Κρυσταλλική συνομολογία

Στα Μαθηματικά, η κρυσταλλική συνομολογία είναι μια θεωρία συνομολογίας του Βέιλ για σχήματα Χ πάνω από ένα βασικό πεδίο k. Οι τιμές της Hⁿ(X/W) είναι ενότητες πάνω από τον δακτύλιο W των διανυσμάτων Γουίτ πάνω από το k. Εισήχθη από τον Αλεξάντερ Γκρότεντικ (Alexander Grothendieck (1966, 1968)) και αναπτύχθηκε από τον Πιερ Μπερτελό (Pierre Berthelot (1974)).

Η κρυσταλλική συνομολογία είναι εν μέρει εμπνευσμένη από την p-adic απόδειξη του Ντουόρκ (1960) για μέρος των εικασιών Βέιλ και είναι στενά συνδεδεμένη με την αλγεβρική εκδοχή της συνομολογίας ντε Ραμ που εισήχθη από τον Γκροτέντικ (1963). Σε γενικές γραμμές, η κρυσταλλική συνομολογία μιας ποικιλίας X σε χαρακτηριστική p είναι η συνομολογία ντε Ραμ μιας ομαλής άνωσής της X σε χαρακτηριστική 0, ενώ η συνομολογία ντε Ραμ της X είναι η κρυσταλλική συνομολογία μειωμένη mod p (αφού ληφθούν υπόψη οι ανώτεροι Τορς).

Η ιδέα της κρυσταλλικής συνομολογίας, σε γενικές γραμμές, είναι η αντικατάσταση των ανοικτών συνόλων Ζαρίτσκι ενός σχήματος από απειροελάχιστες πυκνώσεις των ανοικτών συνόλων Ζαρίτσκι με διαιρεμένες δομές ισχύος. Το κίνητρο γι' αυτό είναι ότι μπορεί στη συνέχεια να υπολογιστεί λαμβάνοντας μια τοπική ανύψωση ενός σχήματος από το χαρακτηριστικό p στο χαρακτηριστικό 0 και χρησιμοποιώντας μια κατάλληλη εκδοχή της αλγεβρικής συνομολογίας ντε Ραμ.

Η κρυσταλλική συνομολογία λειτουργεί καλά μόνο για ομαλά άριστα σχήματα. Η άκαμπτη συνομολογία την επεκτείνει σε γενικότερα σχήματα.

Εφαρμογές

Για σχήματα με χαρακτηριστικό p, η θεωρία της κρυσταλλικής συνομολογίας μπορεί να χειριστεί ζητήματα σχετικά με την p-στρέψη σε ομάδες συνομολογίας καλύτερα από την p-adic étale συνομολογία. Αυτό την καθιστά ένα φυσικό υπόβαθρο για μεγάλο μέρος της εργασίας σχετικά με τις p-adic L-συναρτήσεις.

Η κρυσταλλική συνομολογία, από την άποψη της θεωρίας αριθμών, καλύπτει ένα κενό στις πληροφορίες της l-adic συνομολογίας, που εμφανίζεται ακριβώς εκεί όπου υπάρχουν "ίσοι χαρακτηριστικοί πρώτοι". Κανονικά η διατήρηση της θεωρίας διακλαδώσεων, η κρυσταλλική συνομολογία μετατρέπει αυτή την κατάσταση σε θεωρία μονάδων Ντιεντονέ, δίνοντας ένα σημαντικό εργαλείο για την αντιμετώπιση αριθμητικών προβλημάτων. Εικασίες με μεγάλη εμβέλεια για τη μετατροπή αυτής της κατάστασης σε επίσημες δηλώσεις διατυπώθηκαν από τον Ζαν-Μαρκ Φοντέν, η επίλυση των οποίων ονομάζεται p-adic από τη θεωρία Χοτζ.

Συντελεστές

Για μια ποικιλία X πάνω σε ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο χαρακτηριστικού p >> 0, οι $\ell$-adic ομάδες συνομολογίας για $\ell$ οποιονδήποτε πρώτο αριθμό εκτός του p δίνουν ικανοποιητικές ομάδες συνομολογίας της X, με συντελεστές στον δακτύλιο $\mathbf {Z} _{\ell }$ των $\ell$-adic ακέραιων αριθμών. Δεν είναι γενικά δυνατόν να βρεθούν παρόμοιες ομάδες συνομολογίας με συντελεστές στο Q_p (ή Z_p, ή Q, ή Z) που να έχουν λογικές ιδιότητες.

