Ποικιλία Σιμούρα

Στη θεωρία των αριθμών, μια ποικιλία Σιμούρα είναι ένα υψηλοδιάστατο ανάλογο μιας μοδιακής καμπύλης που προκύπτει ως πηλίκο ποικιλίας ενός Ερμιτιανού συμμετρικού χώρου από μια υποομάδα ισοδυναμίας (congruence) μιας αναγωγικής αλγεβρικής ομάδας που ορίζεται πάνω στο Q. Οι ποικιλίες Σιμούρα δεν είναι αλγεβρικές ποικιλίες αλλά οικογένειες αλγεβρικών ποικιλιών. Οι καμπύλες Σιμούρα είναι οι μονοδιάστατες ποικιλίες Σιμούρα. Οι μοδιακές επιφάνειες Χίλμπερτ και οι μοδιακές ποικιλίες Ζίγκελ είναι από τις πιο γνωστές κατηγορίες ποικιλιών Σιμούρα.

Ειδικές περιπτώσεις των ποικιλιών Σιμούρα εισήχθησαν αρχικά από τον Γκόρο Σιμούρα κατά τη διάρκεια της γενίκευσης της θεωρίας του μιγαδικού πολλαπλασιασμού. Ο Σιμούρα έδειξε ότι ενώ αρχικά ορίστηκαν αναλυτικά, είναι αριθμητικά αντικείμενα, με την έννοια ότι δέχονται μοντέλα που ορίζονται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα, το πεδίο αντανακλάσεων της ποικιλίας Σιμούρα. Στη δεκαετία του 1970, ο Πιερ Ντελίν δημιούργησε ένα αξιωματικό πλαίσιο για το έργο του Σιμούρα. Το 1979, ο Ρόμπερτ Λάνγκλαντς παρατήρησε ότι οι ποικιλίες Σιμούρα αποτελούν μια φυσική σφαίρα παραδειγμάτων για τα οποία μπορεί να ελεγχθεί η ισοδυναμία μεταξύ των κινητικών και αυτομορφικών συναρτήσεων L που διατυπώνονται στο πρόγραμμα του Λάνγκλαντς. Οι αυτομορφικές μορφές που πραγματοποιούνται στην κοχομολογία μιας ποικιλίας Σιμούρα είναι πιο επιδεκτικές μελέτης από τις γενικές αυτομορφικές μορφές- Συγκεκριμένα, υπάρχει μια κατασκευή που συνδέει τις αναπαραστάσεις του Γκαλουά με αυτές.

Ορισμός

Δεδομένα Σιμούρα

Έστω S = Res_C/R G_m ο περιορισμός Βέιλ της πολλαπλασιαστικής ομάδας από τους μιγαδικούς αριθμούς στους πραγματικούς αριθμούς. Είναι μια πραγματική αλγεβρική ομάδα, της οποίας η ομάδα των R-σημείων, S(R), είναι C^* και η ομάδα των C-σημείων είναι C^*×C^*. Ένα δεδομένο Σιμούρα είναι ένα ζεύγος (G, X) που αποτελείται από μια (συνδεδεμένη) αναγωγική αλγεβρική ομάδα G που ορίζεται πάνω στο σώμα Q των ρητών αριθμών και μια 'G(R)-κλάση συζυγίας X των ομομορφισμών h: S → G_R που ικανοποιούν τα ακόλουθα αξιώματα:

• Για κάθε h στο X, μόνο τα βάρη (0,0), (1,−1), (−1,1) μπορούν να εμφανιστούν στο g_C, δηλαδή η μιγαδική άλγεβρα Lie του G αποσυντίθεται σε ένα άμεσο άθροισμα

${\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}^{+}\oplus {\mathfrak {p}}^{-},$

όπου για κάθε z ∈ S, το h(z) δρα τετριμμένα στο πρώτο άθροισμα και μέσω $z/{\bar {z}}$ (αντίστοιχα, ${\bar {z}}/z$) στο δεύτερο (αντίστοιχα, τρίτο) άθροισμα.

