Πίνακας Μπεζού

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας Μπεζού^[1] είναι ένας ειδικός τετραγωνικός πίνακας που σχετίζεται με δύο πολυώνυμα, ο οποίος εισήχθη από τον Τζέιμς Τζόζεφ Συλβέστερ το 1853 και τον Άρθουρ Κέιλι το 1857 και πήρε το όνομά του από τον Ετιέν Μπεζού^[2]^[3]. Ο πίνακας Μπεζού μπορεί επίσης να αναφέρεται στην ορίζουσα αυτού του πίνακα, η οποία είναι ίση με την απαλείφουσα^[4] των δύο πολυωνύμων. Οι πίνακες Μπεζού χρησιμοποιούνται μερικές φορές για τον έλεγχο της σταθερότητας ενός συγκεκριμένου πολυωνύμου.

Ορισμός

Έστω $f(z)$ και $g(z)$ δύο μιγαδικά πολυώνυμα βαθμού το πολύ n,^[5]

f(z)=\sum _{i=0}^{n}u_{i}z^{i},\qquad g(z)=\sum _{i=0}^{n}v_{i}z^{i}.

(Να σημειωθεί ότι οποιοσδήποτε συντελεστής $u_{i}$ ή $v_{i}$ θα μπορούσε να είναι μηδέν). Ο πίνακας Μπεζού τάξης n που σχετίζεται με τα πολυώνυμα f και g είναι

B_{n}(f,g)=\left(b_{ij}\right)_{i,j=0,\dots ,n-1}

όπου οι καταχωρήσεις $b_{ij}$ προκύπτουν από την ταυτότητα

{\frac {f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y}}=\sum _{i,j=0}^{n-1}b_{ij}\,x^{i}\,y^{j}.

Είναι ένας n × n μιγαδικός πίνακας και οι καταχωρήσεις του είναι τέτοιες ώστε αν αφήσουμε $m_{ij}=\min\{i,n-1-j\}$ για κάθε $i,j=0,\dots ,n-1$ , τότε:

b_{ij}=\sum _{k=0}^{m_{ij}}(u_{j+k+1}v_{i-k}-u_{i-k}v_{j+k+1}).

Σε κάθε πίνακα Μπεζού, μπορεί κανείς να συσχετίσει την ακόλουθη διγραμμική μορφή, που ονομάζεται Μπεζουτιανή:

\operatorname {Bez} :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :(x,y)\mapsto \operatorname {Bez} (x,y)=x^{*}B_{n}(f,g)\,y.

Παραδείγματα

Για n = 3, έχουμε για κάθε πολυώνυμο f και g βαθμού (το πολύ) 3:

B_{3}(f,g)=\left[{\begin{matrix}u_{1}v_{0}-u_{0}v_{1}&u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}\\u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{2}v_{1}-u_{1}v_{2}+u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}&u_{3}v_{2}-u_{2}v_{3}\end{matrix}}\right]\!.

Έστω $f(x)=3x^{3}-x$ και $g(x)=5x^{2}+1$ τα δύο πολυώνυμα. Τότε:

B_{4}(f,g)=\left[{\begin{matrix}-1&0&3&0\\0&8&0&0\\3&0&15&0\\0&0&0&0\end{matrix}}\right]\!.

Η τελευταία γραμμή και στήλη είναι όλες μηδενικές καθώς οι f και g έχουν βαθμό αυστηρά μικρότερο από το n (που είναι 4). Οι άλλες μηδενικές καταχωρήσεις είναι επειδή για κάθε $i=0,\dots ,n$ , είτε $u_{i}$ or $v_{i}$ είναι μηδέν.

Ιδιότητες

$B_{n}(f,g)$ είναι συμμετρικός (ως πίνακας),
$B_{n}(f,g)=-B_{n}(g,f)$ ,
$B_{n}(f,f)=0$ ,
$(f,g)\mapsto B_{n}(f,g)$ είναι μια διγραμμική συνάρτηση,
$B_{n}(f,g)$ είναι ένας πραγματικός πίνακας αν οι f και g έχουν πραγματικούς συντελεστές,
Ο $B_{n}(f,g)$ είναι μη γωνιακός με $n=\max(\deg(f),\deg(g))$ αν και μόνο αν οι f και g δεν έχουν κοινές ρίζες.
Η $B_{n}(f,g)$ με $n=\max(\deg(f),\deg(g))$ έχει ορίζουσα που είναι η απαλείφουσα^[4] των f και g.