Ο κλασικός λόγος (που οφείλεται στον Σερ) είναι ότι αν η X είναι μια υπεριδιάζουσα ελλειπτική καμπύλη, τότε ο δακτύλιος ενδομορφισμού της είναι μια μέγιστη τάξη σε μια τετραγωνική άλγεβρα B πάνω στο Q με διακλαδώσεις στο p και στο ∞. Αν η X είχε μια ομάδα συνομολογίας πάνω από το Q_p της αναμενόμενης διάστασης 2, τότε (η αντίθετη άλγεβρα της) B θα ενεργούσε σε αυτόν τον 2-διάστατο χώρο πάνω από το Q_p, πράγμα αδύνατο αφού η B είναι διακλαδισμένη στο p.

Η θεωρία της κρυσταλλικής συνομολογίας του Γκρότεντικ παρακάμπτει αυτό το εμπόδιο επειδή παράγει ενότητες πάνω από το δακτύλιο των διανυσμάτων Γουιτ του βασικού πεδίου. Έτσι, αν το θεμελιώδες πεδίο είναι ένα αλγεβρικό κλείσιμο του F_p, οι τιμές του είναι ενότητες πάνω από την p-adic ολοκλήρωση της μέγιστης μη ενοποιημένης επέκτασης του Z_p, ενός πολύ μεγαλύτερου δακτυλίου που περιέχει nth ρίζες της μονάδας για όλα τα n που δεν διαιρούνται με το p, αντί για το Z_p.

Κίνητρα

Μια ιδέα για τον ορισμό μιας θεωρίας συνομολογίας κατά Βέιλ μιας ποικιλίας Χ πάνω σε ένα πεδίο k χαρακτηριστικού p είναι να την "ανυψώσουμε" σε μια ποικιλία Χ* πάνω στο δακτύλιο των διανυσμάτων Witt του k (που δίνει πίσω την Χ κατά την αναγωγή mod p), και στη συνέχεια να πάρουμε τη συνομολογία ντε Ραμ αυτής της άνωσης. Το πρόβλημα είναι ότι δεν είναι καθόλου προφανές ότι αυτή η συνομολογία είναι ανεξάρτητη από την επιλογή της άνωσης.

Η ιδέα της κρυσταλλικής συνομολογίας σε χαρακτηριστική 0 είναι να βρεθεί ένας άμεσος ορισμός μιας θεωρίας συνομολογίας ως η συνομολογία των σταθερών δεσμών σε μια κατάλληλη θέση

Inf(X)

πάνω από το X, που ονομάζεται απειροελάχιστη περιοχή και στη συνέχεια δείχνουμε ότι είναι η ίδια με τη συνομολογία ντε Ραμ οποιασδήποτε άνωσης.

Ο τόπος Inf(X) είναι μια κατηγορία της οποίας τα αντικείμενα μπορούν να θεωρηθούν ως ένα είδος γενίκευσης των συμβατικών ανοικτών συνόλων του X. Σε χαρακτηριστική 0 τα αντικείμενά του είναι οι απειροελάχιστες πυκνώσεις U→T των ανοικτών υποσυνόλων Ζαρίτσκι U του X. Αυτό σημαίνει ότι το U είναι το κλειστό υποσύστημα ενός σχήματος T που ορίζεται από μια μηδενική δέσμη ιδανικών στο T- για παράδειγμα, Spec(k)→ Spec(k[x]/(x²))

Ο Γκροτέντικ έδειξε ότι για ομαλά σχήματα X πάνω από το C, η συνομολογία της δέσμης O_X στο Inf(X) είναι η ίδια με τη συνήθη (ομαλή ή αλγεβρική) συνομολογία ντε Ραμ.

Κρυσταλλική συνομολογία

Σε χαρακτηριστική p το πιο προφανές ανάλογο της κρυσταλλικής θέσης που ορίστηκε παραπάνω σε χαρακτηριστική 0 δεν λειτουργεί. Ο λόγος είναι περίπου ότι για να αποδείξει κανείς την ακρίβεια της πολλαπλότητας ντε Ραμ, χρειάζεται κάποιου είδους λήμμα Πουανκαρέ, η απόδειξη του οποίου με τη σειρά της χρησιμοποιεί την ολοκλήρωση, και η ολοκλήρωση απαιτεί διάφορες διαιρεμένες δυνάμεις, οι οποίες υπάρχουν στη χαρακτηριστική 0 αλλά όχι πάντα στη χαρακτηριστική p. Ο Γκρότεντικ έλυσε αυτό το πρόβλημα ορίζοντας τα αντικείμενα της κρυσταλλικής θέσης του Χ ως περίπου απειροελάχιστες πυκνώσεις των ανοικτών υποσυνόλων Ζαρίτσκι του Χ, μαζί με μια δομή διαιρεμένων δυνάμεων που δίνει τις απαραίτητες διαιρεμένες δυνάμεις.

