Πίνακας Χίλμπερτ

Στη γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας Χίλμπερτ, που εισήχθη από τον Χίλμπερτ (Hilbert (1894)), είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με καταχωρήσεις τα μοναδιαία κλάσματα

$H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.$

Παραδείγματος χάριν, αυτός είναι ο πίνακας Χίλμπερτ 5 × 5:

$H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.$

Οι καταχωρήσεις μπορούν επίσης να οριστούν από το ολοκλήρωμα

$H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,$

δηλαδή, ως γκραμιανός πίνακας για τις δυνάμεις του x. Εμφανίζεται στην προσέγγιση των ελαχίστων τετραγώνων αυθαίρετων συναρτήσεων με πολυώνυμα.

Οι πίνακες Χίλμπερτ είναι τα κανονικά παραδείγματα κακώς εξαρτημένων πινάκων, οι οποίοι είναι γνωστό ότι είναι δύσκολο να χρησιμοποιηθούν στην Αριθμητική ανάλυση. Παραδείγματος χάριν, ο αριθμός συνθήκης 2-norm του παραπάνω πίνακα είναι περίπου 4.8 × 10⁵ .

Ιστορική σημείωση

Ο Hilbert (1894) εισήγαγε τον πίνακα Χίλμπερτ για να μελετήσει το ακόλουθο ερώτημα στη θεωρία προσέγγισης: "Έστω ότι I' = [a, b], είναι ένα πραγματικό διάστημα. Είναι τότε δυνατόν να βρεθεί ένα μη μηδενικό πολυώνυμο P με ακέραιους συντελεστές, τέτοιο ώστε το ολοκλήρωμα

$\int _{a}^{b}P(x)^{2}dx$

είναι μικρότερη από οποιοδήποτε δεδομένο όριο ε > 0, που λαμβάνεται αυθαίρετα μικρό;" Για να απαντηθεί αυτό το ερώτημα, ο Χίλμπερτ εξάγει έναν ακριβή τύπο για την ορίζουσα των πινάκων Χίλμπερτ και διερευνά την ασυμπτωτική τους. Καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η απάντηση στο ερώτημά του είναι θετική αν το μήκος b − a του διαστήματος είναι μικρότερο από 4.

Ιδιότητες

Ο πίνακας Χίλμπερτ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Ο πίνακας Χίλμπερτ είναι επίσης ολικά θετικός (που σημαίνει ότι η ορίζουσα κάθε υποπίνακα είναι θετική).

Ο πίνακας Χίλμπερτ αποτελεί παράδειγμα πίνακα Χάνκελ. Είναι επίσης ένα ειδικό παράδειγμα ενός πίνακα Κωσύ (Cauchy).

Η ορίζουσα μπορεί να εκφραστεί σε κλειστή μορφή, ως ειδική περίπτωση της ορίζουσας Κωσύ (Cauchy). Η ορίζουσα δύναμη του πίνακα Χίλμπερτ n × n είναι

$\det(H)={\frac {c_{n}^{4}}{c_{2n}}},$

όπου

$c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.$

Ο Χίλμπερτ είχε ήδη αναφέρει το παράξενο γεγονός ότι η ορίζουσα του πίνακα Χίλμπερτ είναι το αντίστροφο ενός ακέραιου αριθμού (βλ. ακολουθία  A005249 στο OEIS), το οποίο προκύπτει επίσης από την ταυτότητα

${\frac {1}{\det(H)}}={\frac {c_{2n}}{c_{n}^{4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{\binom {i}{[i/2]}}.$

Χρησιμοποιώντας την προσέγγιση του Στίρλινγκ του παραγοντικού, μπορεί κανείς να καθορίσει το ακόλουθο ασυμπτωτικό αποτέλεσμα:

$\det(H)\sim a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}},$

όπου a_n συγκλίνει στη σταθερά $e^{1/4}\,2^{1/12}\,A^{-3}\approx 0.6450$ καθώς $n\to \infty$, όπου A είναι η σταθερά Γκλάισερ-Κίνκελιν.

Ο αντίστροφος του πίνακα Χίλμπερτ μπορεί να εκφραστεί σε κλειστή μορφή χρησιμοποιώντας διωνυμικούς συντελεστές- οι καταχωρήσεις του είναι

$(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){\binom {n+i-1}{n-j}}{\binom {n+j-1}{n-i}}{\binom {i+j-2}{i-1}}^{2},$

όπου n είναι η τάξη του πίνακα. Προκύπτει ότι οι καταχωρήσεις του αντίστροφου πίνακα είναι όλες ακέραιες και ότι τα πρόσημα σχηματίζουν ένα μοτίβο σκακιέρας, όντας θετικά στην κύρια διαγώνιο. Παραδείγματος χάριν,

${\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}^{-1}=\left[{\begin{array}{rrrrr}25&-300&1050&-1400&630\\-300&4800&-18900&26880&-12600\\1050&-18900&79380&-117600&56700\\-1400&26880&-117600&179200&-88200\\630&-12600&56700&-88200&44100\end{array}}\right].$

Ο αριθμός κατάστασης του n × n πίνακα Χίλμπερτ αυξάνεται ως $O\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4n}/{\sqrt {n}}\right)$.

Εφαρμογές

Η μέθοδος των ροπών εφαρμοσμένη σε πολυωνυμικές κατανομές οδηγεί σε έναν πίνακα Χάνκελ, που στην ειδική περίπτωση της προσέγγισης μιας κατανομής πιθανότητας στο διάστημα [0, 1] οδηγεί σε έναν πίνακα Χίλμπερτ. Αυτός ο πίνακας πρέπει να αντιστραφεί για να ληφθούν οι παράμετροι βάρους της προσέγγισης της πολυωνυμικής κατανομής.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Πραγματικός αριθμός
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Διωνυμικός συντελεστής
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Integral Matrices
• An Introduction to Computational Physics
• Elements of Hilbert Spaces and Operator Theory
• Applications of Computational Algebraic Geometry
• A Hilbert Space Problem Book
• Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Sylvester, J. (1884). «Sur l'equations en matrices $px=xq$». :C. R. Acad. Sci. Paris 99 (2): 67–71, 115–116. 
• Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495 
• Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, επιμ., A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4 
• Hilbert, David (1894), «Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms», Acta Mathematica 18: 155–159, doi:10.1007/BF02418278, ISSN 0001-5962 . Reprinted in Hilbert, David. «article 21». Collected papers. II. 
• Beckermann, Bernhard (2000). «The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices». Numerische Mathematik 85 (4): 553–577. doi:10.1007/PL00005392. https://archive.org/details/sim_numerische-mathematik_2000-06_85_4/page/553. 
• Choi, M.-D. (1983). «Tricks or Treats with the Hilbert Matrix». American Mathematical Monthly 90 (5): 301–312. doi:10.2307/2975779. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1983-05_90_5/page/301. 
• Todd, John (1954). «The Condition of the Finite Segments of the Hilbert Matrix». National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 39: 109–116. 
• Wilf, H. S. (1970). Finite Sections of Some Classical Inequalities. Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-04809-1. 

Παραπομπές

• Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press.
• Hilbert, David· Cohn-Vossen, Stephan (1999). Geometry and Imagination. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1998-4.  - an accessible set of lectures originally for the citizens of Göttingen.
• David Hilbert (2004). Michael Hallett and Ulrich Majer, επιμ. David Hilbert's Lectures on the foundations of Mathematics and Physics, 1891–1933. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 3-540-64373-7.