Κύκλος (αλγεβρική γεωμετρία)

Στην αλγεβρική γεωμετρία, ένας κύκλος σε μια αλγεβρική ποικιλία V είναι ένας τυπικός γραμμικός συνδυασμός υποποικιλιών της V. Πρόκειται για το μέρος της αλγεβρικής τοπολογίας της V που είναι άμεσα προσβάσιμο με αλγεβρικές μεθόδους. Η κατανόηση των αλγεβρικών κύκλων σε μια ποικιλία μπορεί να δώσει βαθιά γνώση της δομής της ποικιλίας.

Η πιο τετριμμένη περίπτωση είναι οι κύκλοι συνδιαστάσεων μηδέν, οι οποίοι είναι γραμμικοί συνδυασμοί των μη αναγώγιμων συνιστωσών της ποικιλίας. Η πρώτη μη τετριμμένη περίπτωση είναι οι υποποικιλίες με συνδιάσταση ένα, που ονομάζονται διαιρέτες. Οι πρώτες εργασίες για τους αλγεβρικούς κύκλους επικεντρώθηκαν στην περίπτωση των διαιρετών, ιδιαίτερα των διαιρετών σε αλγεβρικές καμπύλες. Οι διαιρέτες σε αλγεβρικές καμπύλες είναι τυπικοί γραμμικοί συνδυασμοί σημείων της καμπύλης. Οι κλασικές εργασίες στις αλγεβρικές καμπύλες τις συνέδεαν με εσωτερικά δεδομένα, όπως τα κανονικά διαφορικά σε μια συμπαγή επιφάνεια Ρίμαν, και με εξωγενείς ιδιότητες, όπως οι ενσωματώσεις της καμπύλης στον προβολικό χώρο.

Ενώ οι διαιρέτες σε ποικιλίες μεγαλύτερης διάστασης εξακολουθούν να παίζουν σημαντικό ρόλο στον καθορισμό της δομής της ποικιλίας, σε ποικιλίες διάστασης δύο ή περισσότερων υπάρχουν επίσης κύκλοι μεγαλύτερης συνδιάστασης που πρέπει να εξεταστούν. Η συμπεριφορά αυτών των κύκλων είναι εντυπωσιακά διαφορετική από εκείνη των διαιρετών. Παραδείγματος χάριν, κάθε καμπύλη έχει μια σταθερά N τέτοια ώστε κάθε διαιρέτης μηδενικού βαθμού να είναι γραμμικά ισοδύναμος με μια διαφορά δύο αποτελεσματικών διαιρετών βαθμού το πολύ N. Ο Ντέιβιντ Μάμφορντ απέδειξε ότι, σε μια ομαλή πλήρη μιγαδική αλγεβρική επιφάνεια S με θετικό γεωμετρικό γένος, η ανάλογη δήλωση για την ομάδα $\operatorname {CH} ^{2}(S)$ των κλάσεων ρητής ισοδυναμίας των κύκλων συνδιαστάσεων δύο στην S είναι ψευδής. Η υπόθεση ότι το γεωμετρικό γένος είναι θετικό σημαίνει ουσιαστικά (με το θεώρημα Λεφσέτζ για τις (1,1)-κλάσεις) ότι η ομάδα συνομολογίας $H^{2}(S)$ περιέχει υπερβατική πληροφορία, και στην πραγματικότητα το θεώρημα του Μάμφορντ συνεπάγεται ότι, παρά το γεγονός ότι η $\operatorname {CH} ^{2}(S)$ έχει έναν καθαρά αλγεβρικό ορισμό, μοιράζεται υπερβατική πληροφορία με την $H^{2}(S)$. Το θεώρημα του Μάμφορντ από τότε γενικεύτηκε σε μεγάλο βαθμό.

Η συμπεριφορά των αλγεβρικών κύκλων συγκαταλέγεται μεταξύ των σημαντικότερων ανοικτών ερωτημάτων στα σύγχρονα μαθηματικά. Η εικασία του Χοτζ, ένα από τα Προβλήματα του Βραβείου Χιλιετίας του Ινστιτούτου Μαθηματικών Clay (Κλέι), προβλέπει ότι η τοπολογία μιας σύνθετης αλγεβρικής ποικιλίας επιβάλλει την ύπαρξη ορισμένων αλγεβρικών κύκλων. Η εικασία Tate κάνει μια παρόμοια πρόβλεψη για την étale συνομολογία. Οι τυπικές εικασίες του Αλεξάντερ Γκρότεντικ για τους αλγεβρικούς κύκλους δίνουν αρκετούς κύκλους για να κατασκευάσει την κατηγορία των μοτίβων του και θα σήμαινε ότι οι αλγεβρικοί κύκλοι παίζουν ζωτικό ρόλο σε οποιαδήποτε θεωρία συνομολογίας αλγεβρικών ποικιλιών. Αντίθετα, ο Αλεξάντερ Μπίλινσον απέδειξε ότι η ύπαρξη μιας κατηγορίας μοτίβων συνεπάγεται τις τυπικές εικασίες. Επιπλέον, οι κύκλοι συνδέονται με την αλγεβρική Κ-θεωρία μέσω του τύπου του Μπλοχ (Bloch), ο οποίος εκφράζει ομάδες κύκλων modulo ρητής ισοδυναμίας ως την συνομολογία των δεματίων της Κ-θεωρίας.