Θα δουλεύουμε πάνω στον δακτύλιο W_n = W/pⁿW των διανυσμάτων Γουιτ μήκους n πάνω σε ένα άριστο πεδίο k χαρακτηριστικής p>0. Παραδείγματος χάριν, το k θα μπορούσε να είναι το πεπερασμένο πεδίο τάξης p, και ο W_n είναι τότε ο δακτύλιος Z/pⁿZ. (Γενικότερα μπορεί κανείς να εργαστεί πάνω σε ένα βασικό σύστημα S που έχει μια σταθερή δέσμη ιδεωδών I με διαιρεμένη δομή δύναμης). Αν το X είναι ένα σχήμα πάνω από το k, τότε η κρυσταλλική θέση του X σε σχέση με το W_n, που συμβολίζεται Cris(X/W_n), έχει ως αντικείμενα τα ζεύγη U→T που αποτελούνται από μια κλειστή εμβάπτιση ενός ανοικτού υποσυνόλου U του X κατά Ζαρίτσκι σε κάποιο W_n-σχήμα T που ορίζεται από μια σφαίρα ιδεωδών J, μαζί με μια δομή διαιρεμένης δύναμης στο J συμβατή με εκείνη στο W_n.

Η κρυσταλλική συνομολογία ενός σχήματος X πάνω από k ορίζεται ως το αντίστροφο όριο

$H^{i}(X/W)=\varprojlim H^{i}(X/W_{n})$

όπου

$H^{i}(X/W_{n})=H^{i}(\operatorname {Cris} (X/W_{n}),O)$

είναι η συνομολογία του κρυσταλλικού τόπου του X/W_n με τιμές στη δέσμη δακτυλίων O := O_Wn.

Ένα βασικό σημείο της θεωρίας είναι ότι η κρυσταλλική συνομολογία ενός ομαλού σχήματος X πάνω από το k μπορεί συχνά να υπολογιστεί σε όρους της αλγεβρικής συνομολογίας ντε Ραμ μιας κατάλληλης και ομαλής άνωσης του X σε ένα σχήμα Z πάνω από το W. Υπάρχει ένας κανονικός ισομορφισμός

$H^{i}(X/W)=H_{DR}^{i}(Z/W)\quad (=H^{i}(Z,\Omega _{Z/W}^{*})=\varprojlim H^{i}(Z,\Omega _{Z/W_{n}}^{*}))$

Υπάρχει ένας κανονικός ισομορφισμός

της κρυσταλλικής συνομολογίας του X με τη συνομολογία ντε Ραμ του Z πάνω στο τυπικό σχήμα του W (ένα αντίστροφο όριο της υπερσυνομολογίας των μιγμάτων των διαφορικών μορφών). Αντίστροφα, η συνομολογία ντε Ραμ της Χ μπορεί να ανακτηθεί ως η αναγωγή mod p της κρυσταλλικής συνομολογίας της (αφού ληφθούν υπόψη οι υψηλότερες Τορ).

Κρύσταλλοι

Αν το X είναι ένα σχήμα πάνω στο S, τότε η δέσμη O_X/S ορίζεται ως εξής: O_X/S(T) = δακτύλιος συντεταγμένων του T, όπου γράφουμε T ως συντομογραφία για ένα αντικείμενο U → T του Cris(X/S).

Ένας κρύσταλλος στην περιοχή Cris(X/S) είναι μια δέσμη F των ενοτήτων O_X/S που είναι άκαμπτη με την ακόλουθη έννοια:

για κάθε χάρτη f μεταξύ των αντικειμένων T, T′ του Cris(X/S), ο φυσικός χάρτης από το f^*F(T) στο F(T′) είναι ισομορφισμός.

Αυτό είναι παρόμοιο με τον ορισμό ενός οιονεί συνεκτικού υμένα μονάδων στην τοπολογία Ζαρίτσκι.

