, Adolf (1891). «Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche (On the approximation of irrational numbers by rational numbers)» (στα γερμανικά). Mathematische Annalen 39 (2): 279–284. doi:10.1007/BF01206656. 
• G. H. Hardy· Edward M. Wright· Roger Heath-Brown· Joseph Silverman· Andrew Wiles (2008). «Θεώρημα 193». An introduction to the Theory of Numbers (στα Αγγλικά) (6η έκδοση). Oxford science publications. σελ. 209. ISBN 0-19-921986-9. 
• LeVeque, William Judson (1956) (στα αγγλικά). Topics in number theory. Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass.. ISBN 978-0201042252