Πράξη (μαθηματικά)

Στην πιο απλή της ερμηνεία στα μαθηματικά και τη λογική, μια πράξη είναι μια διαδικασία που παράγει μια νέα τιμή από μία ή περισσότερες τιμές εισόδου. Υπάρχουν δύο κοινοί τύποι πράξεων, οι μοναδιαίες (unary) και οι δυαδικές (binary). Οι μοναδιαίες πράξεις λειτουργούν πάνω σε μια μόνο τιμή, για παράδειγμα η άρνηση ή οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Οι δυαδικές πράξεις, αντίθετα, παίρνουν δύο τιμές ως είσοδο και περιλαμβάνουν την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό, τη διαίρεση και την ύψωση σε εκθέτη.

Οι πράξεις μπορούν να επιδρούν και σε άλλες μαθηματικές οντότητες εκτός από αριθμούς. Οι λογικές τιμές αληθές (true) και ψευδές (false) μπορούν να συνδυαστούν με λογικές πράξεις όπως το and, το or, και το not. Διανύσματα μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν. Δυο περιστροφές μπορούν να συνδυαστούν με χρήση της πράξης της σύνθεσης δυο συναρτήσεων, πραγματοποιώντας πρώτα την μια περιστροφή και στη συνέχεια την άλλη. Πράξεις συνόλων περιλαμβάνουν τις δυαδικές πράξεις ένωση και τομή και την μοναδιαία πράξη της συμπλήρωσης. Πράξεις πάνω σε συναρτήσεις περιλαμβάνουν τη σύνθεση και τη συνέλιξη.

Πολλές πράξεις δεν ορίζονται για κάθε πιθανή τιμή. Για παράδειγμα, στους πραγματικούς αριθμούς δεν ορίζεται διαίρεση με το μηδέν ή η τετραγωνική ρίζα αρνητικής τιμής. Οι τιμές για τις οποίες ορίζεται μια πράξη, αποτελούν το πεδίο ορισμού της, και οι τιμές τις οποίες επιστρέφει αποτελούν το πεδίο τιμών της.

Οι πράξεις μπορεί να επιδρούν σε διαφορετικά αντικείμενα. Ένα διάνυσμα μπορεί να πολλαπλασιαστεί με έναν αριθμό για να δώσει ένα νέο διάνυσμα. Η πράξη του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων παράγει έναν αριθμό. Μια πράξει μπορεί να έχει (ή να μην έχει) ιδιότητες όπως η προσεταιριστική, αντιμεταθετική, μεταβατική, κλπ.

Οι τιμές στις οποίες επιδρά μια πράξη λέγονται όροι, ορίσματα ή είσοδοι της πράξης και η τιμή που παράγεται λέγεται η τιμή, το αποτέλεσμα ή η έξοδος της πράξης.

Η έννοια της πράξης είναι παρόμοια με την έννοια του τελεστή αλλά ο τρόπος σκέψης διαφέρει. Για παράδειγμα, λέμε «η πράξη της πρόσθεσης» ή «η πρόσθεση» όταν τονίζουμε τα ορίσματα και το αποτέλεσμα, ενώ λέμε «ο τελεστής της πρόσθεσης» από την άποψη της συνάρτησης «+» με τύπο S×S→S ως μαθηματική οντότητα που έχει δυο ορίσματα και επιστρέφει το άθροισμά τους.