• Η παράπλευρη δράση της h(i) επάγει μια Ενέλιξη Καρτάν στην παράπλευρη ομάδα της G_R.
• Η συγγενής ομάδα της G_R δεν δέχεται παράγοντα H ορισμένο πάνω στο Q έτσι ώστε η προβολή της h στην H να είναι τετριμμένη.

Από αυτά τα αξιώματα προκύπτει ότι η X έχει μια μοναδική δομή μιας μιγαδικής πολλαπλότητας (ενδεχομένως, ασύνδετης) τέτοια ώστε για κάθε αναπαράσταση ρ: G_R → GL(V), η οικογένεια (V, ρ ⋅ h) είναι μια ολομορφική οικογένεια δομών Χοτζ- επιπλέον, σχηματίζει μια παραλλαγή της δομής Χοτζ και η X είναι μια πεπερασμένη διαχωρισμένη ένωση ερμιτιανών συμμετρικών περιοχών.

Ποικιλία Σιμούρα

Έστω A_ƒ ο δακτύλιος των πεπερασμένων adeles « additive idele » του Q. Για κάθε επαρκώς μικρή συμπαγή ανοικτή υποομάδα K του G(A_ƒ), ο διπλός συμβολικός χώρος

$\operatorname {Sh} _{K}(G,X)=G(\mathbb {Q} )\backslash X\times G(\mathbb {A} _{f})/K$

είναι μια πεπερασμένη διαχωριστική ένωση τοπικά συμμετρικών ποικιλιών της μορφής $\Gamma _{i}\backslash X^{+}$, όπου ο δείκτης συν υποδηλώνει μια συνδεδεμένη συνιστώσα. Οι ποικιλίες Sh_K(G,X) είναι μιγαδικές αλγεβρικές ποικιλίες και σχηματίζουν ένα αντίστροφο σύστημα πάνω σε όλες τις επαρκώς μικρές συμπαγείς ανοικτές υποομάδες K. Αυτό το αντίστροφο σύστημα

$(\operatorname {Sh} _{K}(G,X))_{K}$

δέχεται μια φυσική δεξιά δράση της G(A_ƒ). Ονομάζεται ποικιλία Σιμούρα που συνδέεται με το δεδομένο Σιμούρα (G, X) και συμβολίζεται με Sh(G, X).

Ιστορία

Για ειδικούς τύπους ερμιτιανών συμμετρικών περιοχών και υποομάδων ισοδυναμιών (congruence) Γ, οι αλγεβρικές ποικιλίες της μορφής Γ \ X = Sh_K(G,X) και οι συμπυκνώσεις τους εισήχθησαν σε μια σειρά εργασιών του Γκόρο Σιμούρα κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1960. Η προσέγγιση του Σιμούρα, που παρουσιάστηκε αργότερα στη μονογραφία του, ήταν σε μεγάλο βαθμό φαινομενολογική, επιδιώκοντας τις ευρύτερες γενικεύσεις της διατύπωσης του νόμου της αμοιβαιότητας της θεωρίας του μιγαδικού πολλαπλασιασμού. Εκ των υστέρων, η ονομασία "ποικιλία Σιμούρα" εισήχθη από τον Ντελίν, ο οποίος προχώρησε στην απομόνωση των αφηρημένων χαρακτηριστικών που έπαιζαν ρόλο στη θεωρία του Σιμούρα. Στη διατύπωση του Ντελίν, οι ποικιλίες Σιμούρα είναι χώροι παραμέτρων ορισμένων τύπων δομών Χοτζ. Έτσι αποτελούν μια φυσική γενίκευση υψηλότερων διαστάσεων των μοδιακών καμπυλών που θεωρούνται ως χώροι moduli ελλειπτικών καμπυλών με δομή επιπέδων. Σε πολλές περιπτώσεις, τα προβλήματα moduli στα οποία οι ποικιλίες Σιμούρα αποτελούν λύσεις έχουν ομοίως προσδιοριστεί.

