Ποικιλία Φάνο

Στην αλγεβρική γεωμετρία, μια ποικιλία Φάνο, η οποία εισήχθη από τον Τζίνο Φάνο στο (Fano 1934, 1942), είναι μια αλγεβρική ποικιλία που γενικεύει ορισμένες πτυχές των πλήρων τομών αλγεβρικών υπερεπιφανειών των οποίων το άθροισμα των βαθμών είναι το πολύ ίσο με τη συνολική διάσταση του περιβάλλοντος προβολικού χώρου. Αυτές οι πλήρεις διατομές έχουν σημαντικές εφαρμογές σε γεωμετρία και θεωρία αριθμών, καθώς γενικά δέχονται ρητά σημεία, μια στοιχειώδης περίπτωση των οποίων είναι το θεώρημα Chevalley-Warning. Οι ποικιλίες Φάνο παρέχουν μια αφηρημένη γενίκευση αυτών των βασικών παραδειγμάτων, για τα οποία τα ζητήματα ρητότητας είναι συχνά ακόμη εφικτά.

Τυπικά, μια ποικιλία Φάνο είναι μια πλήρης ποικιλία X της οποίας η αντικανόνικη δέσμη K_X^* είναι άφθονη. Σε αυτόν τον ορισμό, θα μπορούσε κανείς να υποθέσει ότι η X είναι ομαλή πάνω σε ένα πεδίο, αλλά το πρόγραμμα του ελάχιστου μοντέλου έχει επίσης οδηγήσει στη μελέτη ποικιλιών Φάνο με διάφορους τύπους ιδιομορφιών, όπως τερματικές ή klt ιδιομορφίες. Προσφάτως τεχνικές της διαφορικής γεωμετρίας εφαρμόστηκαν στη μελέτη των ποικιλιών Φάνο πάνω σε μιγαδικούς αριθμούς, και σημειώθηκε επιτυχία στην κατασκευή χώρων moduli των ποικιλιών Φάνο και στην απόδειξη της ύπαρξης μετρικών Κέλερ-Αϊνστάιν σε αυτούς μέσω της μελέτης της K-σταθερότητας των ποικιλιών Φάνο.

Παραδείγματα

• Το θεμελιώδες παράδειγμα ποικιλιών Φάνο είναι οι προβολικοί χώροι: η αντικανονική δέσμη γραμμών του Pⁿ πάνω από ένα πεδίο k είναι O(n+1), η οποία είναι πολύ ευρεία (πάνω από τους μιγαδικούς αριθμούς, η καμπυλότητά της είναι n+1 φορές τη συμπλεκτική μορφή Fubini-Study).
• Έστω D μια ομαλή υποδιαίρεση συνδιαστάσεων 1 στο Pⁿ. Ο τύπος της προσάρτησης συνεπάγεται ότι K_D = (K_X + D)|_D = (−(n+1)H + deg(D)H)|_D, όπου H είναι η κλάση ενός υπερεπιπέδου. Η υπερεπιφάνεια D είναι επομένως Φάνο αν και μόνο αν deg(D) < n+1.
• Γενικότερα, μια ομαλή πλήρης τομή υπερεπιφανειών σε n-διάστατο προβολικό χώρο είναι Φάνο αν και μόνο αν το άθροισμα των βαθμών τους είναι το πολύ n.
• Ο σταθμισμένος προβολικός χώρος P(a₀,...,a_n) είναι μια μοναδική (klt) ποικιλία Φάνο. Πρόκειται για το προβολικό σχήμα που σχετίζεται με έναν βαθμωτό πολυωνυμικό δακτύλιο του οποίου οι γεννήτορες έχουν βαθμούς a₀,...,a_n. Αν αυτό είναι καλά σχηματισμένο, με την έννοια ότι κανένας n από τους αριθμούς a δεν έχει κοινό παράγοντα μεγαλύτερο από 1, τότε κάθε πλήρης τομή υπερεπιφανειών έτσι ώστε το άθροισμα των βαθμών τους να είναι μικρότερο από a₀+...+a_n είναι μια ποικιλία Φάνο.
• Κάθε προβολική ποικιλία σε χαρακτηριστικό μηδέν που είναι ομογενής κάτω από μια γραμμική αλγεβρική ομάδα είναι Φάνο.

Μερικές ιδιότητες

Η ύπαρξη κάποιας ευρείας δέσμης γραμμών στον Χ είναι ισοδύναμη με το ότι ο Χ είναι προβολική ποικιλία, οπότε μια ποικιλία Φάνο είναι πάντα προβολική. Για μια ποικιλία Φάνο X πάνω στους μιγαδικούς αριθμούς, το θεώρημα του Κοντάιρα συνεπάγεται ότι οι ομάδες συνομολογίας της δέσμης $H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ της δέσμης δομής εξαφανίζονται για $j>0$. Ειδικότερα, το γένος Todd $\chi (X,{\mathcal {O}})=\sum (-1)^{j}h^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ισούται αυτόματα με 1. Οι περιπτώσεις $j=1,2$ αυτής της δήλωσης μηδενισμού δείχνουν επίσης ότι η πρώτη κλάση Τσερν επάγει έναν ισομορφισμό $c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$.

Σύμφωνα με τη λύση της εικασίας Καλάμπι από τον Yau, μια ομαλή μιγαδική ποικιλία δέχεται μετρικές Κέλερ με θετική καμπυλότητα Ρίτσι αν και μόνο αν είναι Φάνο. Το θεώρημα του Μύερς' επομένως μας δείχνει ότι το καθολικό κάλυμμα μιας πολλαπλότητας Φάνο είναι συμπαγής, και επομένως μπορεί να είναι μόνο ένα πεπερασμένο κάλυμμα. Ωστόσο, μόλις είδαμε ότι το γένος Todd μιας πολλαπλότητας Φάνο πρέπει να ίσο 1. Δεδομένου ότι αυτό ισχύει και για το καθολικό κάλυμμα της πολλαπλότητας, και δεδομένου ότι το γένος Todd είναι πολλαπλασιαστικό κάτω από πεπερασμένα καλύμματα, προκύπτει ότι κάθε πολλαπλότητα Φάνο είναι απλά συνδεδεμένη.

Μια πολύ απλούστερη εκδοχή είναι ότι κάθε ποικιλία Φάνο έχει διάσταση Κοντάιρα -∞.

Οι Καμπάνα και Κολλάρ-Μιαγιάοκα-Μόρι έδειξαν ότι μια ομαλή ποικιλία Φάνο πάνω σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα είναι ρητά αλυσιδωτά συνδεδεμένη, δηλαδή δύο οποιαδήποτε κλειστά σημεία μπορούν να συνδεθούν με μια αλυσίδα ρητών καμπυλών. Οι Κολλάρ-Μιαγιάοκα-Μόρι έδειξαν επίσης ότι οι λείες ποικιλίες Φάνο μιας δεδομένης διάστασης πάνω από ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα χαρακτηριστικού μηδενός σχηματίζουν μια περιορισμένη οικογένεια, που σημαίνει ότι ταξινομούνται από τα σημεία πεπερασμένων πολλών αλγεβρικών ποικιλιών. Υπό αυτή την έννοια, οι ποικιλίες Φάνο είναι πολύ πιο ειδικές από άλλες κατηγορίες ποικιλιών, όπως οι ποικιλίες γενικού τύπου.

Ταξινόμηση σε μικρές διαστάσεις

Η ακόλουθη συζήτηση αφορά ομαλές ποικιλίες Φάνο στους μιγαδικούς αριθμούς.

Μια καμπύλη Φάνο είναι ισόμορφη με την προβολική γραμμή.

Μια επιφάνεια Φάνο ονομάζεται επίσης επιφάνεια ντελ Πέτσο (del Pezzo). Κάθε επιφάνεια ντελ Πέτσο (del Pezzo) είναι ισόμορφη είτε με το P¹ × P¹ είτε με το προβολικό επίπεδο που διευρύνεται το πολύ σε οκτώ σημεία, που πρέπει να βρίσκονται σε γενική θέση. Ως αποτέλεσμα, είναι όλες ρητές.

Σε διάσταση 3, υπάρχουν λείες μιγαδικές ποικιλίες Φάνο που δεν είναι ρητές, όπως για παράδειγμα οι κυβικές 3-πτυχές στο P⁴ (από τους Κλέμενς - Γκρίφιθς) και οι τετραγωνικές 3-folds στο P⁴ (από τους Ισκόβσκιχ - Μάνιν). Ισκόβσκιχ (1977, 1978, 1979) ταξινόμηση η ομαλή Φάνο 3-folds με δεύτερη Μπέτι αριθμό 1 σε 17 κλάσεις, και Μόρι & Μουκάι (1981) ταξινόμηση η ομαλή με δεύτερη Μπέτι αριθμό τουλάχιστον 2, βρίσκοντας 88 κλάσεις παραμόρφωσης. Μια λεπτομερής περίληψη της ταξινόμησης των λείων 3-folds Φάνο δίνεται στους Ισκόβσκιχ & Προχόροφ (1999).

Δημοσιεύσεις

• Fano, Gino (1934), «Sulle varietà algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli», Proc. Internat. Congress Mathematicians (Bologna), 4, Zanichelli, σελ. 115–119 
• Fano, Gino (1942), «Su alcune varietà algebriche a tre dimensioni razionali, e aventi curve-sezioni canoniche», Commentarii Mathematici Helvetici 14: 202–211, doi:10.1007/BF02565618, ISSN 0010-2571, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002053365 
• Iskovskih, V. A. (1977), «Fano threefolds. I», Math. USSR Izv. 11 (3): 485–527, doi:10.1070/IM1977v011n03ABEH001733, ISSN 0373-2436 
• Iskovskih, V. A. (1978), «Fano 3-folds II», Math USSR Izv. 12 (3): 469–506, doi:10.1070/im1978v012n03abeh001994 
• Iskovskih, V. A. (1979), «Anticanonical models of three-dimensional algebraic varieties», Current problems in mathematics, Vol. 12 (Russian), VINITI, Moscow, σελ. 59–157, https://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=intd&paperid=34&what=fullt&option_lang=eng 
  • Iskovskikh, V. A. (1980). «Anticanonical models of three-dimensional algebraic varieties». Journal of Soviet Mathematics 13 (6): 745–814. doi:10.1007/BF01084563. 
• Iskovskikh, V. A.; Prokhorov, Yu. G. (1999), «Fano varieties», Algebraic Geometry, V. Encyclopedia Math. Sci., 47, Springer-Verlag, σελ. 1–247, ISBN 3-540-61468-0 
• Kollár, János (1996), Rational Curves on Algebraic Varieties, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1 
• Mori, Shigefumi; Mukai, Shigeru (1981), «Classification of Fano 3-folds with B₂≥2», Manuscripta Mathematica 36 (2): 147–162, doi:10.1007/BF01170131, ISSN 0025-2611 
• Mori, Shigefumi; Mukai, Shigeru (2003), «Erratum: "Classification of Fano 3-folds with B₂≥2"», Manuscripta Mathematica 110 (3): 407, doi:10.1007/s00229-002-0336-2, ISSN 0025-2611 

Δείτε επίσης

• Fanography - A tool to visually study the classification of threedimensional Fano varieties.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Symmetries of Fano varieties Louis Esser, Lena Ji, Joaquín Moraga
• THE FANO VARIETY OF LINES OF A CUSPIDAL CYCLIC CUBIC FOURFOLD