Μερική παράγωγος

Γραφική παράσταση της εξίσωσης xx+xy+yy=z με y=1

Στα μαθηματικά, η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι η παράγωγός της ως προς μία από αυτές τις μεταβλητές, με τις υπόλοιπες να παραμένουν σταθερές (σε αντίθεση με την ολική παράγωγο, στην οποία όλες οι μεταβλητές επιτρέπεται να μεταβάλλονται). Οι μερικές παράγωγοι χρησιμοποιούνται στο διανυσματικό λογισμό και στη διαφορική γεωμετρία.

Η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης $f(x,y,\dots )$ ως προς τη μεταβλητή $x$ συμβολίζεται ποικιλοτρόπως με

$f_{x}$, $f'_{x}$, $\partial _{x}f$, $\ D_{x}f$, $D_{1}f$, ${\frac {\partial }{\partial x}}f$, or ${\frac {\partial f}{\partial x}}$.

Μπορεί να θεωρηθεί ως ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης στην κατεύθυνση $x$.

Μερικές φορές, για $z=f(x,y,\ldots )$, η μερική παράγωγος της $z$ ως προς την $x$ συμβολίζεται ως ${\tfrac {\partial z}{\partial x}}.$ Δεδομένου ότι μια μερική παράγωγος έχει γενικά τα ίδια ορίσματα με την αρχική συνάρτηση, η λειτουργική της εξάρτηση μερικές φορές υποδηλώνεται ρητά από τον συμβολισμό, όπως στο:

$f'_{x}(x,y,\ldots ),{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots ).$

Το σύμβολο που χρησιμοποιείται για να δηλώσει τις μερικές παραγώγους είναι το ∂. Μια από τις πρώτες γνωστές χρήσεις αυτού του συμβόλου στα μαθηματικά είναι από τον Μαρκήσιο ντε Κοντορσέ από το 1770, ο οποίος το χρησιμοποίησε για τις μερικές διαφορές. Ο σύγχρονος συμβολισμός των μερικών παραγώγων δημιουργήθηκε από τον Αντριέν Μαρί Λεζάντρ (1786), αν και αργότερα τον εγκατέλειψε- ο Καρλ Γκούσταβ Τζέικομπ Τζακόμπι επανέφερε το σύμβολο το 1841.

Ορισμός

Όπως οι συνήθεις παράγωγοι, η μερική παράγωγος ορίζεται ως όριο. Έστω U ένα ανοικτό υποσύνολο του $\mathbb {R} ^{n}$ και $f:U\to \mathbb {R}$ μια συνάρτηση. Η μερική παράγωγος της f στο σημείο $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U$} ως προς την i-th μεταβλητή x_i ορίζεται ως εξής

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1}\,\ldots ,a_{n})\ -f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e_{i}} )-f(\mathbf {a} )}{h}}\,.\end{aligned}}$

Όπου $\mathbf {e_{i}}$ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα της i-th μεταβλητής x_i. Ακόμη και αν όλες οι μερικές παράγωγοι $\partial f/\partial x_{i}(a)$ υπάρχουν σε ένα δεδομένο σημείο a, η συνάρτηση δεν χρειάζεται να είναι συνεχής εκεί. Ωστόσο, αν όλες οι μερικές παράγωγοι υπάρχουν σε μια γειτονιά του a και είναι συνεχείς εκεί, τότε η f είναι ολικά διαφορίσιμη σε αυτή τη γειτονιά και η ολική παράγωγος είναι συνεχής. Στην περίπτωση αυτή, λέγεται ότι η f είναι μια C¹ συνάρτηση. Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη γενίκευση για συναρτήσεις με διανυσματική τιμή, $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$, χρησιμοποιώντας προσεκτικά ένα επιχείρημα κατά συνιστώσες.

H μερική παράγωγος ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ μπορεί να θεωρηθεί ως μια άλλη συνάρτηση που ορίζεται στο U και μπορεί και πάλι να διαφοροποιηθεί μερικώς. Εάν η κατεύθυνση της παραγώγου είναι not επαναλαμβανόμενη, ονομάζεται μεικτή μερική παράγωγος. Αν όλες οι μικτές μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης είναι συνεχείς σε ένα σημείο (ή σε ένα σύνολο), η f ονομάζεται συνάρτηση C² σε αυτό το σημείο (ή σε αυτό το σύνολο) - στην περίπτωση αυτή, οι μερικές παράγωγοι μπορούν να ανταλλαγούν με το θεώρημα του Κλαιρό::

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.$

Σημείωση

Για τα ακόλουθα παραδείγματα, έστω f μια συνάρτηση στα x, y και z.

Μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.$

Μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.$

Μικτές παράγωγοι δευτέρας τάξη:

${\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.$

Μερικές και μικτές παράγωγοι ανώτερης τάξης:

${\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.$

Όταν πρόκειται για συναρτήσεις πολλαπλών μεταβλητών, ορισμένες από αυτές τις μεταβλητές μπορεί να σχετίζονται μεταξύ τους, επομένως μπορεί να είναι απαραίτητο να διευκρινιστεί ρητά ποιες μεταβλητές διατηρούνται σταθερές για να αποφευχθεί η ασάφεια. Σε τομείς όπως η στατιστική μηχανική, η μερική παράγωγος της f ως προς x, κρατώντας σταθερές τις y και z, εκφράζεται συχνά ως εξής

$\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.$

Συνήθως, για λόγους σαφήνειας και απλότητας της συμβολής, η συνάρτηση της μερικής παραγώγου και η τιμή της συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο σημείο συγχέονται με τη συμπερίληψη των ορίων της συνάρτησης όταν χρησιμοποιείται το σύμβολο της μερικής παραγώγου (συμβολισμός Λάιμπνιτς). Έτσι, μια έκφραση όπως

${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}$

χρησιμοποιείται για τη συνάρτηση, ενώ

${\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}$

μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την τιμή της συνάρτησης στο σημείο $(x,y,z)=(u,v,w)$. Ωστόσο, αυτή η σύμβαση καταρρέει όταν θέλουμε να αξιολογήσουμε τη μερική παράγωγο σε ένα σημείο όπως $(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})$. Σε μια τέτοια περίπτωση, η αξιολόγηση της συνάρτησης πρέπει να εκφραστεί με έναν δύσχρηστο τρόπο ως εξής

${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})$

ή

$\left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$

προκειμένου να χρησιμοποιηθεί ο συμβολισμός του Λάιμπνιτς. Έτσι, σε αυτές τις περιπτώσεις, μπορεί να είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείται ο συμβολισμός του διαφορικού τελεστή Όιλερ με $D_{i}$ ως το σύμβολο της μερικής παραγώγου ως προς την i-οστή μεταβλητή. Για παράδειγμα, θα γράφαμε $D_{1}f(17,u+v,v^{2})$ για το παράδειγμα που περιγράφηκε παραπάνω, ενώ η έκφραση $D_{1}f$ αντιπροσωπεύει τη μερική παράγωγο συνάρτηση ως προς την πρώτη μεταβλητή.

Για μερικές παραγώγους ανώτερης τάξης, η μερική παράγωγος (συνάρτηση) της $D_{i}f$ ως προς την j-οστή μεταβλητή συμβολίζεται $D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f$. Δηλαδή, $D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}$, έτσι ώστε οι μεταβλητές να αναγράφονται με τη σειρά με την οποία λαμβάνονται οι παράγωγοι, και επομένως, με αντίστροφη σειρά από τον τρόπο με τον οποίο συνήθως συμβολίζεται η σύνθεση των τελεστών. Φυσικά, το θεώρημα του Κλαιρό συνεπάγεται ότι $D_{i,j}=D_{j,i}$ εφόσον ικανοποιούνται συγκριτικά ήπιες συνθήκες κανονικότητας για την f.

Κλίση

Ένα σημαντικό παράδειγμα συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι η περίπτωση μιας συνάρτησης βαθμωτής τιμής $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ σε ένα πεδίο στον ευκλείδειο χώρο $\mathbb {R} ^{n}$ (π.χ. στον $\mathbb {R} ^{2}$ ή στον $\mathbb {R} ^{3}$). Στην περίπτωση αυτή η f έχει μια μερική παράγωγο $\partial f/\partial x_{j}$ ως προς κάθε μεταβλητή x_j. Στο σημείο a, αυτές οι μερικές παράγωγοι ορίζουν το διάνυσμα

$\nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).$

Αυτό το διάνυσμα ονομάζεται κλίση του f στο a. Αν το f είναι διαφορίσιμο σε κάθε σημείο σε κάποιο πεδίο, τότε η κλίση είναι μια διανυσματική συνάρτηση ∇f που μεταφέρει το σημείο a στο διάνυσμα ∇f(a). Συνεπώς, η κλίση παράγει ένα διανυσματικό πεδίο.

Μια συνήθης κατάχρηση του συμβολισμού είναι ο ορισμός του τελεστή del (∇) ως εξής στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο

$\mathbb {R} ^{3}$ με μοναδιαία διανύσματα ${\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}$:

$\nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}$

Ή, γενικότερα, για τον ευκλείδειο χώρο $\mathbb {R} ^{n}$ με συντεταγμένες $x_{1},\ldots ,x_{n}$ και μοναδιαία διανύσματα ${\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}$:

$\nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}$

Κατευθυντική παράγωγος

Διάγραμμα περιγράμματος του $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$, όπου φαίνεται το διάνυσμα της κλίσης με μαύρο χρώμα και το μοναδιαίο διάνυσμα $\mathbf {u}$ κλιμακωμένο με την παράγωγο κατεύθυνσης προς την κατεύθυνση του $\mathbf {u}$ με πορτοκαλί χρώμα. Το διάνυσμα της κλίσης είναι μεγαλύτερο επειδή η κλίση δείχνει προς την κατεύθυνση του μεγαλύτερου ρυθμού αύξησης μιας συνάρτησης.

Η κατευθυντική παράγωγος μιας κλιμακωτής συνάρτησης

$f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

κατά μήκος ενός διανύσματος

$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})$

είναι η συνάρτηση $\nabla _{\mathbf {v} }{f}$ που ορίζεται από το όριο

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.$

Ο ορισμός αυτός ισχύει σε ένα ευρύ φάσμα περιπτώσεων, για παράδειγμα όταν η νόρμα ενός διανύσματος (και συνεπώς ενός μοναδιαίου διανύσματος) είναι απροσδιόριστη.

Παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι f είναι συνάρτηση περισσότερων από μία μεταβλητών. Παραδείγματος χάριν,

$z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.$

Μια γραφική παράσταση του z = x² + xy + y². ή η μερική παράγωγος στο (1, 1) που αφήνει σταθερό το y, η αντίστοιχη εφαπτόμενη γραμμή είναι παράλληλη με το επίπεδο xz.

Ένα τμήμα της παραπάνω γραφικής παράστασης που δείχνει τη συνάρτηση στο επίπεδο xz στο y = 1. Οι δύο άξονες παρουσιάζονται εδώ με διαφορετικές κλίμακες. Η κλίση της εφαπτόμενης γραμμής είναι 3.

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ορίζει μια επιφάνεια στον ευκλείδειο χώρο. Σε κάθε σημείο αυτής της επιφάνειας, υπάρχει άπειρος αριθμός εφαπτόμενων ευθειών. Η μερική διαφοροποίηση είναι η πράξη της επιλογής μιας από αυτές τις ευθείες και η εύρεση της κλίσης της. Συνήθως, οι ευθείες που παρουσιάζουν το μεγαλύτερο ενδιαφέρον είναι αυτές που είναι παράλληλες στο επίπεδο xz και αυτές που είναι παράλληλες στο επίπεδο yz (οι οποίες προκύπτουν αν κρατήσουμε σταθερό το y ή το x αντίστοιχα).

Για να βρούμε την κλίση της ευθείας που εφάπτεται στη συνάρτηση στο P(1, 1) και είναι παράλληλη στο επίπεδο xz, θεωρούμε το y ως σταθερά. Η γραφική παράσταση και το επίπεδο αυτό φαίνονται στα δεξιά. Παρακάτω, βλέπουμε πώς φαίνεται η συνάρτηση στο επίπεδο y = 1. Βρίσκοντας την παράγωγο της εξίσωσης υποθέτοντας ότι η y είναι σταθερά, βρίσκουμε ότι η κλίση της f στο σημείο (x, y) είναι:

${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.$

Έτσι στο (1, 1), με αντικατάσταση, η κλίση είναι 3. Επομένως,

${\frac {\partial z}{\partial x}}=3$

στο σημείο (1, 1). Δηλαδή, η μερική παράγωγος της z ως προς x στο σημείο (1, 1) είναι 3, όπως φαίνεται στο γράφημα.

Η συνάρτηση f μπορεί να επανερμηνευτεί ως μια οικογένεια συναρτήσεων μιας μεταβλητής που αναπροσαρμόζεται από τις άλλες μεταβλητές:

$f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.$

Με άλλα λόγια, κάθε τιμή της y ορίζει μια συνάρτηση, που συμβολίζεται με f_y, η οποία είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής x. That is,

$f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.$

Στην παρούσα ενότητα ο συμβολισμός με δείκτη f_y δηλώνει μια συνάρτηση που εξαρτάται από μια σταθερή τιμή του y και όχι μια μερική παράγωγο.

Μόλις επιλεγεί μια τιμή του y, π.χ. a, τότε η f(x,y) καθορίζει μια συνάρτηση f_a η οποία παρακολουθεί μια καμπύλη x² + ax + a² στο επίπεδο xz:

$f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.$

Σε αυτή την έκφραση, a είναι μια σταθερά, όχι μια μεταβλητή, οπότε f_a είναι μια συνάρτηση μόνο μιας πραγματικής μεταβλητής, που είναι η x. Συνεπώς, ισχύει ο ορισμός της παραγώγου για συνάρτηση μιας μεταβλητής:

$f_{a}'(x)=2x+a.$

Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να εκτελεστεί για οποιαδήποτε επιλογή του a. Η συναρμολόγηση των παραγώγων σε μια συνάρτηση δίνει μια συνάρτηση που περιγράφει τη μεταβολή της f στην κατεύθυνση x:

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.$

Πρόκειται για τη μερική παράγωγο της f ως προς x. Εδώ το «∂» είναι ένα στρογγυλεμένο «d» που ονομάζεται «σύμβολο μερικής παραγώγου»- για να διακρίνεται από το γράμμα «d», το «∂» μερικές φορές προφέρεται «partial».

Μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης

Οι μερικές παράγωγοι δεύτερης και ανώτερης τάξης ορίζονται κατ' αναλογία με τις παραγώγους ανώτερης τάξης των μονοσήμαντων συναρτήσεων. Για τη συνάρτηση $f(x,y,...)$ η «δική της» δεύτερη μερική παράγωγος ως προς x είναι απλώς η μερική παράγωγος της μερικής παραγώγου (και οι δύο ως προς x):

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.$

Η διασταυρούμενη μερική παράγωγος ως προς x και y προκύπτει από τη λήψη της μερικής παραγώγου του f ως προς x και, στη συνέχεια, από τη λήψη της μερικής παραγώγου του αποτελέσματος ως προς y, ώστε να προκύψει

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.$

Το θεώρημα του Σβαρτς δηλώνει ότι αν οι δεύτερες παράγωγοι είναι συνεχείς, η έκφραση για τη διασταυρούμενη μερική παράγωγο δεν επηρεάζεται από το ποια μεταβλητή λαμβάνεται πρώτη ως προς τη μερική παράγωγο και ποια ως προς τη δεύτερη. Δηλαδή: Η παράλληλη παράγωγος που προκύπτει από τη δεύτερη παράγωγο είναι η ακόλουθη,

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}$

ή ισοδύναμα $f_{yx}=f_{xy}.$

Οι ίδιες και οι διασταυρούμενες μερικές παράγωγοι εμφανίζονται στον πίνακα Εσιάν, ο οποίος χρησιμοποιείται στις συνθήκες δεύτερης τάξης σε προβλήματα βελτιστοποίησης. Οι ανώτερης τάξης μερικές παράγωγοι μπορούν να ληφθούν με διαδοχική διαφοροποίηση

Ανάλογο αντιπαράγωγο

Υπάρχει μια έννοια για τις μερικές παραγώγους που είναι ανάλογη με τις αντιπαραγωγές για τις κανονικές παραγώγους. Δεδομένης μιας μερικής παραγώγου, επιτρέπει τη μερική ανάκτηση της αρχικής συνάρτησης.

Ας θεωρήσουμε το παράδειγμα της

${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.$

Το λεγόμενο μερικό ολοκλήρωμα μπορεί να ληφθεί σε σχέση με x (θεωρώντας το y ως σταθερό, κατά τρόπο παρόμοιο με τη μερική διαφοροποίηση):

$z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y).$

Εδώ, η σταθερά ολοκλήρωσης δεν είναι πλέον μια σταθερά, αλλά μια συνάρτηση όλων των μεταβλητών της αρχικής συνάρτησης εκτός από x. Ο λόγος γι' αυτό είναι ότι όλες οι άλλες μεταβλητές αντιμετωπίζονται ως σταθερές κατά τη λήψη της μερικής παραγώγου, οπότε οποιαδήποτε συνάρτηση που δεν περιλαμβάνει την x θα εξαφανιστεί κατά τη λήψη της μερικής παραγώγου, και πρέπει να το λάβουμε υπόψη αυτό όταν παίρνουμε την αντιπαράγωγο. Ο πιο γενικός τρόπος για να το αναπαραστήσουμε αυτό είναι να έχουμε τη σταθερά να αντιπροσωπεύει μια άγνωστη συνάρτηση όλων των άλλων μεταβλητών.

Έτσι, το σύνολο των συναρτήσεων $x^{2}+xy+g(y)$, όπου g είναι οποιαδήποτε συνάρτηση με ένα όργανο, αντιπροσωπεύει ολόκληρο το σύνολο των συναρτήσεων στις μεταβλητές x, y που θα μπορούσαν να παράγουν την x-μερική παράγωγο $2x+y$.

Εάν όλες οι μερικές παράγωγοι μιας συνάρτησης είναι γνωστές (για παράδειγμα, με την κλίση), τότε οι αντιπαράγωγοι μπορούν να αντιστοιχηθούν μέσω της παραπάνω διαδικασίας για την ανακατασκευή της αρχικής συνάρτησης μέχρι μια σταθερά. Ωστόσο, σε αντίθεση με την περίπτωση μίας μεταβλητής, δεν μπορεί κάθε σύνολο συναρτήσεων να είναι το σύνολο όλων των (πρώτων) μερικών παραγώγων μίας μόνο συνάρτησης. Με άλλα λόγια, δεν είναι κάθε διανυσματικό πεδίο συντηρητικό.

Εφαρμογές

Ο όγκος ενός κώνου εξαρτάται από το ύψος και την ακτίνα

Γεωμετρία

Ο όγκος V ενός κώνου εξαρτάται από το ύψος h και την ακτίνα r του κώνου σύμφωνα με τον τύπο

$V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.$

Η μερική παράγωγος της V ως προς r είναι

${\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},$

η οποία αντιπροσωπεύει τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται ο όγκος ενός κώνου αν μεταβάλλεται η ακτίνα του και διατηρείται σταθερό το ύψος του. Η μερική παράγωγος ως προς h ισούται με ${\textstyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}}$, η οποία αντιπροσωπεύει τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται ο όγκος αν μεταβάλλεται το ύψος του και η ακτίνα του διατηρείται σταθερή.

Αντίθετα, η συνολική παράγωγος της V ως προς r και h είναι αντίστοιχα

${\begin{aligned}{\frac {dV}{dr}}&=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {dh}{dr}}\,,\\{\frac {dV}{dh}}&=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {dr}{dh}}\,.\end{aligned}}$

Η διαφορά μεταξύ της ολικής και της μερικής παραγώγου είναι η εξάλειψη των έμμεσων εξαρτήσεων μεταξύ των μεταβλητών στις μερικές παραγώγους.

Αν (για κάποιο αυθαίρετο λόγο) οι αναλογίες του κώνου πρέπει να παραμείνουν ίδιες και το ύψος και η ακτίνα βρίσκονται σε σταθερή αναλογία k,

$k={\frac {h}{r}}={\frac {dh}{dr}}.$

Αυτό δίνει τη συνολική παράγωγο ως προς r,

${\frac {dV}{dr}}={\frac {2\pi rh}{3}}+{\frac {\pi r^{2}}{3}}k\,,$

το οποίο απλοποιείται σε

${\frac {dV}{dr}}=k\pi r^{2},$

Ομοίως, η συνολική παράγωγος ως προς h είναι

${\frac {dV}{dh}}=\pi r^{2}.$

Η συνολική παράγωγος ως προς και τα δύο r και h του όγκου που προορίζεται ως κλιμακωτή συνάρτηση αυτών των δύο μεταβλητών δίνεται από το διάνυσμα κλίσης

$\nabla V=\left({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2}\right).$

Βελτιστοποίηση

Οι μερικές παράγωγοι εμφανίζονται σε κάθε πρόβλημα βελτιστοποίησης με βάση τον λογισμό με περισσότερες από μία μεταβλητές επιλογής. Επί παραδείγματι, στα οικονομικά μια επιχείρηση μπορεί να επιθυμεί να μεγιστοποιήσει το κέρδος π(x, y) σε σχέση με την επιλογή των ποσοτήτων x και y δύο διαφορετικών τύπων παραγωγής. Οι συνθήκες πρώτης τάξης για αυτή τη βελτιστοποίηση είναι π_x = 0 = π_y. Δεδομένου ότι και οι δύο μερικές παράγωγοι π_x και π_y θα είναι γενικά οι ίδιες συναρτήσεις και των δύο ορίωνx και y, αυτές οι δύο συνθήκες πρώτης τάξης σχηματίζουν ένα σύστημα δύο εξισώσεων σε δύο αγνώστους.

Θερμοδυναμική, κβαντομηχανική και μαθηματική φυσική

Οι μερικές παράγωγοι εμφανίζονται σε θερμοδυναμικές εξισώσεις όπως η εξίσωση Γκιμπς-Ντουέμ, στην κβαντομηχανική όπως η κυματική εξίσωση Σρέντινγκερ, καθώς και σε άλλες εξισώσεις της μαθηματικής φυσικής. Οι μεταβλητές που διατηρούνται σταθερές στις μερικές παραγώγους εδώ μπορεί να είναι λόγοι απλών μεταβλητών όπως τα μοριακά κλάσματα x_i στο ακόλουθο παράδειγμα που αφορά τις ενέργειες Γκιμπς σε ένα τριμερές σύστημα μίγματος:

${\bar {G_{2}}}=G+(1-x_{2})\left({\frac {\partial G}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}$

Η έκφραση των μοριακών κλασμάτων ενός συστατικού ως συναρτήσεις των μοριακών κλασμάτων άλλων συστατικών και των δυαδικών μοριακών αναλογιών:

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{3}}{x_{1}}}}}\\x_{3}&={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}}\end{aligned}}$

Τα διαφορικά πηλίκα μπορούν να σχηματιστούν σε σταθερές αναλογίες όπως αυτές που προαναφέρθηκαν:

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}&=-{\frac {x_{1}}{1-x_{2}}}\\\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}&=-{\frac {x_{3}}{1-x_{2}}}\end{aligned}}$

Οι λόγοι X, Y, Z των μοριακών κλασμάτων μπορούν να γραφούν για τριμερή και πολυμερή συστήματα:

${\begin{aligned}X&={\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{3}}}\\Y&={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}\\Z&={\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\end{aligned}}$

η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων όπως:

$\left({\frac {\partial \mu _{2}}{\partial n_{1}}}\right)_{n_{2},n_{3}}=\left({\frac {\partial \mu _{1}}{\partial n_{2}}}\right)_{n_{1},n_{3}}$

Αυτή η ισότητα μπορεί να αναδιαταχθεί ώστε να έχει διαφορικό πηλίκο των μοριακών κλασμάτων στη μία πλευρά.

Αλλαγή μεγέθους εικόνας

Οι μερικές παράγωγοι είναι το κλειδί για τους αλγορίθμους αλλαγής μεγέθους εικόνας με επίγνωση του στόχου. Οι αλγόριθμοι αυτοί, ευρύτερα γνωστοί ως σμίλευση ραφών, απαιτούν την ανάθεση σε κάθε εικονοστοιχείο μιας εικόνας μιας αριθμητικής «ενέργειας» που περιγράφει τη διαφορετικότητά τους σε σχέση με ορθογώνια γειτονικά εικονοστοιχεία. Στη συνέχεια, ο αλγόριθμος αφαιρεί προοδευτικά τις γραμμές ή τις στήλες με τη χαμηλότερη ενέργεια. Ο τύπος που καθορίζεται για τον προσδιορισμό της ενέργειας ενός εικονοστοιχείου (μέγεθος της κλίσης σε ένα εικονοστοιχείο) εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τις δομές των μερικών παραγώγων.

Οικονομικά

Οι μερικές παραγώγους παίζουν σημαντικό ρόλο στα οικονομικά, όπου οι περισσότερες συναρτήσεις που περιγράφουν την οικονομική συμπεριφορά θεωρούν ότι η συμπεριφορά εξαρτάται από περισσότερες από μία μεταβλητές. Παραδείγματος χάριν, μια κοινωνική συνάρτηση κατανάλωσης μπορεί να περιγράφει το ποσό που δαπανάται για καταναλωτικά αγαθά ως εξαρτώμενο τόσο από το εισόδημα όσο και από τον πλούτο- η οριακή ροπή προς κατανάλωση είναι τότε η μερική παράγωγος της συνάρτησης κατανάλωσης ως προς το εισόδημα.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Κατανομή t-Student
• Κανονική κατανομή
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ένα προς ένα
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Προβολικός χώρος
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Τυπική απόκλιση

