Ισοεπιφάνεια

Εφαρμογή του marching cubes για την αναπαράσταση της ισοεπιφάνειας που σχηματίζεται από τα διάφορα υλικά που αποτελούν το κρανίο και την εγκεφαλική ύλη

Ισοεπιφάνεια στροβιλότητας που έλκεται από πτερύγιο έλικας. Ας σημειωθεί ότι πρόκειται για μια ισοεπιφάνεια που απεικονίζεται με ένα χρωματικό τεμάχιο.

Μια ισοεπιφάνεια είναι ένα τρισδιάστατο ανάλογο μιας ισογραμμής. Είναι μια επιφάνεια που αντιπροσωπεύει σημεία σταθερής τιμής (π.χ. πίεση, θερμοκρασία, ταχύτητα, πυκνότητα) μέσα σε έναν όγκο χώρου- με άλλα λόγια, είναι ένα σύνολο επιπέδων μιας συνεχούς συνάρτησης της οποίας το πεδίο είναι ο τρισδιάστατος χώρος.

Ο όρος ισόγραμμη χρησιμοποιείται επίσης μερικές φορές για πεδία με περισσότερες από 3 διαστάσεις .

Ορισμος

Η ισοεπιφάνεια $S_{c}$ για ένα Βαθμωτό πεδίο $\varphi :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ στην ισοεπιφάνεια $c\in \mathbb {R}$ είναι η ποσότητα $S_{c}:=\{\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}|\varphi (\mathbf {v} )=c\}$.

Οι τρισδιάστατες ισοεπιφάνειες προσεγγίζονται συνήθως από ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων δεδομένων ${\mathcal {P}}\subset \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R}$ (πλέγμα), επί παραδείγματι με τη χρήση τριγωνικών πλεγμάτων.

Εφαρμογές

Οι ισοεπιφάνειες απεικονίζονται συνήθως με τη χρήση γραφικά υπολογιστών και χρησιμοποιούνται ως μέθοδοι απεικόνισης δεδομένων στην υπολογιστική ρευστοδυναμική (CFD), επιτρέποντας στους μηχανικούς να μελετήσουν τα χαρακτηριστικά μιας ροής ρευστού (αερίου ή υγρού) γύρω από αντικείμενα, όπως π.χ. τα φτερά αεροσκαφών. Μια ισοεπιφάνεια μπορεί να αναπαριστά ένα μεμονωμένο κρουστικό κύμα σε υπερηχητική πτήση, ή να δημιουργηθούν πολλές ισοεπιφάνειες που δείχνουν μια ακολουθία τιμών πίεσης στον αέρα που ρέει γύρω από ένα φτερό. Οι ισοεπιφάνειες τείνουν να είναι μια δημοφιλής μορφή απεικόνισης για σύνολα δεδομένων όγκου, δεδομένου ότι μπορούν να αποδοθούν από ένα απλό πολυγωνικό μοντέλο, το οποίο μπορεί να σχεδιαστεί στην οθόνη πολύ γρήγορα.

Στην ιατρική απεικόνιση, οι ισοεπιφάνειες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναπαράσταση περιοχών συγκεκριμένης πυκνότητας σε μια τρισδιάστατη αξονική τομογραφία, επιτρέποντας την απεικόνιση εσωτερικών οργάνων, οστών ή άλλων δομών.

Πολυάριθμοι άλλοι κλάδοι που ενδιαφέρονται για τρισδιάστατα δεδομένα χρησιμοποιούν συχνά ισοεπιφάνειες για να λάβουν πληροφορίες σχετικά με τη φαρμακολογία, τη χημεία, τη γεωφυσική και τη μετεωρολογία.

Αλγόριθμοι υλοποίησης

Marching cubes

Ο αλγόριθμος marching cubes δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά στα πρακτικά του SIGGRAPH το 1987 από τους Λόρενσεν και Κλάιν, και δημιουργεί μια επιφάνεια τέμνοντας τις ακμές ενός πλέγματος όγκου δεδομένων με το περίγραμμα του όγκου. Όπου η επιφάνεια τέμνει την ακμή, ο αλγόριθμος δημιουργεί μια κορυφή. Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα διαφορετικών τριγώνων ανάλογα με διαφορετικά μοτίβα τομής ακμών ο αλγόριθμος μπορεί να δημιουργήσει μια επιφάνεια. Αυτός ο αλγόριθμος έχει λύσεις για υλοποίηση τόσο στην CPU όσο και στην GPU.

Ασυμπτωτικός αποφασιστής

Ο ασυμπτωτικός αλγόριθμος decider αναπτύχθηκε ως επέκταση του αλγορίθμου marching cubes, προκειμένου να επιλυθεί η πιθανότητα ασάφειας σε αυτόν.

Βαδίζοντας τετράεδρα

ΟΟ αλγόριθμος marching tetrahedra (πορεία τετραέδρων) αναπτύχθηκε ως επέκταση του αλγορίθμου marching cubes προκειμένου να επιλυθεί μια ασάφεια στον εν λόγω αλγόριθμο και να δημιουργηθεί επιφάνεια εξόδου υψηλότερης ποιότητας.

Δίκτυα επιφάνειας

Ο αλγόριθμος Surface Nets τοποθετεί μια τέμνουσα κορυφή στη μέση ενός voxel όγκου αντί στις άκρες, οδηγώντας σε μια πιο ομαλή επιφάνεια εξόδου.

