Ριμάνεια γεωμετρία

Η μελέτη του σχήματος του σύμπαντος αποτελεί προσαρμογή των ιδεών και των μεθόδων της ριμάνειας γεωμετρίας.

Η ριμάνεια γεωμετρία είναι ο κλάδος της διαφορικής γεωμετρίας που μελετά τις ριμάνειες πολλαπλότητες, οι οποίες ορίζονται ως λείες πολλαπλότητες με Ριμάνεια μετρική (ένα εσωτερικό γινόμενο στον εφαπτόμενο χώρο σε κάθε σημείο που μεταβάλλεται ομαλά από σημείο σε σημείο). Αυτό δίνει, ειδικότερα, τοπικές έννοιες της γωνίας, του μήκους των καμπυλών, της επιφάνειας και του όγκου. Από αυτές, ορισμένα άλλα συνολικά μεγέθη μπορούν να προκύψουν από την ολοκλήρωση των τοπικών συνεισφορών.

Η ριμάνεια γεωμετρία προήλθε από το όραμα του Μπέρναρντ Ρίμαν που εκφράστηκε στην εναρκτήρια διάλεξή του «Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen» (Περί των υποθέσεων στις οποίες βασίζεται η γεωμετρία). Πρόκειται για μια πολύ ευρεία και αφηρημένη γενίκευση της διαφορικής γεωμετρίας των επιφανειών στο R³. Η ανάπτυξη της γεωμετρίας του Ριμάν είχε ως αποτέλεσμα τη σύνθεση ποικίλων αποτελεσμάτων σχετικά με τη γεωμετρία των επιφανειών και τη συμπεριφορά των γεωδαισιακών σε αυτές, με τεχνικές που μπορούν να εφαρμοστούν στη μελέτη διαφορίσιμων πολλαπλών υψηλότερων διαστάσεων. Επέτρεψε τη διατύπωση της γενικής θεωρίας της σχετικότητας του Αϊνστάιν, άσκησε βαθιά επίδραση στη θεωρία ομάδων και στη θεωρία αναπαραστάσεων, καθώς και στην ανάλυση, και έδωσε ώθηση στην ανάπτυξη της αλγεβρικής και της διαφορικής τοπολογίας.

Εισαγωγή

Ο Μπέρναρντ Ρίμαν

Η γεωμετρία του Ρίμαν διατυπώθηκε για πρώτη φορά με γενικούς όρους από τον Μπέρναρντ Ρίμαν τον 19ο αιώνα. Ασχολείται με ένα ευρύ φάσμα γεωμετριών των οποίων οι μετρικές ιδιότητες διαφέρουν από σημείο σε σημείο, συμπεριλαμβανομένων των τυπικών τύπων της μη ευκλείδειας γεωμετρίας.

Κάθε ομαλή πολλαπλότητα δέχεται μια μετρική του Ριμάν, η οποία συχνά βοηθά στην επίλυση προβλημάτων διαφορικής τοπολογίας. Χρησιμεύει επίσης ως εισαγωγικό επίπεδο για την πιο περίπλοκη δομή των ψευδο-Ριμανιανών πολλαπλοτήτων, οι οποίες (σε τέσσερις διαστάσεις) αποτελούν τα κύρια αντικείμενα της θεωρίας της γενικής σχετικότητας. Άλλες γενικεύσεις της γεωμετρίας Ριμάν περιλαμβάνουν τη γεωμετρία Φίνσλερ.

Υπάρχει μια στενή αναλογία της διαφορικής γεωμετρίας με τη μαθηματική δομή των ατελειών στους κανονικούς κρυστάλλους. Οι εξαρθρώσεις και οι αποκλίσεις παράγουν στροφές και καμπυλότητα.

Υπάρχει μια στενή αναλογία της διαφορικής γεωμετρίας με τη μαθηματική δομή των ατελειών στους κανονικούς κρυστάλλους. Οι μετατοπίσεις και οι αποκλίσεις παράγουν στροφές και καμπυλότητα.

