Πίνακας Γουίλσον

Ο πίνακας Γουίλσον είναι ο ακόλουθος πίνακας $4\times 4$ που έχει ως στοιχεία ακέραιους αριθμούς:

$W={\begin{bmatrix}5&7&6&5\\7&10&8&7\\6&8&10&9\\5&7&9&10\end{bmatrix}}$

Αυτός είναι ο πίνακας συντελεστών του ακόλουθου συστήματος γραμμικών εξισώσεων που εξετάστηκε σε μια εργασία του J. Μόρις που δημοσιεύθηκε το 1946:

${\text{(S1)}}\quad {\begin{aligned}5x+7y+6z+5u&=23\\7x+10y+8z+7u&=32\\6x+8y+10z+9u&=33\\5x+7y+9z+10u&=31\end{aligned}}$

Ο Μόρις αποδίδει την πηγή του συνόλου των εξισώσεων σε κάποιον Τ. Σ. Γουίλσον, αλλά δεν παρέχονται λεπτομέρειες σχετικά με τον Γουίλσον. Το συγκεκριμένο σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιήθηκε από τον Μόρις για να απεικονίσει την έννοια του κακώς εξαρτημένου συστήματος εξισώσεων. Ο πίνακας $W$ έχει χρησιμοποιηθεί ως παράδειγμα και για δοκιμαστικούς σκοπούς σε πολλές ερευνητικές εργασίες και βιβλία με την πάροδο των ετών. Ο Τζον Τοντ έχει αναφερθεί στον $W$ ως «ο περιβόητος πίνακας W του Τ. Σ. Γουίλσον».

Ιδιότητες

1. $W$ είναι ένας συμμετρικός πίνακας.
2. $W$ είναι θετικά ορισμένος.
3. Ο Αντιστρέψιμος πίνακας του $W$ είναι $W^{-1}={\begin{bmatrix}68&-41&-17&10\\-41&25&10&-6\\-17&10&5&-3\\10&-6&-3&2\end{bmatrix}}$
4. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $W$ είναι $\lambda ^{4}-35\lambda ^{3}+146\lambda ^{2}-100\lambda +1$.
5. Οι ιδιοτιμές του $W$ είναι $\quad 0.01015004839789187,\quad 0.8431071498550294,\quad 3.858057455944953,\quad 30.28868534580213$.
6. Αφού το $W$ είναι συμμετρικό, ο αριθμός συνθήκης 2-norm του $W$ είναι $\kappa _{2}(W)=({\text{μέγιστη ιδιοτιμή}})/({\text{ελάχιστη ιδιοτιμή}})=30.28868534580213/0.01015004839789187=2984.09270167549$.
7. Η λύση του συστήματος εξισώσεων $(S1)$ είναι $x=y=z=u=1$.
8. Η παραγοντοποίηση Τσολέσκι του $W$ είναι $W=R^{T}R$ όπου $R={\begin{bmatrix}{\sqrt {5}}&{\frac {7}{\sqrt {5}}}&{\frac {6}{\sqrt {5}}}&{\sqrt {5}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {5}}}&-{\frac {2}{\sqrt {5}}}&0\\0&0&{\sqrt {2}}&{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\0&0&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}$.
9. Ο $W$ έχει την παραγοντοποίηση $W=LDL^{T}$ όπου $L={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\{\frac {7}{5}}&1&0&0\\{\frac {6}{5}}&-2&1&0\\1&0&{\frac {3}{2}}&1\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}5&0&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$.
10. Ο $W$ έχει την παραγοντοποίηση $W=Z^{T}Z$ με $Z$ τον ακέραιο πίνακα $Z={\begin{bmatrix}2&3&2&2\\1&1&2&1\\0&0&1&2\\0&0&1&1\end{bmatrix}}$.

Ερευνητικά προβλήματα που δημιουργήθηκαν από τη μήτρα Γουίλσον

Η εξέταση του αριθμού κατάστασης του πίνακα Γουίλσον οδήγησε σε αρκετά ενδιαφέροντα ερευνητικά προβλήματα που αφορούν τους αριθμούς κατάστασης των πινάκων σε ορισμένες ειδικές κατηγορίες πινάκων που έχουν μερικά ή όλα τα ειδικά χαρακτηριστικά του πίνακα Γουίλσον. Συγκεκριμένα, έχουν μελετηθεί οι ακόλουθες ειδικές κατηγορίες πινάκων:

1. $S=$ το σύνολο των $4\times 4$ μη συμμετρικών, συμμετρικών πινάκων με ακέραιες καταχωρήσεις μεταξύ 1 και 10.
2. $P=$ το σύνολο των $4\times 4$ θετικά ορισμένων, συμμετρικών πινάκων με ακέραιες καταχωρήσεις μεταξύ 1 και 10.

Από τον αναλυτικό υπολογισμό των αριθμών κατάστασης των πινάκων στα παραπάνω σύνολα προέκυψαν τα ακόλουθα αποτελέσματα:

1. Μεταξύ των στοιχείων του $S$, ο μέγιστος αριθμός συνθηκών είναι $7.6119\times 10^{4}$ και αυτό το μέγιστο επιτυγχάνεται από τον πίνακα ${\begin{bmatrix}2&7&10&10\\7&10&10&9\\10&10&10&1\\10&9&1&10\end{bmatrix}}$.
2. Μεταξύ των στοιχείων του $P$, ο μέγιστος αριθμός συνθηκών είναι $3.5529\times 10^{4}$ και αυτό το μέγιστο επιτυγχάνεται από τον πίνακα ${\begin{bmatrix}9&1&1&5\\1&10&1&9\\1&1&10&1\\5&9&1&10\end{bmatrix}}$.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269 
• Golub, Gene H.· Van Loan, Charles F. (1996). Matrix Computations (3rd έκδοση). Baltimore: Johns Hopkins. ISBN 978-0-8018-5414-9. 
• Horn, Roger A.· Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2. 
• S. J. Julier and J. K. Uhlmann. "A General Method for Approximating Nonlinear Transformations of ProbabilityDistributions".
• S. J. Julier and J. K. Uhlmann, "A new extension of the Kalman filter to nonlinear systems Αρχειοθετήθηκε 2019-07-21 στο Wayback Machine.", in Proc. AeroSense: 11th Int. Symp. Aerospace/Defence Sensing, Simulation and Controls, 1997, pp. 182–193.
• Trefethen, Lloyd N.· Bau, David (1997). Numerical linear algebra. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-89871-361-9. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Μιγαδικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Θεωρία σφαλμάτων
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
• Κανονική κατανομή
• Θεωρία πιθανοτήτων
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Signal Processing for Intelligent Sensor Systems
• Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
• Symplectic Methods in Harmonic Analysis and in Mathematical Physics...
• Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups
• Vibrational Spectroscopy with Neutrons: With Applications in Chemistry ..
• Elementary Matrix Algebra..
• Linear Representations of Finite Groups

Παραπομπές

• de Boor, Carl (1990), «An empty exercise», ACM SIGNUM Newsletter 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273, http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf 
• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd έκδοση). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. 
• Bareiss, Erwin (1968), «Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination», Mathematics of Computation 22 (102): 565–578, doi:10.2307/2004533, https://www.ams.org/journals/mcom/1968-22-103/S0025-5718-1968-0226829-0/S0025-5718-1968-0226829-0.pdf