Νόμος των ελλειπτικών τροχιών

Η ελλειπτική τροχιά ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο. Η είναι η θέση του Ήλιου σε μία από τις εστίες της έλλειψης, Ε είναι η δεύτερη εστία, P είναι η θέση του πλανήτη και Π, Α είναι το περιήλιο και αφήλιο αντίστοιχα. Οι συντεταγμένες r και θ αντιπροσωπεύουν τις πολικές συντεταγμένες του πλανήτη.

Ο Νόμος των ελλειπτικών τροχιών ή νόμος πλανητικών τροχιών ή Πρώτος νόμος Κέπλερ είναι νόμος που περιλαμβάνεται στους νόμους του πλανητικού συστήματος. Τον διετύπωσε ο Γερμανός αστρονόμος Γιοχάνες Κέπλερ (1571-1630) μελετώντας τα δεδομένα των παρατηρήσεων της κίνησης των πλανητών, που προηγουμένως είχε συγκεντρώσει ο Δανός αστρονόμος Τύχο Μπράχε (1546-1601).

Ο νόμος αυτός είναι ο πρώτος από τους τρεις που ανακάλυψε και διατύπωσε ο Κέπλερ και που διέπουν την κίνηση των πλανητών γύρω από τον Ήλιο. Σύμφωνα με τον νόμο αυτόν:

• Οι τροχιές των πλανητών είναι ελλείψεις, των οποίων τη μία εστία, κοινή σε όλες τις πλανητικές τροχιές, κατέχει ο Ήλιος.

Επί της ελλειπτικής αυτής τροχιάς των πλανητών, περιήλιο χαρακτηρίζεται το σημείο εκείνο που βρίσκεται ο πλανήτης πλησιέστερα στον Ήλιο, συνεπώς πρόκειται για το ένα ακραίο σημείο του μεγάλου άξονα και αντίθετα αφήλιο το αντιδιαμετρικό σημείο του μεγάλου άξονα. Ειδικά στις ελλείψεις των πλανητών ο μεγάλος ημιάξονας ονομάζεται μέση απόσταση του πλανήτη από τον Ήλιο, ενώ η ευθεία που συνδέει τον Ήλιο με την εκάστοτε θέση του πλανήτη επί της ελλειπτικής ονομάζεται επιβατική ακτίνα. Εξ άλλου και ο μέγας άξονας της τροχιάς ονομάζεται γραμμή των αψίδων, επειδή "φέρονται" επ΄ αυτόν ή άνω και η κάτω "αψίδα" της ελλειπτικής.

Ιστορική αναδρομή

Ένα από τα πρώτα μοντέλα που εξέτασε ο Κέπλερ για τις τροχιές των πλανητών στο Ηλιακό Σύστημα, το οποίο βασίζεται στη συμμετρία των πλατωνικών στερεών. Η εικόνα προέρχεται από την εργασία του Κέπλερ με τίτλο Mysterium Cosmographicum (1600).

Σε αντίθεση με τον Μπράχε (του οποίου τις παρατηρήσεις χρησιμοποίησε ο Κέπλερ για να καταλήξει στους τρεις περίφημους νόμους του), ο Κέπλερ ήταν οπαδός της ηλιοκεντρικής θεωρίας. Μετά τον θάνατο του Μπράχε (1601), ο Κέπλερ χρησιμοποίησε τα δεδομένα που είχε συλλέξει με τα χρόνια ο Δανός αστρονόμος και προσπάθησε να τα προσαρμόσει σε ένα μοντέλο που βασίζεται στη συμμετρία των πλατωνικών στερεών. Συγκεκριμένα, ο Κέπλερ πίστευε πως οι τροχιές των πλανητών είναι κυκλικές και ότι οι σχετικές τους αποστάσεις από τον Ήλιο αντιστοιχούν στις θέσεις γιγαντιαίων κρυσταλλικών σφαιρών που περικλείουν τα πέντε πλατωνικά στερεά, στα κέντρα των οποίων βρίσκεται ο Ήλιος (δείτε εικόνα στα δεξιά).