Τα παρακάτω άρθρα παρέχουν κάποιο χρήσιμο εισαγωγικό υλικό:

• Καμπυλότητα
• Τανυστής καμπυλότητας Ρίμαν
• Πολλαπλότητα Ρίμαν

Κλασικά θεωρήματα

Ακολουθεί ένας ελλιπής κατάλογος των πλέον κλασικών θεωρημάτων της γεωμετρίας του Ριμάν. Η επιλογή γίνεται ανάλογα με τη σημασία και την κομψότητα της διατύπωσής τους. Τα περισσότερα από τα αποτελέσματα μπορούν να βρεθούν στην κλασική μονογραφία των Τζεφ Τσίγκερ και Ντ. Έμπιν (βλ. παρακάτω).

Οι διατυπώσεις που δίνονται απέχουν πολύ από το να είναι πολύ ακριβείς ή οι πιο γενικές. Αυτός ο κατάλογος είναι προσανατολισμένος σε όσους γνωρίζουν ήδη τους βασικούς ορισμούς και θέλουν να μάθουν περί τίνος πρόκειται.

Γενικά θεωρήματα

1. Θεώρημα Γκάους-Μπονέ. Το ολοκλήρωμα της καμπυλότητας Γκάους σε μια συμπαγή δισδιάστατη πολλαπλότητα Ρίμαν είναι ίσο με 2πχ(M), όπου χ(M) δηλώνει τη χαρακτηριστική του Όιλερ της M. Αυτό το θεώρημα έχει μια γενίκευση για οποιαδήποτε συμπαγή ζυγοδιάστατη πολλαπλότητα Ρίμαν, βλέπε γενικευμένο θεώρημα Γκάους-Μπονέ.
2. Θεωρήματα ενσωμάτωσης Νας(Nash). Δηλώνουν ότι κάθε πολλαπλότητα Ρίμαν μπορεί να ενσωματωθεί ισομετρικά σε έναν ευκλείδειο χώρο Rⁿ.

Γεωμετρία σε μεγάλες διαστάσεις

Σε όλα τα παρακάτω θεωρήματα υποθέτουμε κάποια τοπική συμπεριφορά του χώρου (συνήθως διατυπωμένη με την παραδοχή της καμπυλότητας) για να αντλήσουμε κάποιες πληροφορίες για την συνολική δομή του χώρου, συμπεριλαμβανομένων είτε κάποιων πληροφοριών για τον τοπολογικό τύπο της πολλαπλότητας είτε για τη συμπεριφορά των σημείων σε «επαρκώς μεγάλες» αποστάσεις.

Διατομή καμπυλότητας με εγκοπές

1. Θεώρημα της σφαίρας. Εάν M είναι μια απλά συνδεδεμένη συμπαγής n διαστάσεων πολλαπλότητα Ρίμαν με καμπυλότητα διατομής αυστηρά συμπιεσμένη μεταξύ 1/4 και 1 τότε η M είναι διαφορομορφική προς μια σφαίρα.
2. Θεώρημα περατότητας του Τσίγκερ. Δεδομένων των σταθερών C, D και V, υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλές (μέχρι διαφορικοποίησης) συμπαγείς n διαστάσεων πολλαπλότητες Ρίμαν με καμπυλότητα τομής |K| ≤ C, διάμετρο ≤ D και όγκο ≥ V.
3. Σχεδόν επίπεδες πολλαπλότητες του Γκρόμοφ. Υπάρχει ένα ε_n > 0 τέτοιο ώστε αν μια n-διάστατη πολλαπλότητα Ρίμαν έχει μια μετρική με καμπυλότητα τομής |K| ≤ ε_n και διάμετρο ≤ 1, τότε το πεπερασμένο κάλυμμά της είναι διαφορομορφικό προς μια μηδενική πολλαπλότητα.

Καμπυλότητα διατομής που περιορίζεται παρακάτω

1. Θεώρημα ψυχής των Τσίγκερ-Γκρόμολ. Αν η M είναι μια μη συμπαγής πλήρης μη αρνητικά καμπυλωμένη n-διάστατη πολλαπλότητα Ρίμαν, τότε η M περιέχει μια συμπαγή, πλήρως γεωδαισιακή υποπολλαπλότητα S έτσι ώστε η M να είναι διαφιομορφική με την κανονική δέσμη της S (η S ονομάζεται ψυχή της M.) Ειδικότερα, αν η M έχει αυστηρά θετική καμπυλότητα παντού, τότε είναι διαφιομορφική με τον Rⁿ. Ο Γ. Πέρελμαν το 1994 έδωσε μια εκπληκτικά κομψή/σύντομη απόδειξη της εικασίας της ψυχής: Το M είναι διαφορικό στον Rⁿ αν έχει θετική καμπυλότητα σε ένα μόνο σημείο.
2. Θεώρημα του αριθμού Μπέτι του Γκρόμοφ. Υπάρχει μια σταθερά C = C(n) τέτοια ώστε αν η M είναι μια συμπαγής συνδεδεμένη n-διάστατη πολλαπλότητα Ρίμαν με θετική τμηματική καμπυλότητα τότε το άθροισμα των αριθμών Μπέτι της είναι το πολύ C.
3. Θεώρημα περατότητας του Γκρόβε-Πέτερσεν. Δεδομένων των σταθερών C, D και V, υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά είδη ομοτοπίας συμπαγών n-διάστατων πολλαπλοτήτων Ρίμαν με τομή καμπυλότητας K ≥ C, διάμετρο ≤ D και όγκο ≥ V.

Διατομική καμπυλότητα που περιορίζεται προς τα πάνω

1. Το θεώρημα Καρτάν - Χανταμάρ δηλώνει ότι μια πλήρης απλά συνδεδεμένη Ριμανιανή πολλαπλότητα M με μη θετική καμπυλότητα τομής είναι διαφορικό με τον Ευκλείδειο χώρο Rⁿ με n = dim M μέσω του εκθετικού χάρτη σε οποιοδήποτε σημείο. Συνεπάγεται ότι δύο οποιαδήποτε σημεία μιας απλά συνδεδεμένης πλήρους πολλαπλότητας Ρίμαν με μη θετική τομή καμπυλότητας ενώνονται με μια μοναδική γεωδαισιακή.
2. Η γεωδαισιακή ροή οποιασδήποτε συμπαγούς πολλαπλότητας Ρίμαν με αρνητική τομή καμπυλότητας είναι εργοδική.
3. Αν ο Μ είναι μια πλήρης πολλαπλότητα Ρίμαν με τομή καμπυλότητας που περιορίζεται παραπάνω από μια αυστηρά αρνητική σταθερά k, τότε είναι ένας χώρος CAT(k). Κατά συνέπεια, η θεμελιώδης ομάδα Γ = π₁(M) είναι υπερβολική κατά Γκρόμοφ. Αυτό έχει πολλές συνέπειες για τη δομή της θεμελιώδους ομάδας:

• είναι πεπερασμένα παρουσιασμένη,
• το λεκτικό πρόβλημα για το Γ έχει θετική λύση,
• η ομάδα Γ έχει πεπερασμένη εικονική συνομολογική διάσταση,
• περιέχει μόνο πεπερασμένα πολλές κλάσεις συζυγίας στοιχείων πεπερασμένης τάξης,
• οι αβελιανές υποομάδες της Γ είναι εικονικά κυκλικές, έτσι ώστε να μην περιέχει υποομάδα ισομορφική προς Z'×Z'.

