Παράδοξο των γενεθλίων

Το παράδοξο των γενεθλίων στη θεωρία πιθανοτήτων αναφέρεται σε ένα πρόβλημα του οποίου η λύση φαίνεται να αντιβαίνει στην κοινή λογική. Μία από τις διατυπώσεις του προβλήματος είναι: «Σε μία ομάδα 23 ατόμων ποια είναι η πιθανότητα δύο από αυτά τα άτομα να έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια;». Λαμβάνοντας υπόψη ότι το πηλίκο του αριθμού των ατόμων και του αριθμού των ημερών του έτους είναι 23/365 = 6,3%, η λύση του προβλήματος που δίνει πιθανότητα 50,7% είναι φαινομενικά μη διαισθητική. Η πιθανότητα να υπάρχουν δύο άτομα με γενέθλια την ίδια ημέρα ξεπερνά το 90% στα 41 άτομα και γίνεται 99% για 57 άτομα. Είναι 100% στα 366 άτομα (ή στα 367 αν συμπεριλάβουμε και αυτούς που έχουν γεννηθεί στις 29 Φεβρουαρίου).

Κατανοώντας το πρόβλημα

Στο πρόβλημα, για λόγους απλοποίησης, δεν παίρνουμε υπόψη μας τα δίσεκτα έτη ούτε τους δίδυμους ούτε το γεγονός ότι η κατανομή των γενεθλίων στατιστικά δεν είναι ομοιόμορφη. Το πρόβλημα ασχολείται με την εύρεση της πιθανότητας οποιωνδήποτε δυο ατόμων να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα. Στην ομάδα των 23 ατόμων η σύγκριση του πρώτου ατόμου με οποιοδήποτε από τα άλλα 22 δίνει 22 συνδυασμούς αλλά η σύγκριση οποιουδήποτε με οποιονδήποτε δίνει 253 συνδυασμούς: ${23 \choose 2}={\frac {23\cdot 22}{2}}=253$. Τώρα γίνεται πιο κατανοητή η μεγάλη πιθανότητα του 50,7%.

Υπολογίζοντας την πιθανότητα

Άν η πιθανότητα εύρεσης δύο ατόμων που έχουν την ίδια μέρα γενέθλια σε μια ομάδα 23 ατόμων είναι P(A) είναι πιο εύκολο να υπολογίσουμε την αντίστροφη πιθανότητα P(A΄) να μην υπάρχουν, δηλαδή, δύο άτομα που να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια. Καθώς ειναι αντίστροφες ισχύει P(A΄) = 1 − P(A).

Όταν δύο ή περισσότερα γεγονότα είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο τότε η πιθανότητα να ισχύουν όλα είναι το γινόμενο των πιθανοτήτων του καθενός από αυτά. Επομένως η πιθανότητα P(A΄) για 23 άτομα είναι P(1) × P(2) × P(3) × ... × P(23).

Για ένα άτομο η πιθανότητα είναι 365/365=1 δηλαδή 100%. Για το δεύτερο άτομο η πιθανότητα να μην έχει ίδια ημέρα γενέθλια με το πρώτο είναι 364/365. Για το τρίτο άτομο είναι 363/365.

Συνεχίζοντας την ανάλυση βρίσκουμε ότι:

P(A΄) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 343/365

από αυτό συνεπάγεται ότι:

P(A΄) = 0.49270276

επομένως:

P(A) = 1 − 0.49270276 = 0.507297 (50.7297%)

Γενικά για ν αριθμό ατόμων έχουμε:

Αριθμός ατόμων	Πιθανότητα
5	2.7%
10	11.7%
15	25.3%
20	41.1%
23	50.7%
30	70.6%
40	89.1%
50	97.0%
57	99.0%
100	99.99997%
200	99.9999999999999999999999999998%
300	(100 − (6×10−80))%
350	(100 − (3×10−129))%

Τα δικά μου γενέθλια

Συγκρίνοντας την πιθανότητα p(n) = πιθανότητα ύπαρξης ίδιας ημέρας γενεθλίων για οποιαδήποτε δύο από τα άτομα q(n) = πιθανότητα ύπαρξης ίδιας ημέρας γενεθλίων με ένα συγκεκριμένο άτομο

Το γενικό πρόβλημα του παραδόξου αναφέρεται στην ύπαρξη ίδιας ημέρας γενεθλίων για οποιαδήποτε δύο από τα άτομα. Αν όμως ασχοληθούμε με την πιθανότητα ύπαρξης ατόμου που έχει την ίδια ημέρα γενέθλια με κάποιο συγκεκριμένο (ας πούμε με εμένα) τα μεγέθη αλλάζουν. Συγκεκριμένα έχουμε:

$q(n)=1-\left({\frac {365-1}{365}}\right)^{n}.$

Αντικαθιστώντας το n με το 23 έχουμε 6.1% δηλαδή πιθανότητα περίπου μία στις 16. Για να υπάρξει πιθανότητα περίπου 50% να έχω την ίδια ημέρα γενέθλια με κάποιον άλλο θα πρέπει να βρεθώ σε ομάδα με 253 άτομα! Αυτό είναι αρκετά μεγαλύτερο από το 365/2=182,5 γιατί η πιθανότητα αυτή αναφέρεται σε σχέση με τα δικά μου γενέθλια όμως μπορεί να υπάρχει άλλο ζευγάρι ατόμων που να έχει την ίδια ημέρα γενέθλια.

Κρυπτογραφία

Το παράδοξο των γενεθλίων έχει μεγάλη σημασία για την κρυπτογραφία. Στην κρυπτογραφία παίζει μεγάλο ρόλο η αναζήτηση μεθόδων όπου η κρυπτανάλυση να χρειάζεται πολύ μεγάλα μεγέθη για να καταφέρει να «σπάσει» τον κωδικό. Στις κρυπτογραφικές hash συναρτήσεις, για παράδειγμα, η κρυπτανάλυση ασχολείται με την πιθανότητα ύπαρξης δύο ίδιων αποτελεσμάτων (σύγκρουση) όσον αφορά ένα συγκεκριμένο μέγεθος bits. Η κρυπτογραφική αυτή επίθεση ονομάζεται επίθεση των γενεθλίων.