Μερική συνάρτηση

Παράδειγμα μερικής συνάρτησης από το σύνολο $A=\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\}$ στο σύνολο $B=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}\}$. Παρατηρήστε ότι κάθε στοιχείο του $A$ συνδέεται με το πολύ ένα στοιχείο του $B$.

Στα μαθηματικά, μία μερική συνάρτηση είναι μία σχέση $R$ μεταξύ δύο συνόλων $A$ και $B$, τέτοια ώστε για κάθε $a\in A$ υπάρχει το πολύ ένα $b\in B$ τέτοιο ώστε $(a,b)\in B$. Με όρους λογικής πρώτου βαθμού αυτό γράφεται ως

$\forall a\in A.\ \forall b_{1}\in B.\ \forall b_{2}\in B.\ \left((a,b_{1})\in R\wedge (a,b_{2})\in R\Rightarrow b_{1}=b_{2}\right).$

Το σύνολο όλων των μερικών συναρτήσεων από το $A$ στο $B$ συμβολίζεται ως $A\rightharpoonup B$.

Οι συναρτήσεις αντιστοιχούν κάθε $a\in A$ σε ακριβώς ένα $b\in B$ και λέγονται και ολικές συναρτήσεις, εν'αντιθέσει με μερικές συναρτήσεις που αντιστοιχούν στο πολύ ένα.

Κάθε (ντετερμινιστικός) αλγόριθμος μπορεί να θεωρηθεί ως μία μερική συνάρτηση όπου για κάθε είσοδο είτε δίνει ένα αποτέλεσμα είτε δεν ολοκληρώνει ποτέ την διεργασία του.

Παραδείγματα

Μερικά παραδείγματα από την καθημερινή ζωή είναι τα εξής:

• Η σχέση που συνδέει τις γυναίκες του κόσμου με τους άντρες με τους οποίους είναι παντρεμένη. Κάθε γυναίκα είναι παντρεμένη με το πολύ έναν άντρα, ενώ υπάρχουν και γυναίκες που δεν έχουν παντρευτεί κάποιον.
• Η σχέση που συνδέει τους ανθρώπους όλου του κόσμου με τους ελληνικούς αριθμούς ταυτότητας είναι μία μερική συνάρτηση. Κάθε Έλληνας έχει το πολύ έναν τέτοιο αριθμό, ενώ υπάρχουν (πολλοί) άνθρωποι στον κόσμο που δεν έχουν.

Μερικά μαθηματικά παραδείγματα είναι τα εξής:

• Κάθε συνάρτηση είναι μερική. Επομένως, η ταυτοτική και η σταθερή συνάρτηση είναι μερικές.
• Η μερική συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ορισμένη ως

$f(x)={\begin{cases}{\sqrt {x}}&{\text{αν }}x\geq 0,\\\ \uparrow &{\text{αν }}x<0,\end{cases}}$

όπου $\uparrow$ συμβολίζει ότι η συνάρτηση δεν ορίζεται. Αντίθετα, αν περιορίσουμε το πεδίο ορισμού της σχέσης μόνο στους μη-αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς τότε η $g:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ είναι (ολική) συνάρτηση:

$g(x)={\sqrt {x}}.$

Ιδιότητες

Η ολική συνάρτηση $g$ προκύπτει από τον περιορισμό του πεδίου ορισμού της $f$. Παρατηρήστε ότι κάθε στοιχείο του $A'=\{a_{1},a_{3},a_{5}\}$ αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα στοιχείο του $B$.

• Η σύνθεση δύο μερικών συναρτήσεων είναι μερική συνάρτηση.
• Έστω $f:A\rightharpoonup B$ μία μερική συνάρτηση και $A'=\{a\in A\mid \exists b\in B.(a,b)\in f\}$. Τότε η $g:A'\to B$ με $g(a)=f(a)$ είναι ολική συνάρτηση.
• Για δύο πεπερασμένα σύνολα $A$ και $B$ το πλήθος των μερικών συναρτήσεων μεταξύ των δύο συνόλων είναι $(|B|+1)^{|A|}$, καθώς κάθε στοιχείο του $A$ μπορεί είτε να αντιστοιχηθεί σε κάποιο από τα $|B|$ στοιχεία ή να μην αντιστοιχηθεί σε κανένα. Αφού οι επιλογές είναι ανεξάρτητες από την βασική αρχή απαρίθμησης προκύπτει το αποτέλεσμα.

Δείτε επίσης

• Σχέση (μαθηματικά)
• Συνάρτηση