Θεώρημα van Schooten
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/el/thumb/b/b9/Van_schooten_theorem.svg/220px-Van_schooten_theorem.svg.png)
Στην γεωμετρία, το θεώρημα van Schooten λέει ότι για οποιοδήποτε σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισόπλευρου τριγώνου , ισχύει ότι η μεγαλύτερη απόσταση από τις κορυφές του ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων του από τις άλλες δύο.[1][2]
Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Frans van Schooten.
Αποδείξεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Απόδειξη με θεώρημα Πτολεμαίου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο έχουμε ότι
Αφού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο έχουμε ότι . Από την προηγούμενη σχέση, καταλήγουμε ότι
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/el/thumb/4/45/Van_schooten_proof.svg/220px-Van_schooten_proof.svg.png)
Απόδειξη με βασική γεωμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Θεωρούμε το σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου ώστε . Τότε, ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επομένως, το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Αντίστοιχα, και . Επομένως, το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Αφού και , έχουμε ότι ως χορδές στις οποίες βαίνουν σε ίσες εγγεγραμμένες γωνίες. Άρα και .
Καταλήγουμε ότι
Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- ↑ Viglione, Raymond (Απριλίου 2016). «Proof Without Words: van Schooten's Theorem». Mathematics Magazine 89 (2): 132–132. doi: .
- ↑ Στεργίου, Χαράλαμπος (2011). Γεωμετρία για διαγωνισμούς: Τρίγωνα, τετράπλευρα, κύκλος, εγγράψιμα. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 9789604930357.