Εφαρμογές

Μια σημαντική εφαρμογή των πινάκων Μπεζού μπορεί να βρεθεί στη θεωρία ελέγχου.^[6] Για να το δούμε αυτό, έστω f(z) ένα μιγαδικό πολυώνυμο βαθμού n και συμβολίζουμε με q και p τα πραγματικά πολυώνυμα έτσι ώστε f(iy) = q(y) + ip(y) (όπου y είναι πραγματικό). Συμβολίζουμε επίσης r για το rank και σ για την υπογραφή του $B_{n}(p,q)$ . Τότε, έχουμε τις ακόλουθες προτάσεις:

Η f(z) έχει n - r ρίζες κοινές με τη συζυγή της,
οι αριστερές r ρίζες της f(z) βρίσκονται με τέτοιο τρόπο ώστε:
- (r + σ)/2 από αυτές βρίσκονται στο ανοικτό αριστερό ημιεπίπεδο, και
- (r - σ)/2 βρίσκονται στο ανοικτό δεξιό ημιεπίπεδο,
Η f είναι σταθερή κατά Χούρβιτς αν και μόνο αν η $B_{n}(p,q)$ είναι θετικά ορισμένη.

Η τρίτη δήλωση παρέχει μια αναγκαία και επαρκή συνθήκη σχετικά με τη σταθερότητα. Εξάλλου, η πρώτη δήλωση παρουσιάζει κάποιες ομοιότητες με ένα αποτέλεσμα που αφορά τους πίνακες του Συλβέστερ, ενώ η δεύτερη μπορεί να συσχετιστεί με το θεώρημα των Ρουθ-Χούρβιτς.

Δείτε επίσης

Field Arithmetic
Πραγματικό προβολικό επίπεδο
Εσωτερικό γινόμενο
Αντιερμιτιανός πίνακας
Πίνακας (μαθηματικά)
Τριγωνικός πίνακας
Πραγματικός αριθμός
Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
Θεωρία ελέγχου
Τζέιμς Τζόσεφ Συλβέστερ
Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375
Sylvester, J. (1884). «Sur l'equations en matrices $px=xq$ ». :C. R. Acad. Sci. Paris 99 (2): 67–71, 115–116.
Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495
Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, επιμ., A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4
Kung, Joseph P.S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine (2009), Combinatorics: The Rota Way, Cambridge University Press, ISBN 9780521883894
Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd έκδοση), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Lombardi, Henri; Quitté, Claude (2015), Commutative Algebra: Constructive Methods, Springer, ISBN 9789401799447
Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd έκδοση), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8
Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html, ανακτήθηκε στις 2024-08-04
Muir, Thomas (1960), A treatise on the theory of determinants, New York, NY: Dover

Παραπομπές

↑ Lerer, L.; Tismenetsky, M. (1988-02-01). «Generalized Bezoutian and matrix equations». Linear Algebra and its Applications 99: 123–160. doi:10.1016/0024-3795(88)90129-2. ISSN 0024-3795. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0024379588901292.
↑ Sylvester 1853.
↑ Cayley 1857.
↑ ^4,0 ^4,1 «Αγγλοελληνικό λεξικό μαθηματικών ορών» (PDF).
↑ Lancaster, Peter· Tismenetsky, Miron (24 Μαΐου 1985). The Theory of Matrices: With Applications. Elsevier. ISBN 978-0-08-051908-1.
↑ Alpay, Daniel· Gohberg, Israel (26 Ιανουαρίου 2006). The State Space Method: Generalizations and Applications. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-7431-0.

Cayley, Arthur (1857), «Note sur la methode d'elimination de Bezout», J. Reine Angew. Math. 53: 366–367, doi:10.1515/crll.1857.53.366, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002149818
Kreĭn, M. G.; Naĭmark, M. A. (1981), «The method of symmetric and Hermitian forms in the theory of the separation of the roots of algebraic equations», Linear and Multilinear Algebra 10 (4): 265–308, doi:10.1080/03081088108817420, ISSN 0308-1087
Pan, Victor· Bini, Dario (1994). Polynomial and matrix computations. Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3786-9.
Pritchard, Anthony J.· Hinrichsen, Diederich (2005). Mathematical systems theory I: modelling, state space analysis, stability and robustness. Berlin: Springer. ISBN 3-540-44125-5.
Sylvester, James Joseph (1853), «On a Theory of the Syzygetic Relations of Two Rational Integral Functions, Comprising an Application to the Theory of Sturm's Functions, and That of the Greatest Algebraical Common Measure», Philosophical Transactions of the Royal Society of London (The Royal Society) 143: 407–548, doi:10.1098/rstl.1853.0018, ISSN 0080-4614, https://zenodo.org/record/1432412

[1] Lerer, L.; Tismenetsky, M. (1988-02-01). «Generalized Bezoutian and matrix equations». Linear Algebra and its Applications 99: 123–160. doi:10.1016/0024-3795(88)90129-2. ISSN 0024-3795. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0024379588901292.

[FOOTNOTESylvester1853-2] Sylvester 1853.

[FOOTNOTECayley1857-3] Cayley 1857.

[:0-4] 4,0 ^4,1 «Αγγλοελληνικό λεξικό μαθηματικών ορών» (PDF).

[5] Lancaster, Peter· Tismenetsky, Miron (24 Μαΐου 1985). The Theory of Matrices: With Applications. Elsevier. ISBN 978-0-08-051908-1.

[6] Alpay, Daniel· Gohberg, Israel (26 Ιανουαρίου 2006). The State Space Method: Generalizations and Applications. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-7431-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]