Επειδή το μοντέλο των πλατωνικών στερεών αποδείχθηκε ανεπιτυχές, ο Κέπλερ δοκίμασε, επικεντρώνοντας τη προσοχή του στη τροχιά του Ερμή, να προσαρμόσει τα δεδομένα του Μπράχε σε ένα ηλιοκεντρικό μοντέλο που βασιζόταν σε κυκλικές τροχιές με διορθώσεις όπως επικύκλοι και εξισωτές (κατ' αναλογία με το γεωκεντρικό Πτολεμαϊκό μοντέλο). Το μοντέλο που κατασκεύασε βρισκόταν σε θέση να εξηγήσει όλα τα πειραματικά σημεία για τη τροχιά του πλανήτη εκτός από δύο, τα οποία διέφεραν κατά 8’ (λεπτά της μοίρας) —τιμή που αντιστοιχούσε στο διπλάσιο της ακρίβειας των μετρήσεων του Μπράχε— σε σχέση με τη προβλεπόμενη τιμή. Πιστεύοντας ότι η διαφορά αυτή δεν θα μπορούσε να προέρχεται από παρατηρησιακά σφάλματα, ο Κέπλερ προχώρησε στην απόρριψη και αυτού του μοντέλου.

Με την απόρριψη της τελευταίας θεμελιώδους υπόθεσης του Πτολεμαϊκού μοντέλου (κυκλικές τροχιές), ο Κέπλερ άρχισε να εξετάζει τη πιθανότητα οι πλανητικές τροχιές να περιγράφονται από ένα μοντέλο ελλειπτικών τροχιών. Παρά τη μικρή (από μαθηματικής άποψης) αυτή αλλαγή, ο Κέπλερ κατάφερε να κατασκευάσει ένα θεωρητικό μοντέλο που βρισκόταν σε θέση να εξηγήσει πλήρως τις παρατηρήσεις του Μπράχε (εντός, φυσικά, των ορίων των πειραματικών σφαλμάτων). Η ανακάλυψή του αυτή δημοσιεύτηκε το 1609 στο έργο του με τίτλο Astronomica Nova.

Εξαγωγή του νόμου των ελλειπτικών τροχιών από πρώτες αρχές

Αν και ο Κέπλερ κατέληξε στο συμπέρασμα ότι οι τροχιές των πλανητών είναι ελλειπτικές αντί για κυκλικές, δεν μπόρεσε να προσδιορίσει το είδος της δύναμης που βρίσκεται πίσω από το παρατηρησιακό αυτό γεγονός. Ο Ισαάκ Νεύτωνας ήταν ο πρώτος που κατάφερε τόσο να ποσοτικοποιήσει το είδος της δύναμης μέσω του νόμου της παγκόσμιας έλξης, όσο και να γενικεύσει το εμπειρικό αποτέλεσμα του Κέπλερ.

Συγκεκριμένα, η επίλυση της εξίσωσης του Νεύτωνα με τη βαρυτική δύναμη που επιβάλλει ο νόμος της παγκόσμιας έλξης δίνει ως αποτέλεσμα την επιβατική ακτίνα, r, ενός πλανήτη σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο συναρτήσει της πολικής γωνίας θ, μετρημένη ως προς την κατεύθυνση του περιηλίου:

$r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta }}\ ,$

όπου 0≤e<1 η εκκεντρότητα της έλλειψης και a ο μεγάλος ημιάξονας. Η παραπάνω εξίσωση περιγράφει μία έλλειψη σε πολικές συντεταγμένες. Οι θέσεις του περιηλίου και αφηλίου αντιστοιχούν (από τον ορισμό της μέτρησης της γωνίας θ) σε γωνιακές συντεταγμένες θ=0° και θ=180° αντίστοιχα.

Αξίζει να σημειωθεί ότι μόνο ένας νόμος δύναμης αντιστρόφου τετραγώνου —όπως είναι η βαρυτική δύναμη— δίνει ως αποτέλεσμα επίλυσης της εξίσωσης του Νεύτωνα κλειστές ελλειπτικές τροχιές.

Βιβλιογραφία

• Bradley W. Carroll, Dale A. Ostlie (2007). An Introduction to Modern Astrophysics. Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 978-960-524-206-0.