Τεμνόμενοι κύκλοι

Δύο τεμνόμενοι κύκλοι με διάκεντρο την ${\rm {O_{1}O_{2}}}$ καιι κοινή χορδή την ${\rm {AB}}$.

Στην γεωμετρία, δύο κύκλοι λέγονται τεμνόμενοι αν έχουν ακριβώς δύο κοινά σημεία. Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα δύο αυτά σημεία είναι η κοινή χορδή τους.

Ιδιότητες

• Αν δύο κύκλοι με κέντρα ${\rm {O_{1}}}$ και ${\rm {O_{2}}}$ αντίστοιχα, έχουν ένα κοινό σημείο ${\rm {A}}$ που δεν ανήκει στην ευθεία της διακέντρου, τότε έχουν και δεύτερο κοινό σημείο.

Η διάκεντρος είναι η μεσοκάθετος της κοινής χορδής ${\rm {AB}}$.

• Η διάκεντρος ${\rm {O_{1}O_{2}}}$ των δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής τους χορδής ${\rm {AB}}$.

Κοινές εφαπτομένες δύο τεμνόμενων κύκλων.

• Δύο τεμνόμενοι κύκλοι έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτομένες.

Μετρικές σχέσεις

Θεωρούμε δύο τεμνόμενους κύκλους $({\rm {O_{1}}},r_{1})$ και $({\rm {O_{2}}},r_{2})$ με $\delta ={\rm {O_{1}O_{2}}}$. Σε αυτούς ισχύουν οι εξής μετρικές σχέσεις:

• Έστω $\varepsilon$ μία κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων και ${\rm {A,B}}$ τα σημεία επαφής με τους δύο κύκλους αντίστοιχα. Τότε, ${\textstyle {\rm {AB}}={\sqrt {\delta ^{2}-(r_{1}-r_{2})^{2}}}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης για το μήκος της κοινής εφαπτομένης.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $r_{1}\geq r_{2}$. Θεωρούμε την προβολή ${\rm {E}}$ του ${\rm {O_{2}}}$ στην ${\rm {O_{1}A}}$. Το τετράπλευρο ${\rm {ABO_{2}E}}$ είναι ορθογώνιο, επομένως

${\rm {O_{2}E=AB}}$ και ${\rm {EO_{1}}}=r_{1}-r_{2}$.

Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm {EO_{1}O_{2}}}$, καταλήγουμε ότι

${\rm {AB}}={\rm {EO_{1}}}={\sqrt {\delta ^{2}-(r_{1}-r_{2})^{2}}}$.

• Το μήκος της κοινής χορδής ${\rm {AB}}$ δίνεται από τον τύπο

${\rm {AB}}={\frac {1}{\delta }}\cdot {\sqrt {(r_{1}+r_{2}+\delta )\cdot (-r_{1}+r_{2}+\delta )\cdot (r_{1}-r_{2}+\delta )\cdot (r_{1}+r_{2}-\delta )}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης για το μήκος της κοινής χορδής.

Έστω ${\rm {AB}}$ η κοινή χορδή των δύο κύκλων και ${\rm {M}}$ το σημείο τομής της ${\rm {AB}}$ με την διάκεντρο ${\rm {O_{1}O_{2}}}$.

Η διάκεντρος ${\rm {O_{1}O_{2}}}$ είναι και μεσοκάθετος της ${\rm {AB}}$, άρα το ${\rm {AM}}$ είναι ύψος του τριγώνου ${\rm {AO_{1}O_{2}}}$. Από τον τύπο του Ήρωνα, έχουμε ότι το ύψος ισούται με

${\rm {AM}}={\frac {2}{\delta }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -r_{1})\cdot (\tau -r_{2})\cdot (\tau -\delta )}}$,

όπου $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου ${\rm {AO_{1}O_{2}}}$, δηλαδή:

$\tau ={\frac {r_{1}+r_{2}+\delta }{2}}$.

Συνεπώς, καταλήγουμε ότι

${\rm {AB}}=2{\rm {AM}}={\frac {1}{\delta }}\cdot {\sqrt {(r_{1}+r_{2}+\delta )\cdot (-r_{1}+r_{2}+\delta )\cdot (r_{1}-r_{2}+\delta )\cdot (r_{1}+r_{2}-\delta )}}$.

Γωνία τεμνόμενων κύκλων

Η γωνία δύο τεμνόμενων κύκλων.

Έστω δύο κύκλοι με κέντρα τα ${\rm {O_{1}}}$ και ${\rm {O_{2}}}$ που τέμνονται στα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$. Επίσης, θεωρούμε την εφαπτόμενη $\varepsilon _{1}$ του πρώτου κύκλου στο ${\rm {A}}$ και εφαπτόμενη $\varepsilon _{2}$ του δεύτερου κύκλου στο ${\rm {A}}$. H γωνία μεταξύ των δύο εφαπτομένων λέγεται γωνία τεμνόμενων κύκλων.

Ειδικές περιπτώσεις

• Αν η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων κύκλων είναι ορθή, τότε οι κύκλοι λέγονται ορθογώνιοι.
• Αν η κοινή χορδή δύο τεμνόμενων κύκλων είναι και διάμετρος του δεύτερου, τότε οι κύκλοι είναι τεμνόμενοι κατά διάμετρο.

Ορθογώνιοι κύκλοι

Κύκλοι τεμνόμενοι κατά διάμετρο

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ισότητα Γωνιών τεμνόμενων κύκλων στο Geogebra.
• Μια ιδιότητα της κοινής χορδής δύο τεμνόμενων κύκλων στο Φωτόδεντρο.

Δείτε επίσης

• Κύκλος
• Εφαπτόμενοι κύκλοι
• Ορθογώνιοι κύκλοι