Ένα παράδειγμα κρυστάλλου είναι η δέσμη O_X/S.

Ο όρος κρύσταλλος που συνδέθηκε με τη θεωρία, όπως εξηγείται στην επιστολή του Γκρόγτεντικ προς τον Τέιτ (1966), ήταν μια μεταφορά που εμπνεύστηκε από ορισμένες ιδιότητες των αλγεβρικών διαφορικών εξισώσεων. Αυτές είχαν παίξει ρόλο στις p-adic θεωρίες συνομολογίας (πρόδρομοι της κρυσταλλικής θεωρίας, που εισήχθησαν σε διάφορες μορφές από τους Ντουόρκ, Μόνσκι, Γουάσνιτζερ, Λούμπκιν και Κατζ), ιδιαίτερα στο έργο του Ντουόρκ. Τέτοιες διαφορικές εξισώσεις μπορούν να διατυπωθούν αρκετά εύκολα μέσω των αλγεβρικών συνδέσεων Κοσζούλ, αλλά στην p-adic θεωρία το ανάλογο της αναλυτικής συνέχειας είναι πιο μυστηριώδες (δεδομένου ότι οι p-adic δίσκοι τείνουν να είναι ασύζευκτοι παρά να συμπίπτουν). Με διάταγμα, ένας κρύσταλλος θα είχε την "ακαμψία" και τη "διάδοση" που είναι αξιοσημείωτες στην περίπτωση της αναλυτικής συνέχειας των μιγαδικών αναλυτικών συναρτήσεων. (Πρβλ. επίσης τους άκαμπτους αναλυτικούς χώρους που εισήγαγε ο Τζον Τέιτ, στη δεκαετία του 1960, όταν αυτά τα θέματα συζητούνταν ενεργά).

Δημοσιεύσεις

• Berthelot, Pierre (1974), Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 407, 407, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0068636, ISBN 978-3-540-06852-5 
• Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur (1978), Notes on crystalline cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08218-9 
• Chambert-Loir, Antoine (1998), «Cohomologie cristalline: un survol», Expositiones Mathematicae 16 (4): 333–382, ISSN 0723-0869, http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir/publications 
• Dwork, Bernard (1960), «On the rationality of the zeta function of an algebraic variety», American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 82 (3): 631–648, doi:10.2307/2372974, ISSN 0002-9327 
• Grothendieck, Alexander (1966), «On the de Rham cohomology of algebraic varieties», Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques 29 (29): 95–103, doi:10.1007/BF02684807, ISSN 0073-8301, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__95_0  (letter to Atiyah, Oct. 14 1963)
• Grothendieck, Alexander (1966), Letter to J. Tate, https://agrothendieck.github.io/divers/LGT66scan.pdf .
• Grothendieck, Alexander (1968), «Crystals and the de Rham cohomology of schemes», στο: Giraud, Jean; Grothendieck, Alexander; Kleiman, Steven L. και άλλοι, επιμ., Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, Advanced studies in pure mathematics, 3, Amsterdam: North-Holland, σελ. 306–358, https://agrothendieck.github.io/divers/CRCSscan.pdf 
• Illusie, Luc (1975), «Report on crystalline cohomology», Algebraic geometry, Proc. Sympos. Pure Math., 29, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., σελ. 459–478 
• Illusie, Luc (1976), «Cohomologie cristalline (d'après P. Berthelot)», Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453-470), Exp. No. 456, Lecture Notes in Math., 514, Berlin, New York: Springer-Verlag, σελ. 53–60, http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=SB_1974-1975__17__53_0, ανακτήθηκε στις 2007-09-20 
• Illusie, Luc (1994), «Crystalline cohomology», Motives (Seattle, WA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math., 55, Providence, RI: Amer. Math. Soc., σελ. 43–70 
• Kedlaya, Kiran S. (2009), «p-adic cohomology», στο: Abramovich, Dan; Bertram, A.; Katzarkov, L. και άλλοι, επιμ., Algebraic geometry---Seattle 2005. Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., 80, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., σελ. 667–684, ISBN 978-0-8218-4703-9 

Δείτε επίσης

• Algebraic Geometry
• Αλγεβρική ποικιλία
• Δομοστοιχειωτή μορφή

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Revisiting derived crystalline cohomology
• Crystalline Cohomology of Superschemes
• Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Analytic space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• El'kin, A.G. (2001) [1994], "Analytic set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• p-adic etale cohomology and crystalline cohomology for open varieties Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo