Μετρική (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, μετρική ονομάζεται μια συνάρτηση $d:V\times V\to \mathbb {R}$, όπου $V$ ένα μη-κενό σύνολο, η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες για κάθε $x,y,z\in V\,$:

• $d(x,y)=0$, αν και μόνο αν $x=y\,$ (αξίωμα ταύτισης)
• $d(x,y)=d(y,x)$ (αξίωμα συμμετρίας)
• $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (τριγωνική ανισότητα)

Η τιμή $d(x,y)$ ονομάζεται απόσταση των $x$, $y$, (ενν. μέσω της μετρικής $d$) και το ζεύγος $(V,d)$ ονομάζεται μετρικός χώρος.

Παραδείγματα

• Η Ευκλείδεια μετρική στο σύνολο $\mathbb {R} ^{n}$ ορίζεται για δύο σημεία $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ και $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})$ ως

$d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}$.

• Ειδική περίπτωση αυτής στον $\mathbb {R}$ είναι η συνηθισμένη μετρική

$d(x,y)=|x-y|$.

• Η διακριτή μετρική σε οποιοδήποτε σύνολο $X$ ορίζεται ως

$d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\1&x\neq y\end{cases}}$

• Η $p$-μετρική (για $p\geq 1$) στο σύνολο $\mathbb {R} ^{n}$ ορίζεται για δύο σημεία $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ και $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})$ ως

$d(x,y)=\left((x_{1}-y_{1})^{p}+(x_{2}-y_{2})^{p}+\ldots +(x_{n}-y_{n})^{p}\right)^{1/p}$.

• Η μετρική στο $\mathbb {R} ^{n}$

$d_{\infty }(x,y)=\max {\{|x_{i}-y_{i}|:1\leq i\leq n\}}$.

Ιδιότητες

Σε έναν μετρικό χώρο $(X,d)$ ισχύει ότι για κάθε $x,y\in V$

$d(x,y)\geq 0$.

Απόδειξη  

Θεωρούμε δύο σημεία $x,y\in V$. Από την τριγωνική ανισότητα για τα σημεία $x,x,y$ έχουμε ότι

$d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)$.

Από το αξίωμα ταύτισης $d(x,x)=0$, προκύπτει ότι

$0\leq d(x,y)+d(y,x)$,

και από το αξίωμα συμμετρίας $d(x,y)=d(y,x)$, έχουμε ότι

$d(x,x)\leq 2\cdot d(x,y)$.

Καταλήγουμε ότι

$0\leq d(x,y)$.

Δείτε επίσης

• Μετρικός χώρος