Καμπυλότητα Ρίτσι που περιορίζεται προς τα κάτω

1. Θεώρημα Μάιερ. Αν μια πλήρης πολλαπλότητα Ρίμαν έχει θετική καμπυλότητα Ρίτσι τότε η θεμελιώδης ομάδα της είναι πεπερασμένη.
2. Τύπος του Μπόχνερ. Αν μια συμπαγής πολλαπλότητα Ρίμαν n έχει μη αρνητική καμπυλότητα Ρίτσι, τότε ο πρώτος αριθμός Μπέτι της είναι το πολύ n, με ισότητα αν και μόνο αν η πολλαπλότητα Ρίμαν είναι επίπεδος τόρος.
3. Θεώρημα διάσπασης. Αν μια πλήρης n-διάστατη πολλαπλότητα Ρίμαν έχει μη αρνητική καμπυλότητα Ρίτσι και μια ευθεία γραμμή (δηλαδή μια γεωδαισιακή που ελαχιστοποιεί την απόσταση σε κάθε διάστημα) τότε είναι ισομετρική με ένα άμεσο γινόμενο της πραγματικής γραμμής και μιας πλήρους (n-1)-διάστατης πολλαπλότητας Ρίμαν που έχει μη αρνητική καμπυλότητα Ρίτσι.
4. Ανισότητα Μπίσοπ-Γκρόμοφ. Ο όγκος μιας μετρικής σφαίρας ακτίνας r σε μια πλήρη n-διάστατη πολλαπλότητα Ρίμαν με θετική καμπυλότητα Ρίτσι έχει όγκο το πολύ όσο ο όγκος μιας σφαίρας της ίδιας ακτίνας r στον Ευκλείδειο χώρο.
5. Θεώρημα συμπαγούς όγκου του Γκρόμοφ. Το σύνολο όλων των πολλαπλοτήτων του Ρίμαν με θετική καμπυλότητα Ρίτσι και διάμετρο το πολύ D είναι προ-συμπυκνωμένο στη μετρική Γκρόμοφ-Χάουσντορφ.

Αρνητική καμπυλότητα Ρίτσι

1. Η ομάδα ισομετρίας μιας συμπαγούς πολλαπλότητας Ρίμαν με αρνητική καμπυλότητα Ρίτσι είναι διακριτή.
2. Κάθε ομαλή πολλαπλότητα διάστασης n ≥ 3 δέχεται μια μετρική του Ρίμαν με αρνητική καμπυλότητα Ρίτσι. (Αυτό δεν ισχύει για επιφάνειες).

Θετική βαθμωτή καμπυλότητα

1. Ο n-διάστατος τόρος δεν δέχεται μετρική με θετική βαθμωτή καμπυλότητα.
2. Αν η ερριπτική ακτίνα μιας συμπαγούς n-διάστατης πολλαπλότητας Ρίμαν είναι ≥ π τότε η μέση κλιμακωτή καμπυλότητα είναι το πολύ n(n-1).

Αξιοσημείωτες ποικιλίες Ρίμαν

Επιφάνειες με αρνητική, μηδενική ή θετική καμπυλότητα.

Ψηφιδοθέτηση του δίσκου Πουανκαρέ με τρίγωνα, έτσι μπορούμε να εξετάσουμε την παραγοντική ποικιλία.

Χώροι με σταθερή καμπυλότητα

Η σφαίρα διάστασης n S_n μπορεί να εισαχθεί ως το σύνολο των διανυσμάτων δεδομένης νόρμας σε έναν ευκλείδειο χώρο διάστασης n+1, εφοδιασμένο με την επαγόμενη μετρική. Αυτό αναφέρεται μερικές φορές ως "στρογγυλή σφαίρα" ή "τυπική ευκλείδεια σφαίρα", για να διακρίνεται από τις εξωτικές σφαίρες ή άλλες πιθανές επιλογές της μετρικής. Είναι μια αυστηρά θετική ποικιλία με σταθερή καμπυλότητα. Οι γεωδαισιακές της είναι οι μεγάλοι κύκλοι και οι γεωδαισιακές που ξεκινούν από ένα σημείο τέμνονται όλες στο αντιποδικό σημείο. Η ταύτιση μεταξύ ενός σημείου και του αντίποδά του οδηγεί στον πραγματικό προβολικό χώρο, ο οποίος έχει επίσης σταθερή καμπυλότητα. Γενικότερα, όλοι οι χώροι σταθερής θετικής καμπυλότητας μπορούν να προκύψουν ως πηλίκα της σφαίρας από μια ομάδα ισομετριών που δρουν διακριτά στη σφαίρα.

Ομοίως, ο Ευκλείδειος χώρος και τα πηλίκα του από ομάδες ισομετριών παρέχουν παραδείγματα ποικιλιών με σταθερή μηδενική καμπυλότητα, που ονομάζονται επίπεδες ποικιλίες. Με αυτόν τον τρόπο, λαμβάνουμε όλες τις περιπτώσεις, και μπορούμε να σημειώσουμε ως παραδείγματα τον κύλινδρο, τον "επίπεδο" τόρο (ο οποίος δεν μπορεί να βυθιστεί ισομετρικά στον Ευκλείδειο χώρο $\mathbb {R} ^{3}$) και τη γενίκευσή τους σε οποιαδήποτε διάσταση... Μπορούμε ακόμη να δηλώσουμε ότι όλες οι συμπαγείς επίπεδες ποικιλίες είναι πεπερασμένα πηλίκα του τόρου (θεώρημα του ΜπίμπερμπαχJJ)).

Για καμπυλότητα ίση με αρνητική σταθερά, ο χώρος του μοντέλου είναι λιγότερο γνωστός. Είναι ο υπερβολικός χώρος, του οποίου μπορούν να δοθούν διάφορες ισομετρικές απεικονίσεις: δίσκος Πουανκαρέ ή ημιεπίπεδο, υπερβολοειδές Λόρεντζ ή δίσκος Κλάιν. Και εδώ, ποικιλίες με αρνητική σταθερή καμπυλότητα μπορούν να προκύψουν με πηλίκο από αυτό το παράδειγμα.

Σύμφωνα με το θεώρημα ομοιομορφίας του Πουανκαρέ, οποιαδήποτε ποικιλία του Ρίμαν με διάσταση 2 μπορεί να αναχθεί, μέσω μιας αμφιμονοσήμαντης αντιστοιχίας σε μια μετρική με σταθερή καμπυλότητα.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός αριθμός
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Τετραγωνική ρίζα του 2
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Ευκλείδειος χώρος
• Χαρακτηριστική Όιλερ
• Πολλαπλάσιο (μαθηματικά)
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Φυσική σταθερά
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Συναρτησιακή ανάλυση
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Sakai, Takashi (1 Ιανουαρίου 1996). Riemannian Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8956-5. 
• Petersen, Peter (29 Ιουνίου 2013). Riemannian Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-6434-5. 
• Gallot, Sylvestre· Hulin, Dominique (30 Ιουλίου 2004). Riemannian Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-20493-0. 
• Jost, Jürgen (24 Ιουνίου 2008). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-77341-2. 
• Klingenberg, Wilhelm (1995). Riemannian Geometry. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-014593-9. 
• Besson, Gérard· Lovric, Miroslav (1 Ιανουαρίου 1996). Riemannian Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7187-4. 
• Bellaiche, Andre· Risler, Jean-Jaques (6 Δεκεμβρίου 2012). Sub-Riemannian Geometry. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-9210-0. 
• Newman, Stephen C. (13 Αυγούστου 2019). Semi-Riemannian Geometry: The Mathematical Language of General Relativity. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-51755-9. 

Παραπομπές

• Berger, Marcel (2000), Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century, University Lecture Series, 17, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2052-4, https://archive.org/details/riemanniangeomet0000berg . (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
• Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008), Comparison theorems in Riemannian geometry, Providence, RI: AMS Chelsea Publishing ; Revised reprint of the 1975 original.
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004), Riemannian geometry, Universitext (3rd έκδοση), Berlin: Springer-Verlag .
• Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2 .
• Petersen, Peter (2006), Riemannian Geometry, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98212-4 
• en:George W. Mackey, Harmonic analysis as the exploitation of symmetry–a historical survey, Bull. Amer. Math. Soc. 3 (1980), 543–698.
• M. Bujosa, A. Bujosa and A. Garcıa-Ferrer. Mathematical Framework for Pseudo-Spectra of Linear Stochastic Difference Equations, IEEE Transactions on Signal Processing vol. 63 (2015), 6498–6509.
• Wallach, Nolan R (1976), «On the Enright-Varadarajan modules: a construction of the discrete series», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 4 (1): 81–101, doi:10.24033/asens.1304 
• Luiz, Atílio; Richter, Bruce (2014), «Remarks on a conjecture of Barát and Tóth», Electronic Journal of Combinatorics 21 (1): P1.57, doi:10.37236/3396, http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v21i1p57 .

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0