Παράγοντας Λόρεντζ

Ο παράγοντας Λόρεντζ (Lorentz factor) είναι μια έκφραση που εμφανίζεται σε αρκετές εξισώσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας και προκύπτει από τους μετασχηματισμούς του Λόρεντζ. Συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα γάμα γ και παίρνει το όνομά του από τους μετασχηματισμούς που κατασκεύασε ο Ολλανδός φυσικός Χέντρικ Λόρεντς.

Ορισμός

Ο παράγοντας Λόρεντζ ορίζεται ως:

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

όπου:

• υ η σχετική ταχύτητα μεταξύ αδρανειακών συστημάτων,
• β είναι ο λόγος της ταχύτητας v προς τη ταχύτητα του φωτός c.
• c είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό.

Αυτή είναι και η ποιο κοινή μορφή του παράγοντα.

Εμφανίσεις του παράγοντα

Ακολουθούν διάφοροι τύποι που προκύπτουν από την ειδική θεωρία της σχετικότητας και χρησιμοποιούν τον παράγοντα γ:

• Ο μετασχηματισμός Λόρεντζ: Στην απλή περίπτωση της κίνησης μόνο κατά τον άξονα x, που περιγράφεται την αλλαγή από τις χωροχρονικές συντεταγμένες στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς (x, y, z, t) σε κάποιο που κινείται με σχετική ταχύτητα v (x' , y' , z' , t' ):

$t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)$

$x'=\gamma \left(x-vt\right)$

Λόγω των παραπάνω μετασχηματισμών προκύπτουν τα ακόλουθα αποτελέσματα:

• Χρονική διαστολή: Ο χρόνος (∆t' ) μεταξύ δύο κτύπων όπως μετράται σε ένα ρολόι που κινείται, είναι μεγαλύτερος από τον χρόνο (∆t) μεταξύ των δύο κτύπων όπως μετράται σε ένα ρολόι στο ακίνητο σύστημα αναφοράς:

$\Delta t'=\gamma \Delta t.\,$

• Συστολή του χώρου: Το μήκος (∆x' ) ενός αντικειμένου όπως μετράται στο κινούμενο σύστημα αναφοράς στο οποίο το ίδιο κινείται, είναι μικρότερο από το μήκος (∆x) στο δικό του ακίνητο σύστημα αναφοράς:

$\Delta x'=\Delta x/\gamma .\,\!$

Με χρήση της διατήρησης της ορμής και της ενέργειας οδηγούμαστε στα εξής αποτελέσματα:

• Σχετικιστική μάζα: Η μάζα ενός σώματος m που βρίσκεται σε κίνηση, εξαρτάται από τον παράγοντα $\gamma$ και τη μάζα ηρεμίας m₀:

$m=\gamma m_{0}.\,$

• Σχετικιστική ορμή: Η σχετικιστική ορμή είναι ίδια με την κλασική ορμή, χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχετικιστική μάζα:

${\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.\,$

• Σχετικιστική κινητική ενέργεια: Η σχετικιστική κινητική ενέργεια παίρνει την εξής μορφή:

$E_{k}=E-E_{0}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}$

Εναλλακτικές αναπαραστάσεις

Υπάρχουν και διαφορετικές παραστάσεις του παράγοντα, εκτός από τον αρχικό ορισμό με την ταχύτητα v. Όπως με την ορμή και με τον παράγοντα ταχύτητας φ (rapidity).

Ορμή

Λύνοντας τη σχετικιστική ορμή προς τον γ οδηγούμαστε στην:

$\gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}$

Αυτή η μορφή, αν και χρησιμοποιείται σπάνια, εμφανίζεται στην κατανομή Μάξγουελ–Juttner.

Παράγοντας ταχύτητας φ (rapidity)

Εφαρμόζοντας το ορισμό του παράγοντας ταχύτητας φ (rapidity) στην υπερβολική γωνία φ: $\tanh \varphi =\beta \,\!$

προκύπτει ο παράγοντας γ:

$\gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\,\!$

Ανάπτυξη σειρών (ταχύτητα)

Η σειρά Μακλόριν του παράγοντα Λόρεντζ είναι:

${\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+\cdots \\\end{aligned}}$

Η προσέγγιση γ ≈ 1 + ¹/₂ β² χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό σχετικιστικών φαινομένων σε μικρές ταχύτητες. Έχει σφάλμα 1% για ταχύτητες v < 0.4 c (v < 120,000 km/s), και σφάλμα 0.1% για ταχύτητες v < 0.22 c (v < 66,000 km/s).

Οι προσεγγίσεις της παραπάνω σειράς, βοηθάει τους φυσικούς να αποδείξουν ότι η ειδική θεωρία της σχετικότητας ανάγεται σε Νευτώνια μηχανική σε χαμηλές ταχύτητες.

Για παράδειγμα οι σχετικιστικές εξισώσεις:

${\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}$

$E=\gamma mc^{2}\,$

Για γ ≈ 1 μετατρέπονται στις κλασικές σχέσεις της Νευτώνιας μηχανικής:

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

$E=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}$

για γ ≈ 1 + ¹/₂ β².

Ο παράγοντας Λόρεντζ επίσης μπορεί να εκφραστεί με ανεστραμμένη μορφή ως:

$\beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}$

με ασυμπτωτική μορφή:

$\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots$

Αριθμητικές τιμές

Ο παράγοντας Λόρεντζ γ συναρτήσει της ταχύτητας. Η αρχική τιμή είναι 1 (όταν v = 0) και η όταν η ταχύτητα πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός (v → c), ο γ αυξάνεται μέχρι το άπειρο (γ → ∞).

Στον παρακάτω πίνακα, η αριστερή στήλη δείχνει τις ταχύτητες ως λόγους της ταχύτητας του φωτός (με μονάδες μέτρησης c), η μεσαία την αντίστοιχη τιμή του παράγοντα Λόρεντζ και η τελευταία τον αντίστροφο του παράγοντα Λόρεντζ.

Ταχύτητα (ως προς c)	Παράγοντας Λόρεντζ	Αντίστροφος παράγοντα Λόρεντζ
$\beta =v/c\,\!$	$\gamma \,\!$	$1/\gamma \,\!$
0.000	1.000	1.000
0.100	1.005	0.995
0.200	1.021	0.980
0.250	1.033	0.968
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0.500	1.155	0.866
0.600	1.250	0.800
0.700	1.400	0.714
0.750	1.512	0.661
0.800	1.667	0.600
0.866	2.000	0.500
0.900	2.294	0.436
0.990	7.089	0.141
0.999	22.366	0.045