Παραδείγματα

Έστω F ένα εντελώς πραγματικό σώμα αριθμών και D μια άλγεβρα διαίρεσης τετραδικών πάνω από το F. Η πολλαπλασιαστική ομάδα D^× δίνει μια κανονική ποικιλία Σιμούρα. Η διάστασή της d είναι ο αριθμός των άπειρων θέσεων στις οποίες διαιρείται η D. Συγκεκριμένα, αν d = 1 ( παραδείγματος χάριν, αν F = Q και D ⊗ R ≅ M₂(R)), καθορίζοντας μια αρκετά μικρή αριθμητική υποομάδα της D^×, παίρνουμε μια καμπύλη Σιμούρα, και οι καμπύλες που προκύπτουν από αυτή την κατασκευή είναι ήδη συμπαγείς (δηλαδή προβολικές).

Μερικά παραδείγματα καμπυλών Σιμούρα με ρητά γνωστές εξισώσεις δίνονται από τις καμπύλες Χούρβιτς χαμηλού γένους:

• Τετράδα Κλάιν (γένος 3)
• Επιφάνεια Μακμπέθ (γένος 7)
• Πρώτη Τριάδα Χούρβιτς (γένος 14)

και από την καμπύλη Φερμά βαθμού 7.

Άλλα παραδείγματα ποικιλιών Σιμούρα περιλαμβάνουν τις μοδιακές επιφάνειες Πικάρ και τις μοδιακές επιφάνειες Χίλμπερτ, επίσης γνωστές ως ποικιλίες Χίλμπερτ-Μπλούμενταλ.

Κανονικά πρότυπα και ειδικά σημεία

Κάθε ποικιλία Σιμούρα μπορεί να οριστεί πάνω σε ένα κανονικό αριθμητικό σώμα E που ονομάζεται σώμα αντανακλάσεων. Αυτό το σημαντικό αποτέλεσμα που οφείλεται στον Σιμούρα δείχνει ότι οι ποικιλίες Σιμούρα, οι οποίες εκ των προτέρων είναι μόνο μιγαδικές πολλαπλότητες, έχουν ένα αλγεβρικό σώμα ορισμού και, ως εκ τούτου, αριθμητική σημασία. Αποτελεί το σημείο εκκίνησης στη διατύπωση του νόμου της αμοιβαιότητας, όπου σημαντικό ρόλο παίζουν ορισμένα αριθμητικά καθορισμένα ειδικά σημεία.

Η ποιοτική φύση του κλεισίματος Ζαρίσκι των συνόλων ειδικών σημείων σε μια ποικιλία Σιμούρα περιγράφεται από την εικασία Αντρέ-Οόρτ. Έχουν προκύψει υπό όρους αποτελέσματα για την εικασία αυτή, υποθέτοντας μια γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν.

Ρόλος στο πρόγραμμα Λάνγκλαντς

Οι ποικιλίες Σιμούρα διαδραματίζουν εξαιρετικό ρόλο στο πρόγραμμα Λάνγκλαντς. Το πρωτότυπο θεώρημα, η σχέση ισοδυναμίας (congruence) Άιχλερ-Σιμούρα, συνεπάγεται ότι η συνάρτηση ζήτα Χάσε-Βέιλ μιας μοδιακής καμπύλης είναι ένα γινόμενο συναρτήσεων L που σχετίζονται με ρητά καθορισμένες μοδιακές μορφές βάρους 2. Πράγματι, κατά τη διαδικασία γενίκευσης αυτού του θεωρήματος ο Γκόρο Σιμούρα εισήγαγε τις ποικιλίες του και απέδειξε το νόμο της αμοιβαιότητας. Οι συναρτήσεις ζήτα των ποικιλιών Σιμούρα που σχετίζονται με την ομάδα GL₂ πάνω σε άλλα αριθμητικά σώματα και τις εσωτερικές μορφές της (δηλαδή τις πολλαπλασιαστικές ομάδες των τετραγωνικών αλγεβρών) μελετήθηκαν από τους Άιχλερ-Σιμούρα, Κούγκα, Σάτο και Ιχάρα. Με βάση τα αποτελέσματά τους, ο Ρόμπερτ Λάνγκλαντς έκανε μια πρόβλεψη ότι η συνάρτηση ζήτα Χάσε-Βέιλ οποιασδήποτε αλγεβρικής ποικιλίας W που ορίζεται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα θα είναι ένα γινόμενο θετικών και αρνητικών δυνάμεων αυτομορφικών συναρτήσεων L, δηλαδή θα πρέπει να προκύπτει από μια συλλογή αυτομορφικών παραστάσεων. Όσο και αν είναι φιλοσοφικά φυσικό να περιμένουμε μια τέτοια περιγραφή, δηλώσεις αυτού του τύπου έχουν αποδειχθεί μόνο όταν η W είναι μια ποικιλία Σιμούρα. Σύμφωνα με τα λόγια του Λάνγκλαντς: :

