Μέθοδος δεύτερης ροπής

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η μέθοδος της δεύτερης ροπής αναφέρεται σε τεχνική απόδειξης ότι μία τυχαία μεταβλητή $X$ είναι μη-μηδενική με θετική πιθανότητα, δηλαδή $\Pr(X\neq 0)>0$, με την χρήση της ροπής δεύτερης τάξης, δηλαδή την $\operatorname {E} (X^{2})$ ή διακύμανση $\operatorname {Var} (X)$. Συνήθως αναφέρεται στην χρήση της εξής ανισότητας για κάθε ακέραια τυχαία μεταβλητή $X$ με $\operatorname {E} (X)\neq 0$,

$\Pr(X=0)\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{(\operatorname {E} (X))^{2}}}.$

Για μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή $X$, εμφανίζεται και με την μορφή

$\Pr(X>0)\geq {\frac {(\operatorname {E} (X))^{2}}{\operatorname {E} (X^{2})}}.$

Αποδείξεις

1η Μορφή

Για την τυχαία μεταβλητή $X$ με διακύμανση $\operatorname {Var} (X)<\infty$, η ανισότητα Τσεμπισιόφ δίνει για $a=\operatorname {E} (X)$

$\Pr(|X-\operatorname {E} (X)|\geq \operatorname {E} (X))\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{(\operatorname {E} (X))^{2}}}.$

Όταν $X=0$ έπεται ότι $|X-\operatorname {E} (X)|\geq \operatorname {E} (X)$. Συνεπώς,

$\Pr(X=0)\leq \Pr(|X-\operatorname {E} (X)|\geq \operatorname {E} (X))\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{(\operatorname {E} (X))^{2}}}.$

2η Μορφή

Η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για δύο τυχαίες μεταβλητές $A$ και $B$, ισχύει ότι

$(\operatorname {E} (AB))^{2}\leq \operatorname {E} (A^{2})\operatorname {E} (B^{2}).$

Για την ζητούμενη ανισότητα, θεωρούμε την δείκτρια τυχαία μεταβλητή $Z=\mathbf {1} _{X>0}$, για την οποία ισχύει ότι $\operatorname {E} (Z)=\Pr(X>0)$ και $Z^{2}=Z$ από τις ιδιότητες των δείκτριων τυχαίων μεταβλητών. Επίσης, ισχύει ότι

$Z\cdot X=X$,

καθώς η $X$ είναι μη-αρνητική και αν $X=0$ τότε και $Z=0$ (άρα $0=ZX=X$), ενώ διαφορετικά $Z=1$ (άρα $ZX=X$). Συνεπώς χρησιμοποιώντας την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς,

$(\operatorname {E} (X))^{2}=(\operatorname {E} (ZX))^{2}\leq \operatorname {E} (Z^{2})\cdot \operatorname {E} (X^{2})=\operatorname {E} (Z)\cdot \operatorname {E} (X^{2})=\Pr(X>0)\cdot \operatorname {E} (X^{2}).$

Αναδιατάσσοντας τα δύο μέλη της ανισότητας, προκύπτει το ζητούμενο

$\Pr(X>0)\geq {\frac {(\operatorname {E} (X))^{2}}{\operatorname {E} (X^{2})}}.$