Κυρτότητα (αλγεβρική γεωμετρία)
Στην αλγεβρική γεωμετρία, η κυρτότητα είναι μια περιοριστική τεχνική συνθήκη για τις αλγεβρικές ποικιλίες που εισήχθη αρχικά για την ανάλυση των χώρων του Κοντσέβιτς στην κβαντική συνομολογία.[1]:§1[2][3] Αυτοί οι χώροι moduli είναι λείες τροχιές (orbifolds[4]) όποτε ο χώρος-στόχος είναι κυρτός. Μια ποικιλία καλείται κυρτή αν η επαναφορά της εφαπτόμενης δέσμης σε μια σταθερή ρητή καμπύλη έχει σφαιρικά παραγόμενα τμήματα.[2] Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι η καμπύλη είναι ελεύθερη να κινηθεί γύρω από την απειροελάχιστα χωρίς κανένα εμπόδιο. Η κυρτότητα γενικά διατυπώνεται ως η τεχνική συνθήκη
αφού το θεώρημα εξάλειψης του Σερ εγγυάται ότι αυτή η σφαίρα έχει καθολικά παραγόμενα τμήματα. Διαισθητικά αυτό σημαίνει ότι σε μια γειτονιά ενός σημείου, με ένα διανυσματικό σώμα σε αυτή τη γειτονιά, η τοπική παράλληλη μεταφορά μπορεί να επεκταθεί πλήρως. Αυτό γενικεύει την ιδέα της κυρτότητας στην Ευκλείδεια γεωμετρία, όπου δοθέντων δύο σημείων σε ένα κυρτό σύνολο , όλα τα σημεία περιέχονται σε αυτό το σύνολο. Υπάρχει ένα διανυσματικό πεδίο σε μια γειτονιά του που μεταφέρει το σε κάθε σημείο . Δεδομένου ότι η διανυσματική δέσμη του είναι τετριμμένη, άρα σφαιρικά παραγόμενη, υπάρχει ένα διανυσματικό σώμα στο τέτοιο ώστε η ισότητα να ισχύει στον περιορισμό.
Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Υπάρχουν πολλά παραδείγματα κυρτών χώρων, όπως τα ακόλουθα.
Χώροι με τετριμμένες ρητές καμπύλες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Αν οι μόνοι χάρτες από μια ρητή καμπύλη προς τον είναι χάρτες σταθερών, τότε η επαναφορά του εφαπτόμενου δεματίου είναι το ελέυθερο δεμάτιο όπου . Αυτά τα δεμάτια έχουν τετριμμένη μη μηδενική συνομολογία και επομένως είναι πάντα κυρτά. Ειδικότερα, οι Αβελιανές ποικιλίες έχουν αυτή την ιδιότητα, αφού η ποικιλία Αλμπανέζ μιας ρητής καμπύλης είναι τετριμμένη, και κάθε χάρτης από μια ποικιλία σε μια Αβελιανή ποικιλία παραγοντοποιεί την Αλμπανέζ.[5]
Προβολικοί χώροι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Οι προβολικοί χώροι είναι παραδείγματα ομογενών χώρων, αλλά η κυρτότητα τους μπορεί επίσης να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας έναν υπολογισμό συνομολογίας του δεματίου. Υπενθυμίζουμε ότι η ακολουθία Όιλερ συσχετίζει τον εφαπτόμενο χώρο μέσω μιας σύντομης ακριβούς ακολουθίας
Εάν χρειαστεί να εξετάσουμε μόνο ενσωματώσεις βαθμού , υπάρχει μια σύντομη ακριβής ακολουθία
με αποτέλεσμα μια μακρά ακριβή ακολουθία
δεδομένου ότι οι δύο πρώτοι -όροι είναι μηδενικοί, πράγμα που προκύπτει από το ότι το είναι γένους , και ο δεύτερος υπολογισμός προκύπτει από το θεώρημα Ρίμαν-Ροχ, έχουμε κυρτότητα του . Τότε, οποιοσδήποτε κομβικός χάρτης μπορεί να αναχθεί σε αυτή την περίπτωση θεωρώντας μία από τις συνιστώσες του .
Ομογενείς χώροι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Μια άλλη μεγάλη κατηγορία παραδειγμάτων είναι οι ομογενείς χώροι όπου είναι μια παραβολική υποομάδα του . Αυτοί έχουν σφαιρικά παραγόμενα τμήματα αφού η δρα μεταβατικά στο , δηλαδή μπορεί να μεταφέρει μια βάση στο σε μια βάση σε οποιοδήποτε άλλο σημείο , άρα έχει σφαιρικά παραγόμενα τμήματα.[3] Τότε, η επαναφορά παράγεται πάντα σε συνολικό επίπεδο. Αυτή η κατηγορία παραδειγμάτων περιλαμβάνει τα Γκρασμανικά, τους προβολικούς χώρους και τις ποικιλίες σημαίας[6].
Χώροι παραγωγής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Επίσης, τα γινόμενα κυρτών χώρων εξακολουθούν να είναι κυρτά. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα του Κανέθ στη συνεκτική συνολολογία των δεματίων.