Ορισμός

Έστω X ένα σχήμα που είναι πεπερασμένου τύπου πάνω σε ένα πεδίο k. Ένας αλγεβρικός r-κύκλος στο X είναι ένας τυπικός γραμμικός συνδυασμός

$\sum n_{i}[V_{i}]$

των r-διάστατων κλειστών ολοκληρωτικών k-υποσχημάτων του X. Ο συντελεστής n_i είναι η πολλαπλότητα του V_i. Το σύνολο όλων των r-κύκλων είναι η ελεύθερη αβελιανή ομάδα

$Z_{r}X=\bigoplus _{V\subseteq X}\mathbf {Z} \cdot [V],$

όπου το άθροισμα είναι πάνω σε κλειστά ολοκληρωτικά υποσχήματα V του X. Οι ομάδες κύκλων για μεταβαλλόμενο r μαζί σχηματίζουν μια ομάδα

$Z_{*}X=\bigoplus _{r}Z_{r}X.$

Αυτή ονομάζεται ομάδα αλγεβρικών κύκλων, και κάθε στοιχείο ονομάζεται αλγεβρικός κύκλος. Ένας κύκλος είναι αποτελεσματικός ή θετικός αν όλοι οι συντελεστές του είναι μη αρνητικοί.

Τα κλειστά ολοκληρωτικά υποσχήματα του Χ βρίσκονται σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τα θεωρητικά σχήματα του Χ υπό τον χάρτη που, προς τη μία κατεύθυνση, οδηγεί κάθε υποσύστημα στο γενικό του σημείο και προς την άλλη κατεύθυνση, οδηγεί κάθε σημείο στο μοναδικό μειωμένο υποσύστημα που υποστηρίζεται στο κλείσιμο του σημείου. Συνεπώς, το $Z_{*}X$ μπορεί επίσης να περιγραφεί ως η ελεύθερη αβελιανή ομάδα στα σημεία του X.

Ένας κύκλος $\alpha$ είναι ρητά ισοδύναμος με το μηδέν, γράφοντας $\alpha \sim 0$, αν υπάρχει πεπερασμένος αριθμός $(r+1)$-διάστατων υποπολλαπλών $W_{i}$ του $X$ και μη μηδενικές ρητές συναρτήσεις $r_{i}\in k(W_{i})^{\times }$ τέτοιες ώστε $\alpha =\sum [\operatorname {div} _{W_{i}}(r_{i})]$, όπου $\operatorname {div} _{W_{i}}$ συμβολίζει τον διαιρέτη μιας ρητής συνάρτησης στο W_i. Οι κύκλοι που είναι ρητά ισοδύναμοι με το μηδέν είναι μια υποομάδα $Z_{r}(X)_{\text{rat}}\subseteq Z_{r}(X)$, και η ομάδα των r-κύκλων modulo ρητής ισοδυναμίας είναι το πηλίκο

$A_{r}(X)=Z_{r}(X)/Z_{r}(X)_{\text{rat}}.$

Η ομάδα αυτή συμβολίζεται επίσης με $\operatorname {CH} _{r}(X)$. Στοιχεία της ομάδας

$A_{*}(X)=\bigoplus _{r}A_{r}(X)$

ονομάζονται κλάσεις κύκλων στο Χ. Οι κλάσεις κύκλων λέγονται αποτελεσματικές ή θετικές αν μπορούν να αναπαρασταθούν από έναν αποτελεσματικό κύκλο.

Εάν η Χ είναι ομαλή, προβολική και καθαρής διάστασης Ν, οι παραπάνω ομάδες μερικές φορές αναπροσαρμόζονται συνομολογικά ως εξής

$Z^{N-r}X=Z_{r}X$

και

$A^{N-r}X=A_{r}X.$

Σε αυτή την περίπτωση, το $A^{*}X$ ονομάζεται δακτύλιος Chow του X επειδή έχει μια πράξη πολλαπλασιασμού που δίνεται από το γινόμενο τομής.

Υπάρχουν διάφορες παραλλαγές του παραπάνω ορισμού. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τους ακέραιους αριθμούς με έναν άλλο δακτύλιο ως δακτύλιο συντελεστή. Η περίπτωση των ρητών συντελεστών χρησιμοποιείται ευρέως. Η εργασία με οικογένειες κύκλων πάνω σε μια βάση, ή η χρήση κύκλων σε αριθμητικές καταστάσεις, απαιτεί μια σχετική ρύθμιση. Έστω $\phi \colon X\to S$, όπου S είναι ένα κανονικό Ναιτεριανό σχήμα. Ένας r-κύκλος είναι ένα τυπικό άθροισμα κλειστών ολοκληρωμένων υποσχημάτων του X των οποίων η σχετική διάσταση είναι r, εδώ η σχετική διάσταση του $Y\subseteq X$ είναι ο βαθμός υπερβατικότητας του $k(Y)$ πάνω στο $k({\overline {\phi (Y)}})$ μείον την συνδιάσταση του ${\overline {\phi (Y)}}$ στο S.

Η λογική ισοδυναμία μπορεί επίσης να αντικατασταθεί από διάφορες άλλες πιο χονδροειδείς σχέσεις ισοδυναμίας σε αλγεβρικούς κύκλους. Άλλες σχέσεις ισοδυναμίας που παρουσιάζουν ενδιαφέρον περιλαμβάνουν την αλγεβρική ισοδυναμία, την ομολογική ισοδυναμία για μια σταθερή θεωρία συνομολογίας (όπως η ιδιόμορφη συνομολογία ή η étale συνομολογία), την αριθμητική ισοδυναμία, καθώς και όλους τους παραπάνω modulo torsion (συντελεστές στρέψεως). Αυτές οι σχέσεις ισοδυναμίας έχουν (εν μέρει υποθετικές) εφαρμογές στη θεωρία των μοτίβων.

Επίπεδη επαναφορά και σωστή προώθηση

Υπάρχει μια συμμεταβλητή και μια αντιμεταβλητή λειτουργικότητα της ομάδας των αλγεβρικών κύκλων. Έστω f : X → X' ένας χάρτης ποικιλιών.

Αν η f είναι επίπεδη κάποιας σταθερής σχετικής διάστασης (δηλαδή όλες οι ίνες έχουν την ίδια διάσταση), μπορούμε να ορίσουμε για κάθε υποδιαίρεση Y' ⊂ X':

$f^{*}([Y'])=[f^{-1}(Y')]\,\!$

το οποίο υποτίθεται ότι έχει την ίδια συνδιάσταση με το Y′.

Αντιστρόφως, αν το f είναι κατάλληλο, για το Y ένα υποσύνολο του X το προωθημένο ορίζεται ως εξής

$f_{*}([Y])=n[f(Y)]\,\!$

όπου n είναι ο βαθμός της επέκτασης των πεδίων συναρτήσεων [k(Y) : k(f(Y))] αν ο περιορισμός της f στο Y είναι πεπερασμένος και 0 διαφορετικά.

Λόγω γραμμικότητας, οι ορισμοί αυτοί επεκτείνονται σε ομομορφισμούς αβελιανών ομάδων

$f^{*}\colon Z^{k}(X')\to Z^{k}(X)\quad {\text{and}}\quad f_{*}\colon Z_{k}(X)\to Z_{k}(X')\,\!$

(το τελευταίο λόγω της σύμβασης) είναι ομομορφισμοί αβελιανών ομάδων. Βλέπε δακτύλιος Chow για μια συζήτηση της λειτουργικότητας που σχετίζεται με τη δομή δακτυλίου.

Δημοσιεύσεις

• Fulton, William (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Third series. A Series of Modern Surveys in Mathematics, 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98549-7 
• Gordon, B. Brent; Lewis, James D.; Müller-Stach, Stefan και άλλοι., επιμ.. (2000), The arithmetic and geometry of algebraic cycles: proceedings of the CRM summer school, June 7–19, 1998, Banff, Alberta, Canada, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1954-8 

Δείτε επίσης

• Algebraic Geometry
• Ζαν-Πιερ Σερ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Worksheet on Affine Noetherian Schemes
• Algebraic Geometry
• Topology

Σημειώσεις

• H. Matsumura, Commutative algebra 1980 (ISBN 0-8053-7026-9).
• Nagata, Masayoshi (1956), «On the chain problem of prime ideals», Nagoya Math. J. 10: 51–64, doi:10.1017/S0027763000000076, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157