Μηνίσκοι του Ιπποκράτη

Το άθροισμα του εμβαδού των μηνίσκων (γκρί) ισούται με το εμβαδό του ορθωγώνιου τριγώνου (πορτοκαλί).

Στην γεωμετρία, οι μηνίσκοι του Ιπποκράτη είναι θεώρημα που αφορά τα εμβαδά μηνίσκων που ορίζονται από ημικύκλια στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ θεωρούμε τα ημικύκλια $C_{\rm {AB}}$, $C_{\rm {\Gamma A}}$, $C_{\rm {B\Gamma }}$ στις πλευρές του και του μηνίσκους $M_{\rm {AB}}=C_{\rm {AB}}-C_{\rm {B\Gamma }}$ και $M_{\rm {A\Gamma }}=C_{\rm {A\Gamma }}-C_{\rm {B\Gamma }}$. Τότε, το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των μηνίσκων

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}={\rm {E}}_{M_{\rm {AB}}}+{\rm {E}}_{M_{\rm {A\Gamma }}}$.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Ιπποκράτη από τη Χίο (450 π.Χ.).

Απόδειξη

Απόδειξη  

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι

${\rm {B\Gamma }}^{2}={\rm {AB}}^{2}+{\rm {A\Gamma }}^{2}$.

Το εμβαδόν ενός ημικυκλίου ακτίνας $r$ είναι ${\tfrac {1}{2}}\pi r^{2}$. Επομένως,

${\rm {E}}_{C_{\rm {AB}}}={\tfrac {1}{8}}\pi \cdot {\rm {AB}}^{2}$,

${\rm {E}}_{C_{\rm {A\Gamma }}}={\tfrac {1}{8}}\pi \cdot {\rm {A\Gamma }}^{2}$, και

${\rm {E}}_{C_{\rm {B\Gamma }}}={\tfrac {1}{8}}\pi \cdot {\rm {B\Gamma }}^{2}$.

Συνδυάζοντας με την σχέση από το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε ότι το εμβαδόν του μεγάλου ημικυκλιου είναι ίσο με το άθροισμα των δύο μικρών

${\rm {E}}_{C_{\rm {B\Gamma }}}={\rm {E}}_{C_{\rm {AB}}}+{\rm {E}}_{C_{\rm {A\Gamma }}}$.

Τα ημικύκλια $C_{\rm {AB}}$, $C_{\rm {\Gamma A}}$ και το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ επικαλύπτουν πλήρως το $C_{\rm {B\Gamma }}$, επομένως

${\begin{aligned}{\rm {E}}_{M_{\rm {AB}}}+{\rm {E}}_{M_{\rm {A\Gamma }}}&={\rm {E}}_{C_{\rm {AB}}}+{\rm {E}}_{C_{\rm {A\Gamma }}}+{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}-{\rm {E}}_{C_{\rm {B\Gamma }}}\\&={\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}.\end{aligned}}$

Αναδιπλώνοντας το ημικύκλιο της υποτείνουσας και αφαιρώντας τις επιφάνειες που τέμνονται, απομένουν οι δύο εξωτερικοί μηνίσκοι (γκρι) και το ορθογώνιο τρίγωνο (πορτοκαλί).

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική απόδειξη του θεωρήματος στο Geogebra
• Οι μηνίσκοι του Ιπποκράτη στο Φωτόδεντρο.

Δείτε επίσης

• Μηνίσκος
• Πυθαγόρειο θεώρημα