Δυϊκό περίγραμμα

Ο αλγόριθμος dual contouring δημοσιεύθηκε για πρώτη φορά στα πρακτικά του SIGGRAPH το 2002 από τους Τζου και Λοσάσο, και αναπτύχθηκε ως επέκταση τόσο των επιφανειακών δικτύων όσο και των κύβων βάδισης. Διατηρεί μια διπλή κορυφή εντός του voxel αλλά όχι πλέον στο κέντρο. Το δυϊκό περίγραμμα αξιοποιεί τη θέση και την κανονική του σημείου όπου η επιφάνεια διασχίζει τις ακμές ενός voxel για να παρεμβάλει τη θέση της δυϊκής κορυφής εντός του voxel. Αυτό έχει το πλεονέκτημα της διατήρησης αιχμηρών ή λείων επιφανειών, όπου τα επιφανειακά δίκτυα συχνά φαίνονται μπλοκαρισμένα ή λανθασμένα λοξά. Η διπλή διαμόρφωση περιγράμματος χρησιμοποιεί συχνά τη δημιουργία επιφανειών που αξιοποιεί τα οκτάρια ως βελτιστοποίηση για να προσαρμόσει τον αριθμό των τριγώνων στην έξοδο στην πολυπλοκότητα της επιφάνειας.

Παραδείγματα

Παραδείγματα ισοεπιφανειών είναι οι «μεταμπάλες» ή τα « αντικείμενα blobby» που χρησιμοποιούνται στην τρισδιάστατη απεικόνιση. Ένας πιο γενικός τρόπος κατασκευής μιας ισοεπιφάνειας είναι η χρήση της αναπαράστασης συναρτήσεων.

Φωτοθήκη

• 
  Επιφάνεια με σταθερή πίεση.
• 
  Επιφάνεια με πληροφορίες σκίασης που μεταβάλλονται σε αυτήν για να μεταφέρουν το ύψος της στήλης βροχής.
• 
  Πολλαπλές επιφάνειες σταθερής θερμοκρασίας, με προσθήκη κανονικών διανυσμάτων σε κάθε επιφάνεια.
• 
  Επιφάνειες σταθερής έντασης, με χρωματική σκίαση που συνδέεται με την ένταση για να επιτρέπει τη μετάδοση πληροφοριών σχετικά με τα περιγράμματα των πεδίων μεταβαλλόμενης έντασης.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Βαθμωτό πεδίο
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Τρισδιάστατος χώρος
• Κοχλίας του Αρχιμήδη
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραφικά υπολογιστών

Βιβλιογραφία

• Wenger, Rephael (24 Ιουνίου 2013). Isosurfaces: Geometry, Topology, and Algorithms. CRC Press. ISBN 978-1-4665-7102-0. 
• Troccaz, Jocelyne (5 Μαρτίου 1997). CVRMed-MRCAS '97: First Joint Conference Computer Vision, Virtual Reality and Robotics in Medicine and Medical Robotics and Computer-Assisted Surgery, Grenoble, France, March 19-22, 1997 : Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-62734-0. 
• Miguet, Serge· Montanvert, Annick (6 Νοεμβρίου 1996). Discrete Geometry for Computer Imagery: 6th International Workshop, DGCI'96, Lyon, France, November 13 - 15, 1996, Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-62005-1. 
• Valero, Mateo (2000). High Performance Computing: Third International Symposium, ISHPC 2000 Tokyo, Japan, October 16-18, 2000 Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-41128-4. 
• Vince, John· Earnshaw, Rae (6 Δεκεμβρίου 2012). Advances in Modelling, Animation and Rendering. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4471-0103-1. 
• Jones, Huw (6 Δεκεμβρίου 2012). Computer Graphics through Key Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4471-0297-7. 
• Abello, James M.· Vitter, Jeffrey Scott (1 Ιανουαρίου 1999). External Memory Algorithms: DIMACS Workshop External Memory and Visualization, May 20-22, 1998. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7093-8. 
• Boyle, Richard· Parvin, Bahram (17 Νοεμβρίου 2006). Advances in Visual Computing: Second International Symposium, ISVC 2006, Lake Tahoe, NV, USA, November 6-8, 2006, Proceedings, Part II. Springer. ISBN 978-3-540-48627-5. 
• Hansen, Charles D.· Johnson, Chris R. (30 Αυγούστου 2011). Visualization Handbook. Elsevier. ISBN 978-0-08-048164-7. 
• Lee, Huei-Huang (2021). Programming and Engineering Computing with MATLAB 2021. SDC Publications. ISBN 978-1-63057-491-8. 

Παραπομπές

• do Carmo, Manfredo P. (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces (1st έκδοση), Prentice-Hall, ISBN 978-0132125895 
• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlin, doi:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3 
• Beauville, Arnaud (1996), Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts, 34 (2nd έκδοση), Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511623936, ISBN 978-0-521-49510-3 
• Edge, W. L. (1931), The Theory of Ruled Surfaces, Cambridge University Press, https://archive.org/details/theoryofruledsur029537mbp . Review: Bulletin of the American Mathematical Society 37 (1931), 791-793,
• Fuchs, D.; Tabachnikov, Serge (2007), «16.5 There are no non-planar triply ruled surfaces», Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, American Mathematical Society, σελ. 228, ISBN 9780821843161, https://books.google.com/books?id=IiG9AwAAQBAJ&pg=PA228 .
• Li, Ta-tsien, επιμ.. (2011), Problems and Solutions in Mathematics, 3103 (2nd έκδοση), World Scientific Publishing Company, ISBN 9789810234805, https://books.google.com/books?id=lrMOjbLhR2IC&pg=PA156 .
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd έκδοση), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 .
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0