Βιβλιογραφία

• Hilton, P. J. (6 Δεκεμβρίου 2012). Partial Derivatives. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-011-6089-6. 
• Sivasankar, Dr· S.B, Dr Chandrakala (21 Μαΐου 2024). Calculus: Concept and Applications. Shineeks Publishers. ISBN 979-8-89379-753-4. 
• Givental, Alexander (2001). Linear Algebra and Differential Equations. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2850-2. 
• Riley, K. F.· Hobson, M. P. (13 Μαρτίου 2006). Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-45099-7. 
• Zill, Dennis G.· Wright, Warren S. (21 Απριλίου 2011). Multivariable Calculus. Jones & Bartlett Publishers. ISBN 978-1-4496-4448-2. 
• Verma, Chirag (20 Φεβρουαρίου 2025). Multivariate Calculus and Geometry Concepts. Educohack Press. ISBN 978-93-6152-550-6. 
• Zill, Dennis· Wright, Warren S. (11 Δεκεμβρίου 2009). Calculus: Early Transcendentals. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-5995-7. 
• Fuente, Angel de la· Fuente, Ángel de la (28 Ιανουαρίου 2000). Mathematical Methods and Models for Economists. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58529-3. 
• Ghorpade, Sudhir R.· Limaye, Balmohan V. (20 Μαρτίου 2010). A Course in Multivariable Calculus and Analysis. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-1621-1. 
• Hoag, John (2008). Calculus and Techniques of Optimization with Microeconomic Applications. World Scientific. ISBN 978-981-277-493-4. 
• Caliò, Franca· Lazzari, Alessandro (1 Απριλίου 2020). Elements of Mathematics with numerical applications. Società Editrice Esculapio. ISBN 978-88-358-1755-0. 
• Kuttler, Kenneth (2011). Calculus: Theory and Applications. World Scientific. ISBN 978-981-4324-27-4. 

Παραπομπές

• Bartle, Robert G. (1976). The Elements of Real Analysis (2nd έκδοση). Wiley. ISBN 978-0-471-05464-1. 
• Dubinsky, Ed· Harel, Guershon (1992). The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-081-7. 
• Hammack, Richard (2009). «12. Functions» (PDF). Book of Proof. Virginia Commonwealth University. Ανακτήθηκε στις 1 Αυγούστου 2012. 
• Husch, Lawrence S. (2001). Visual Calculus. University of Tennessee. Ανακτήθηκε στις 27 Σεπτεμβρίου 2007. 
• Hart, J.F.· Cheney, E.W.· Lawson, C.L.· Maehly, H.J.· Mesztenyi, C.K.· Rice, Jr., J.R.· Thacher, H.C.· Witzgall, C. (1968). Computer Approximations. Wiley. OCLC 0471356301. 
• Fox, L.· Parker, I.B. (1968). Chebyshev Polynomials in Numerical Analysis. Oxford mathematical handbooks. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859614-1. OCLC 9036207. 
• Press, WH· Teukolsky, S.A.· Vetterling, W.T.· Flannery, B.P. (2007). «§5.8 Chebyshev Approximation». Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. 
• «Redressing grievances with the treatment of dimensionless quantities in SI». Measurement (London, UK: Elsevier Ltd.) 109: 105–110. October 2017. doi:10.1016/j.measurement.2017.05.043. NIHMS1633436. ISSN 0263-2241. PMID 33311828. Bibcode: 2017Meas..109..105F.  [1] (15 pages)
• Remes (Remez), E. (1934). «Sur le calcul effectif des polynomes d'approximation de Tschebyschef» (στα γαλλικά). C. R. Acad. Sci. 199: 337–340. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3151h/f337.item. 
• Steffens, K.-G. (2006). The History of Approximation Theory: From Euler to Bernstein,. Birkhauser. doi:10.1007/0-8176-4475-X. ISBN 0-8176-4353-2. 
• Erdélyi, T. (2008). «Extensions of the Bloch-Pólya theorem on the number of distinct real zeros of polynomials». Journal de théorie des nombres de Bordeaux 20: 281–7. http://www.numdam.org/item/10.5802/jtnb.627.pdf. 
• Erdélyi, T. (2009). «The Remez inequality for linear combinations of shifted Gaussians». Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 146: 523–530. doi:10.1017/S0305004108001849. 
• Trefethen, L.N. (2020). Approximation theory and approximation practice. SIAM. ISBN 978-1-61197-594-9.  Ch. 1–6 of 2013 edition

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 

]