Προβολικές δέσμες πάνω σε καμπύλες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Μια ακόμη μη τετριμμένη κατηγορία παραδειγμάτων κυρτών ποικιλιών είναι οι προβολικές δέσμες για μια αλγεβρική διανυσματική δέσμη πάνω από μια ομαλή αλγεβρική καμπύλη [3]pg 6.
Εφαρμογές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Υπάρχουν πολλά χρήσιμα τεχνικά πλεονεκτήματα από την εξέταση των χώρων moduli των σταθερών καμπυλών που αντιστοιχούν σε κυρτούς χώρους. Δηλαδή, οι χώροι moduli του Κοντσέβιτς έχουν ωραίες γεωμετρικές και παραμορφο-θεωρητικές ιδιότητες.
Θεωρία παραμόρφωσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Οι παραμορφώσεις του στο σχήμα Χίλμπερτ των γραφημάτων έχει εφαπτόμενο χώρο
όπου είναι το σημείο του σχήματος που αναπαριστά τον χάρτη. Η κυρτότητα του δίνει τον παρακάτω τύπο διάστασης. Επιπλέον, η κυρτότητα συνεπάγεται ότι όλες οι απειροελάχιστες παραμορφώσεις είναι ανεμπόδιστες.[7]
Δομή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Οι χώροι αυτοί είναι κανονικές προβολικές ποικιλίες καθαρής διάστασης
οι οποίες είναι τοπικά το πηλίκο μιας ομαλής ποικιλίας από μια πεπερασμένη ομάδα. Επίσης, η ανοικτή υποποικιλία που παραμετροποιεί τους μη-ιδιάζοντες χάρτες είναι ένας λείος λεπτός χώρος moduli. Συγκεκριμένα, αυτό συνεπάγεται ότι οι στοίβες είναι orbifolds (orbit "τροχιά" -manifold "πολλαπλότητα")[8].
Οριακοί διαιρέτες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Οι χώροι moduli έχουν ωραίους συνοριακούς διαιρέτες για κυρτές ποικιλίες που δίνονται από
για μια διαμέριση του και το σημείο που βρίσκεται κατά μήκος της τομής δύο ορθολογικών καμπυλών .
Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Field Arithmetic
- Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
- Τοπολογία
- Έμι Νέτερ
- Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας
- Τοπολογία Ζαρίσκι
Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
- Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
- Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
- Algebraic Geometry II: Cohomology of Schemes: With Examples and Exercises
- Κυρτότητα περιορισμένου προσανατολισμού
- Αναλυτικές όψεις της κυρτότητας
- Topics in Cohomological Studies of Algebraic Varieties: Impanga Lecture Notes
- p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties
Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
- Artin, Michael (1972). Alexandre Grothendieck· Jean-Louis Verdier, επιμ. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 2. Lecture notes in mathematics (στα French). 270. Berlin; New York: Springer-Verlag. σελίδες iv+418. doi:10.1007/BFb0061319. ISBN 978-3-540-06012-3.
- Alexandrov, Pavel S. (1981), «In Memory of Emmy Noether», στο: Brewer, James W; Smith, Martha K, επιμ., Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, σελ. 99–111, ISBN 0-8247-1550-0.
- Blue, Meredith (2001), Galois Theory and Noether's Problem, Thirty-Fourth Annual Meeting: Florida Section of The Mathematical Association of America, http://mcc1.mccfl.edu/fl_maa/proceedings/2001/blue.pdf, ανακτήθηκε στις 2013-06-10.
- Byers, Nina (2–4 December 1996), «E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws», Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether, IL: Bar-Ilan University, http://arxiv.org/abs/physics/9807044.
Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- ↑ 1,0 1,1 Kontsevich, Maxim (1995). «The Moduli Space of Curves». Στο: Dijkgraaf, Robbert H.; Faber, Carel F.; van der Geer, Gerard B. M., επιμ (στα αγγλικά). Progress in Mathematics. 129. Boston: Birkhäuser, pp. 335–368. doi: . ISBN 978-1-4612-8714-8.
- ↑ 2,0 2,1 Kontsevich, Maxim· Manin, Yuri. «Gromov-Witten Classes, Quantum Cohomology, and Enumerative Geometry» (PDF). σελ. 9. Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 28 Νοεμβρίου 2009.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Fulton, W.; Pandharipande, R. (1997-05-17). «Notes on stable maps and quantum cohomology». arXiv:alg-geom/9608011.
- ↑ «Introduction to Orbifolds».
- ↑ «ag.algebraic geometry - Is there any rational curve on an Abelian variety?». MathOverflow. Ανακτήθηκε στις 28 Φεβρουαρίου 2020.
- ↑ Anderson, David, επιμ. (2023). Grassmannians and flag varieties. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. σελίδες 40–61. ISBN 978-1-009-34999-4.
- ↑ Maulik, Davesh. «Lectures on Donaldson-Thomas Theory» (PDF). σελ. 2. Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 1 Μαρτίου 2020.
- ↑ Adem, Alejandro· Leida, Johann (31 Μαΐου 2007). Orbifolds and Stringy Topology. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-46448-2.