Το να δείξει κανείς ότι όλες οι συναρτήσεις L που σχετίζονται με ποικιλίες Σιμούρα - και επομένως με οποιοδήποτε μοτίβο που ορίζεται από μια ποικιλία Σιμούρα - μπορούν να εκφράζονται με όρους των αυτομορφικών συναρτήσεων L της εργασίας του 1970 είναι ασθενέστερο, ακόμη και πολύ ασθενέστερο, από το να δείξει ότι όλες οι κινητικές συναρτήσεις L είναι ίσες με τέτοιες συναρτήσεις L. Επιπλέον, παρόλο που αναμένει κανείς να ισχύει ο ισχυρότερος ισχυρισμός, δεν υπάρχει, από όσο γνωρίζω, κανένας πολύ πειστικός λόγος για να αναμένει κανείς ότι όλες οι κινητικές συναρτήσεις L είναι συνδεδεμένες με ποικιλίες Σιμούρα.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Τοπολογία
• Γένος (μαθηματικά)
• Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Math 252: Modular Abelian Varieties
• Periods of Quaternionic Shimura Varieties. I.
• On the Cohomology of Certain Non-Compact Shimura Varieties (AM-173)
• Shimura Varieties
• p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

Δημοσιεύσεις

• Alsina, Montserrat; Bayer, Pilar (2004), Quaternion orders, quadratic forms, and Shimura curves, CRM Monograph Series, 22, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3359-6, Zbl 1073.11040 
• James Arthur, David Ellwood, and Robert Kottwitz (ed) Harmonic Analysis, the Trace Formula and Shimura Varieties, Clay Mathematics Proceedings, vol 4, AMS, 2005 ISBN 978-0-8218-3844-0
• Pierre Deligne, Travaux de Shimura. Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/71), Exp. No. 389, pp. 123–165. Lecture Notes in Math., Vol. 244, Springer, Berlin, 1971. MR 0498581, Numdam
• Pierre Deligne, Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques, in Automorphic forms, representations and L-functions, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII (Corvallis, OR, 1977), Part 2, pp. 247–289, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1979. MR 0546620
• Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shi, Hodge cycles, motives, and Shimura varieties. Lecture Notes in Mathematics, 900. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ii+414 pp. ISBN 3-540-11174-3 MR 0654325
• Levy, Silvio, επιμ.. (1999), The Eightfold Way, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 35, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66066-2, Zbl 0941.00006, https://library.slmath.org/books/Book35/index.html , paperback edition by Cambridge University Press, 2001, ISBN 978-0-521-00419-0. Read This: The Eightfold Way, reviewed by Ruth Michler.
• Milne, J.S. (2001), «Shimura variety», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Main_Page 
• J. Milne, Shimura varieties and motives, in U. Jannsen, S. Kleiman. J.-P. Serre (ed.), Motives, Proc. Symp. Pure Math, 55:2, Amer. Math. Soc. (1994), pp. 447–523
• J. S. Milne, Introduction to Shimura varieties, in Arthur, Ellwood, and Kottwitz (2005)
• Harry Reimann, The semi-simple zeta function of quaternionic Shimura varieties, Lecture Notes in Mathematics, 1657, Springer, 1997
• Goro Shimura, The Collected Works of Goro Shimura (2003), vol 1–5
• Goro Shimura Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions